Conjuntos y Números
(curso 2002-2003)
Primer curso
Licenciatura
de Matemáticas
(y
doble titulación Matemáticas-Informática)
NOTA: La información
que se recoge en esta página se refiere al Grupo 16 (tarde)
1. Profesores de la asignatura
Profesores de teoría:
-
Antonio Córdoba Barba (
antonio.cordoba@uam.es).
Grupo 16 (tarde). Horario de lunes a jueves, 15:30-16:30 (Aula C-XII-405).
-
Pedro Balodis Matesanz (
pedro.balodis@uam.es). Grupo
11 (mañana). Horario de lunes a jueves, 12:00-13:00 (Aula C-XII-405).
Profesores de prácticas:
2. Programa de la
asignatura
Primer Bloque: "El lenguaje de las matemáticas"
- Los números naturales y el axioma de inducción. Ejemplos de
demostraciones por inducción.
- Conjuntos: el vacío; las partes de un conjunto; propiedades de la
unión, intersección y complementación; producto cartesiano.
- Proposiciones: disyunción, conjunción, negación e implicación.
Predicados. Cuantificadores. La reducción al absurdo.
- Funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Funciones inversas. Gráficas,
imagen y conjuntos de nivel. Composición de funciones.
Segundo Bloque: "Números"
- Los números naturales. La relación de orden de la divisibilidad.
Números primos. Máximo común denominador y mínimo
común múltiplo. El algoritmo de Euclides. Teorema fundamental
de la Aritmética.
- La construcción de los números enteros. Ejemplo de relación
de equivalencia. Congruencias. Pequeño teorema de Fermat-Euler. Sistemas
de congruencias: el teorema chino del resto.
- Construcción de los números racionales. Desarrollos decimales.
Densidad y numerabilidad.
- El continuo de los números reales. Aproximación por racionales.
Criterios de irracionalidad. Los casos de e y p.
- Los números complejos. Raíces de polinomios. El caso de las
ecuaciones de tercer y cuarto grado. El teorema fundamental del Álgebra.
Tercer Bloque: "Conjuntos"
- Relaciones de orden parcial y total. Máximos, mínimos, elementos
maximales y minimales, cotas, supremos e ínfimos; cadenas.
- Axioma de elección, conjuntos inductivos, lema de Zorn, principio
de la buena ordenación. Ejemplos y aplicaciones: existencia de conjuntos
no medibles; paradoja de Banach-Tarski.
- Relaciones de equivalencia. Conjunto cociente.
- Conjuntos equipotentes: teorema de Bernstein-Schröder.
- Conjuntos numerables y no numerables. Idea de cardinal. El conjunto de Cantor.
La hipótesis del continuo.
- Las paradojas de la teoría de conjuntos. Necesidad de una axiomática.
El programa de Hilbert y el teorema de Gödel.
Cuarto Bloque: "Polinomios"
- Anillos de polinomios. Grado y propiedades.
- División de polinomios. Polinomios irreducibles. Irreducibilidad
en R[x] y C[x].
- El lema de Gauss y sus consecuencias.
- Criterios de irreducibilidad en Z[x]: Eisenstein, reducción
a módulo finito y traslación.
3. Bibliografía
- Dorronsoro, J. Hernández, E.: Números, grupos y anillos.
Addison Wesley Iberoamericana, 1996.
- Devlin, K.: Sets, functions, and logic: an introduction to abstract
mathematics. Chapman & Hall, 1995.
4. Material del curso
Durante el curso se irán proporcionando unas notas manuscritas
del profesor Córdoba Barba, que serán depositadas en Reprografía.
En esta página web irán apareciendo las sucesivas hojas
de ejercicios.
Éste es el archivo correspondiente al primer
examen parcial del curso. Y ya se puede consultar el listado con las notas.
Éste es el archivo correspondiente al segundo
examen parcial del curso. Y ya se puede consultar el listado con las notas.
(4/2/2003) Aquí está el archivo correspondiente
al examen de febrero.
(11/2/2003) Ya está disponible el listado con las calificaciones
de la convocatoria de febrero.
(5/9/2003) Aquí está el archivo correspondiente
al examen de septiembre.
(10/9/2003) Ya está disponible el listado con las calificaciones
de la convocatoria de septiembre.
Última modificación: 10 de septiembre de
2003