Topología

Curso 2017/18

Revisión del examen extaordinario: viernes 6 de julio, a las 11:30 horas, en el despacho del profesor (404 del módulo 17).

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Programa

ESPACIOS TOPOLÓGICOS. Definición de topología. Base de una topología. Adherencia, frontera, interior de un subconjunto de un espacio topológico. Aplicaciones continuas, homeomorfismos. Topologías inducidas: Subespacios, productos y cocientes. Espacios métricos.

CONEXIÓN. Conexión, componentes conexas. Invariancia por aplicaciones continuas. Subconjuntos conexos de R. Conexión por arcos.

COMPACIDAD. Definición y ejemplos. Invariancia por aplicaciones continuas. Subconjuntos compactos de Rⁿ. Compactos en espacios métricos. Continuidad uniforme.

OTRAS PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS. Axiomas de numerabilidad, separabilidad. Axiomas de separación, espacios de Hausdorff.

HOMOTOPÍA. Homotopía de caminos. El grupo fundamental. Espacios simplemente conexos. Espacios recubridores. Cálculo de algunos grupos fundamentales. Tipo de homotopía. Aplicaciones.

TEMAS ADICIONALES:

Espacio de funciones continuas y acotadas: Teorema de Ascoli-Arzelá.
Productos infinitos. Teorema de Tychonoff.
Espacios métricos completos: Teorema del punto fijo de Banach.
Convergencia de series en espacios de funciones.

Libro de texto

James R. Munkres; Topology; Prentice Hall, 2000. (traducción al castellano, Pearson Educación, 2002).

Errata importante observada en la traducción al español del libro de Munkres:

El enunciado del Teorema 27.1 (p. 196) está mal traducido. La afirmación del teorema es cierta para intervalos cerrados pero no para subconjuntos cerrados en general.

Una traducción correcta sería:

Teorema 27.1. Sea X un conjunto simplemente ordenado que tiene la propiedad del supremo. Entonces con la topología del orden todo intervalo cerrado de X es compacto.

Otras referencias

John B. Conway; A Course in Point Set Topology; Springer, 2014.

Martin D. Crossley; Essential topology; Springer, 2005.

James Dugundji; Topology; Allyn and Bacon, Inc., 1966.

John L. Kelley; General Topology; Van Nostrand Reinhold, 1955.

Marco Manetti; Topology; Springer, 2014.

Stefan Waldmann; Topology. An Introduction; Springer, 2014.

Volker Runde; A Taste of Topology; Springer, 2005.

Las referencias señaladas con el símbolo tienen acceso electrónico desde la biblioteca de la UAM.

Evaluación del curso

Durante el curso se realizarán dos exámenes parciales (que tendrán lugar durante la hora de clase; fechas propuestas: jueves 26 de octubre y jueves 14 de diciembre).
El examen final tendrá lugar el martes 23 de enero por la mañana (fijado por el Decanato de la Facultad).
La calificación por curso se calculará ponderando un 20% cada examen parcial y un 60% el examen final.
La calificación final será la más alta de las calificaciones por curso y del examen final.

Exámenes y controles

Control 1: respuestas

Control 2: respuestas

Convocatoria extraordinaria Respuestas Revisión del examen: viernes 6 de julio, a las 11:30, en el despacho del profesor (404 del módulo 17).

Hojas de ejercicios (pdf)

Hoja nº 1 Espacio métrico. Espacios topológicos. Base, subbase.

Hoja nº 2 Producto de dos espacios. Topología relativa. Interior, cierre, frontera. Espacio de Hausdorff.

Hoja nº 3 Funciones continuas. Homeomorfismos. Topología producto. Topología cociente.

Hoja nº 4 Conexión. Compacidad.

Hoja nº 5 Axiomas de numerabilidad. Homotopía: grupo fundamental.

Exámenes de años anteriores

Patricio Cifuentes
Fecha de elaboración: 15 / 07 / 2017