14448 - PROBABILIDAD II 
Obligatoria. 
Tercero de Matemáticas. Segundo semestre. 
8 créditos (8 créditos ECTS). 

Programa:

• Introducción: Leyes de los Grandes Números y Teorema Central del Límite, en sus formas más simples.
• Variables aleatorias y vectores aleatorios.  Definiciones, ejemplos. Aplicación de la Teoría de la Medida. Una fórmula del cambio de variable. Algunos ejemplos de vectores aleatorios.
• El concepto general de independencia, y sus consecuencias. Independencia de variables aleatorias. Ejemplos. Construcción del espacio producto. Sigma-álgebra cofinal. Ley 0-1 de Kolmogorov. Lemas de Borel-Cantelli. Tiempo de parada. Lema de Wald. Esperanza condicionada. Aplicaciones.  
• Funciones generatrices y aplicaciones. Función generatriz de probabilidad. Aplicaciones . Ejemplos. Función generatriz de momentos. 
• Función característica; aplicaciones. Teorema de Inversión y algunos límites (Ley Débil, Poisson y CLT). 
• Convergencia de variables aleatorias. Convergencia casi segura (c.s.); convergencia en probabilidad; convergencia en media de orden p. Relaciones entre ellas.  Teorema de Scheffé. Teorema de continuidad. 
• Distintas formas de la Ley Débil. Aplicaciones: paradoja de S. Petersburgo; teorema de aproximación de Weierstrass. 
• La Ley Fuerte (teoremas de Kolmogorov). Desigualdad maximal de Kolmogorov. Distintas versiones de la Ley Fuerte. Aplicaciones: números normales. 
• Teorema Central del Límite. Convergencia en distribución y el teorema de continuidad. Teorema Central del Límite. Hipótesis más débiles para el Teorema Central del Límite: condiciones de Lyapunov y de Lindeberg.

 Referencias:

• Adams & Guillemin.  Measure theory and probability.  Birkhauser, 1996. 
• Breiman. Probability. Addison-Wesley, 1968. 
• Durrett.   Probability: theory and examples.  Wadsworth & Brooks/Cole, 1991.
• Feller. An introduction to probability theory and its applications. (2nd ed): Wiley, 1971.
• Grimmett & Stirzaker. Probability and random processes.  Oxford, 1992 .
  
• Grimmett & Welsh.  Probability an introduction.  Oxford, 1986 .  
• Taylor.  An introduction to measure and probability.  Springer, 1997.

Hojas de ejercicios:     

Examen de junio:        

Examen de septiembre: 

Algunas respuestas:

14448 - PROBABILITY II 
Third Year. Second semester. 
8 ECTS credits. 

Contents:

• Introduction: Laws of Large Numbers and Central Limit Theorem, in their simplest forms. Easy proofs of both Weak and Strong Laws are presented, with their meaning as related to the Central Limit Theorem. 
•  Random variables and random vectors, in the language of Measure Theory. An example - based presentation, meant to recall the elementary Probability Calculus (from Prob.I, 2nd year), and to boost it with the language and ideas of Measure Theory (3rd year, 1st semester). 
•  The general setting of Independence, and some consequences. Uses of the Weak and Strong Laws. Including the Borel-Cantelli lemmas, Kolmogorov's 0-1 Law and Wald's Lemma. Conditional expectation.Examples. 
•  Generating functions, and some of their applications. Probability generating function. Moment generating function. Examples. 
• Characteristic functions. Inversion Theorems and some limit theorems (weak law, Poisson, Central Limit Theorem). 
• Convergence of random variables. Almost sure convergence, convergece in probability, p-mean convergence. Relationships. 
• Extensions of the Weak Law. Applications: "St.Petersburg paradox", Weierstrass approximation theorem.
  
• Strong Laws (Kolmogorov's theorems). Kolmogorov's maximal inequality. Distinct versions of the strong law. Applications: normal numbers.
• Central Limit Theorem. Convergence in distribution and the continuity theorem. Relationships with other notions of convergence. The central limit theorem. Weaker conditions for the central limit theorem: Lyapunov and Lindeberg conditions. 

References:

• Adams & Guillemin.  Measure theory and probability.  Birkhauser, 1996.
• Breiman. Probability. Addison-Wesley, 1968.
• Durrett.   Probability: theory and examples.  Wadsworth & Brooks/Cole, 1991.
• Feller; An introduction to probability theory and its applications. (2^nd ed.): Wiley, 1971.
• Grimmett & Stirzaker. Probability and random processes. Oxford, 1992.
• Grimmett & Welsh.  Probability an introduction. Oxford, 1986.
• Taylor.  An introduction to measure and probability. Springer, 1997.