PROYECTO Nº 1. Busca un mapa de tu
barrio. A partir de este mapa haz un grafo que lo represente. Estudia el
problema del reparto de correo de manera más eficiente. ¿Hay
un circuito de Euler? ¿Hay muchos? Si no hay un circuito de Euler,
¿se puede eulerizar? Busca la manera más eficiente. Asegúrate
que el cartero puede hacer el recorrido en una jornada de trabajo.
Escribe una carta de una página dirigida a la Oficina
de Correos describiendo cómo pueden servirle las técnicas
de este capítulo para mejorar la eficiencia de sus carteros. Asume
que el receptor de la carta no sabe matemáticas, pero está
dispuesto a leer tu escrito si piensa que vale la pena después de
leer el primer párrafo.
PROYECTO Nº 2. Lo mismo que en el
Proyecto nº 1, pero con la recogida de basura. En este caso debes
tener en cuenta las calles que son de una sola dirección.
PROYECTO Nº 3. ¿CUÁNTOS
COLORES SE NECESITAN PARA COLOREAR UN MAPA? Un mapa es un grafo
en el que las aristas son curvas. En un buen atlas los países se
colorean de diferentes colores para distinguirlos unos de otros. Esto significa
que dos países con frontera común deben pintarse con colores
diferentes. Cuando se usan muchos colores esto es fácil de conseguir.
Mucho más difícil es encontrar el menor número de
colores que son suficientes para colorear un mapa.
Un famoso problema, presentado en 1852, es probar que todo mapa
puede colorearse con cuatro colores. Este problema tardó 100 años
en ser resuelto. En 1976, K. Appel y W. Haken, de la Universidad de Illinois,
publicaron un demostración correcta (muchas otras, incorrectas,
se habían publicado antes) en la que se hacía mucho uso de
un ordenador. La demostración de Appel y Haken es complicada.
Mucho menos complicado es probar que cinco colores son suficientes
para colorear un mapa. El capítulo 9 del libro Graphs and their
uses (Oystein Ore, The Mathematical Association of America, 1990) presenta
una amena demostración de este resultado.
El Proyecto consiste en entender este capítulo, redactar
una presentación coherente con ejemplos y realizar la exposición
públicamente. El proyecto puede ser realizado por un grupo de hasta
3 personas.
PROYECTO Nº 4. Elige 7 ciudades
de España. Mira a un mapa de carreteras y construye el grafo valorado
que representa las distancias por carretera entre estas 7 ciudades. Aplica
a tu grafo valorado:
a) El método del vecino más cercano para cada ciudad
b) El método de las aristas clasificadas
Elige el que produzca el mejor resultado. ¿Crees que tu respuesta
es la solución óptima?
PROYECTO Nº 5. D.
VIRUS Y Dª POLIEDRO: UNA MATE-COMEDIA. (Proyecto para tres
personas). Aunque pueda parecer extraño los virus tienen formas
poliédricas regulares. Esto se debe, en parte, a que las formas
que están sometidas a menor presión suelen ser regulares.
Este tipo de poliedros se hacen con polígonos regulares. Pero, ¡no
toda combinación de polígonos regulares produce poliedros
regulares! Hay una fórmula, debida a Euler, de la que se deduce
las combinaciones de polígonos regulares que son posibles.
El proyecto consiste en una representación, una mate-comedia,
en la que un paciente (Dª Poliedro) y un médico (D. Virus)
discuten sobre la forma de los virus en una de las visitas de Dª Poliedro
a D. Virus. El tercer miembro del grupo explicará algunas frases
de los actores con los artilugios matemáticos adecuados.
Estos artilugios permiten demostrar que si un poliedro regular
está formado por pentágonos y hexágonos, debe tener
12 caras pentagonales (este es el modelo del balón que se usa para
jugar al balompié y también es el poliedro en cuyos vértices
se distribuyen los átomos de una molécula de Carbono 60).
En el proyecto se describirá la forma poliédrica que tienen
algunos virus y se hará un modelo en cartón del virus de
la poliomielitis.
La mate-comedia puede adaptarse del artículo "Built your
own virus" (Ian Stewart, Capítulo 6 del libro Game, Set and Math.,
Penguin Books, 1991). Antes de presentar el proyecto (por escrito y actuado)
es necesario hacer la traducción y la adaptación del guión.
PROYECTO Nº 6. POLIEDROS.
En "La fórmula de Euler para los poliedros" (J. Colera, M. de Guzmán,
E. Hernández, V. Rivierè, 1993) se da una demostración
de la fórmula de Euler para los poliedros que es un poco diferente
de la mostrada en clase. Además, contiene información adicional
sobre superficies, muestra cómo se construye un pulsera de tetraedros
y se estudian algunas propiedades de los poliedros semiregulares formados
con triángulos equiláteros y cuadrados.
El proyecto consiste en entender este artículo y redactarlo
con ejemplos propios. Se puede ir más alla estudiando propiedades
de otros poliedros semiregulares.
PROYECTO Nº 7. Entrevista a algún
pequeño empresario conocido tuyo y que esté a cargo de decidir
la política de producción de su compañía. Averigua
qué recursos usan y cuáles productos fabrican. Con la entrevista,
que tu debes preparar, debes averiguar al menos si hay restricciones sobre
los recursos que utilizan y de qué tipo son y el método que
usa el empresario para decidir la política de producción.
Una vez realizada la entrevista debes escribir tus averiguaciones
y razonar si la programación lineal le servirá para su negocio.
Si puedes, intenta resolver el problema.
PROYECTO Nº 8. Haz un programa de
ordenador que permita resolver un problema de mezclas con varios productos
y recursos. Debes poner al menos dos productos y dos recursos. El número
máximo de productos y recursos que pongas dependerá del método
que uses para resolver sistemas lineales y del tiempo que se tarde en resolverlos,
pero al menos el programa debe ser capaz de resolver un problema con 3
recursos con los que se fabrican 3 productos.
Si dispones de un problema de la vida cotidiana (quizá
puedes pedirselo a alguien que haya realizado el proyecto nº 7) resuélvelo.
Si no es así, usa los ejercicios 39, 40 y 42 de la hoja de problemas
nº 3 como banco de pruebas.
PROYECTO Nº 9. El Congreso de los
Diputados tiene 350 Congresistas: 2 por cada una de las 50 provincias,
uno por Ceuta y uno por Melilla; los restantes 248 escaños se distribuyen
entre las provincias con un sistema en el que se tiene en cuenta el número
de habitantes de cada provincia. Se necesita mayoría absoluta, es
decir al menos 176 votos, para aprobar una Ley o propuesta.
Las Elecciones del 3 de marzo de 1996 produjeron los siguientes
resultados:
PP = 156 escaños; PSOE = 141 escaños; IU
= 21 escaños; CiU = 16 escaños;
PNV = 5 escaños; CC = 4 escaños;
Otros = 7 escaños (incluye BNG(2), HB(2), ERC(1), EA(1)
y UV(1))
Para reducir el número de posibiliadades hemos agrupado todos
los partidos con menos de 3 votos en la coalición Otros. Como todos
los Congresistas tienen disciplina de voto, el Congreso funciona como un
sistema de votación ponderado.
Tienes que encontrar el índice de Banzhaf y el de Shapley-Shubik
del actual Congreso de los Diputados. Intenta considerar el menor número
de coaliciones posibles.
Comenta los resultados obtenidos. ¿Se puede decir que
los partidos nacionalistas tienen más influencia que la que le corresponde
por su número de votos? Este proyecto puede hacerse por dos personas.
PROYECTO Nº 10. Los órganos
de Gobierno de la Universidad Autónoma de Madrid son los Consejos
de Departamento, las Juntas de Facultad, la Junta de Gobierno y el Claustro.
Elige uno de estos órganos de Gobierno y busca en los Estatutos
de la Universidad Autónoma de Madrid qué miembros lo forman
y cómo son elegidos. Tu trabajo debe comenzar haciendo una exposición
completa y legible con tus averiguaciones.
Elige uno de estos órganos de Gobierno (un Consejo de
Departamento, una Junta de Facultad, la Junta de Gobierno o el Claustro),
estudia si es un sistema de votación ponderado y calcula el índice
de poder de cada grupo. Redacta tus conclusiones y haz cuantos comentarios
creas oportunos sobre la composición del órgano de Gobirno
estudiado.
PROYECTO Nº 11. Un método de
votación que permite a todos los ciudadanos expresar todas sus opiniones
sobre los candidatos es el de la votación preferencial. En este
método cada votante hace una lista de preferencias con los candidatos,
desde el que más le agrada al que más le desegrada. La elección
de los candidatos sigue un sistema complejo cuando hay que elegir más
de un candidato. Parece ser que este método de elección preserva
la proporcionalidad mejor que otros.
Pero no deja de tener paradojas. Incluso cuando hay que elegir
solamente un candidato, en cuyo caso se sigue el método de eliminación
del perdedor, se pueden producir resultados sorprendentes. El artículo
de P. C. Fishburn y S.J. Brams titulado Paradoxes of Preferencial Voting
(Mathematics Magazine, volumen 56, número 4, septiembre 1983) contiene
algunas de estas paradojas.
El trabajo consiste en adaptar la historia contada en el artículo
citado para poner de manifiesto estas paradojas. Basta con trabajar las
dos primeras secciones, aunque si alguien quiere puede hacer las restantes.
Este proyecto puede hacerse por dos personas