Fecha
de actualización: 12 de mayo de 2004
ANALISIS
DE FOURIER Y APLICACIONES
(Curso
de 3º ciclo de CC. Matemáticas, 2003-04)
Las clases se impartirán los lunes y miercoles de 16:00 a 17:30 en el aula de Seminario C-XV 320 del
Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid
1.
Preliminares.
Series e integrales de Fourier en R. El operador maximal de Hardy-Littlewood.
El teorema de diferenciación de Lebesgue. Lemas de cubrimiento. Aproximaciones
de la identidad y problemas de convergencia.
2.
La
transformada de Fourier en Rn.
Propiedades
de invarianza; acción sobre operadores diferenciales lineales.
3.
La
función armónica conjugada y la transformada de Hilbert. Integrales
singulares. Teoría de Calderón-Zygmund.
4. La
convergencia al dato de las soluciones de ecuaciones de valores iniciales: Integrales oscilatorias. Lema de Van
der Corput. Lema de la traza.
5. Ondículas
y Análisis Multirresolución. Construcción de ondículas. Algoritmos de análisis
y reconstrucción.
Bibliografía:
J.
Duoandikoetxea, Análisis de Fourier, Ed. Addison-Wesley / U.A.M.
J.
García-Cuerva y J.L. Rubio, Weighted
norm inequalities and related topics.
North Holland.
E.
Hernández, G. Weiss, A First Course on Wavelets, CRC Press.
Y.
Katznelson, An Introduction to Harmonic
Analysis, Ed. Dover.
T.W.
Körner, Fourier Analysis, Ed.
Cambridge.
S.
Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press.
W.
Rudin, Análisis
real y complejo,
Ed. McGraw Hill.
E.M.
Stein, Harmonic Analysis, Princeton
U. Press.
Objetivos
del curso:
El
objetivo de este curso es presentar las técnicas y métodos básicos del análisis
de Fourier necesarios para profundizar en sus aplicaciones. Las motivaciones fundamentales provienen de las ecuaciones de la Física
Matemática y de la teoría del tratamiento de señales.
Metodología el curso: Durante el curso se asignarán ejercicios para que deberán ser entregados por los alumnos. La calificación final se basará en la puntuación obtenida en los ejercicios entregados, la calificación del examen final y la presentación de un trabajo relacionado con los temas del curso.
Ejercicios: Ejercicios que se proponen durante las clases para ser entregados por los alumnos.
Trabajos: El trabajo de fin de curso será sobre un tema relacionado con los asuntos tratados en el programa. Aquí hay una lista de los
los temas de trabajo propuestos con las correspondientes referencias. El trabajo será corto, escrito en Latex, y con el
formato del fichero que puede recogerse aquí. Una vez finalizado el trabajo deberá realizarse una presentación oral.