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Number Theory Seminar UAM (2007-2010)

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24/9/2010
MODULO 17
Aula 520
13:00h
Pedro Berrizbeitia (Universidad Simon Bolivar)
Sobre el problema de distinguir números primos de números compuestos
En esta conferencia describiremos las ideas y resultados más importantes que han contribuido a encontrar números primos cada vez más grandes y a encontrar maneras cada vez más eficientes de distinguir los números primos de los compuestos. Nuestra historia empieza en la antigua Grecia con la noción de números perfectos, pasa por las contribuciones de Fermat en el siglo XVII, de Euler en el siglo XVIII, de Lucas en el siglo XIX; sigue con una breve descripción del enorme desarrollo del tema después de Lucas y a lo largo del siglo XX y del resultado de Agrawal, Kayal y Saxena, del Instituto de Tecnológico de Kanpur, en India, quienes en el año 2002 sorprendieron a la comunidad científica internacional con el algoritmo hoy conocido como AKS, el de mayor envergadura teórica en el tema; concluye con la llamada versión "práctica" de AKS, en la cual tenemos un papel protagónico. Finalizamos el trabajo señalando otras contribuciones al tema obtenidas por nuestro grupo de investigación.
17/6/2010
MODULO 17
Aula 520
12:00h
Jozsef Solymosi (University of British Coloumbia)
Sums versus products
An old conjecture of Erdös and Szemeredi states that any finite subset of integers has large sumset or productset. If A is a finite set of integers then the sumset is given by A+A={a+a’: a,a’ in A} and the product set is given by AA={aa’: a,a’ in A}. The conjecture is that |A+A|+|AA|>> |A|^(2-e) holds for any subset of integers A. This conjecture is still open. In this talk we will review some recent results and related problems.
20/1/2010
MODULO 17
Aula 520
11:00h
Fernando Chamizo (Universidad Autónoma de Madrid)
Kloostermanía
La teoría espectral de formas automorfas fue desarrollada por A. Selberg pasada la mitad del siglo XX siendo uno de sus resultados más conocidos la fórmula de traza. A principios de los años 80, N.V. Kuznetsov probó otra fórmula espectral con potenciales aplicaciones aritméticas que contenía unas sumas introducidas por Kloosterman más de cincuenta años atrás. La expectación causada por esta fórmula y los desarrollos iniciales en torno a ella se llamaron entonces "Kloostermanía".
En esta charla intentamos dar una introducción muy básica de la teoría espectral de formas automorfas. No se supone ningún conocimiento previo del tema.
15/1/2010
MODULO 17
Aula 520
12:00h
Carlos Vinuesa (Universidad Autónoma de Madrid)
Generalized Sidon sets
Lectura de Tesis
13/1/2010
MODULO 17
Aula 520
12:00h
ANÁLISIS
Mihalis Kolountzakis (Universidad de Creta)
Problems in Fourier Analysis arising in the study of tilings
I will describe several open problems that have come up in the study of tiling by translation (of sets, of functions) using the Fourier Transform. The main ingedient of this method of study is the use of the zeros of the FT (of the indicator function of the set, of the function) so most problems have to do with this zero set. The flavor of these problems is varying, form purely analytic to computational
19/12/2009
C-XV-520
11:30h
ANÁLISIS
Carlos Vinuesa (Universidad Autónoma de Madrid)
Conjuntos de Sidon generalizados
Un conjunto de enteros es un conjunto de Sidon si todas las sumas posibles de dos elementos del mismo son distintas, es decir, si dado un elemento del conjunto suma podemos deducir cuáles fueron los dos elementos que se sumaron para obtenerlo. En lugar de imponer esta condición tan restrictiva, podemos permitir que cada suma no se repita más de g veces. También podemos hacer sumas de h elementos en lugar de 2. El desafío es encontrar conjuntos de Sidon generalizados con la mayor densidad posible. Usando técnicas algebraicas, analíticas, combinatorias y probabilísticas, obtenemos nuevas cotas y construcciones de sucesiones y conjuntos de Sidon generalizados. En particular, resolvemos el "problema asintótico", que había sido objeto de deseo en el área durante mucho tiempo.
--Presentación de tesis
22/5/2009
C-XV-420
10:30h
ALGEBRA
Christophe Ritzenthaler (Institut de mathématiques de Luminy)
Explicit computation of Serre's obstruction for genus 3 curves
Let k be a field of characteristic different from 2. There can be an obstruction for an indecomposable principally polarized abelian threefold (A,a) over k to be a Jacobian over k. It can be computed in terms of the rationality of the square root of the value of a certain Siegel modular form. We show how to do this explicitly for principally polarized abelian threefolds which are the third power of an elliptic curve with complex multiplication. We use our numeric results to prove or refute the existence of some optimal curves of genus 3.

+Minicurso en Actividades Criptográficas en la UAM: "How to compute the number of rational points on an elliptic curves over finite fields?".
22/5/2009
C-XV-420
10:30h
ALGEBRA
Christophe Ritzenthaler (Institut de mathématiques de Luminy)
Explicit computation of Serre's obstruction for genus 3 curves
Let k be a field of characteristic different from 2. There can be an obstruction for an indecomposable principally polarized abelian threefold (A,a) over k to be a Jacobian over k. It can be computed in terms of the rationality of the square root of the value of a certain Siegel modular form. We show how to do this explicitly for principally polarized abelian threefolds which are the third power of an elliptic curve with complex multiplication. We use our numeric results to prove or refute the existence of some optimal curves of genus 3.

+Minicurso en Actividades Criptográficas en la UAM: "How to compute the number of rational points on an elliptic curves over finite fields?".
27/4/2009
C-XV-520
10:30h
ALGEBRA
Roger Oyono (Université de la Polynésie Française)
Rationality of the intersection points of a line with a plane quartic

We study some rationality problems for smooth plane quartics defined over finite fields. For example, we prove the existence of a F_q-rational line such that the intersection points with a F_q-rational quartic C are all rational. This study raises interesting questions we tackle using a full range of methods : arc theory, correspondence on algebraic curves and Chebotarev density theorem for function fields, for instance.
The two main results are the following theorems:
- Theorem 1: Let C be a smooth plane quartic over F_q. If q \geq 127 there exists a line which cuts C at rational points only.
- Theorem 2: Let C be a plane smooth quartic over F_q and assume that char(k) \neq 2. If q \geq 66^2+1, there exists a tangent to C which cuts C at rational points only.

+Minicurso en Actividades Criptográficas en la UAM: "The discrete logarithm problem in Cryptography".

20/4/2009
C-XV-520
12:30h
Máté Matolcsi (Universidad de Budapest)
Superadditivity and submultiplicativity for sumsets

For finite sets of integers A_1,...,A_n we study the cardinality of the n-fold sumset A_1+...+A_n compared to those of (n-1)-fold sumsets A_1+...+A_{i-1}+A_{i+1}+...+A_n. We prove a superadditivity and a submultiplicativity property for these quantities. Related entropy inequaities will also be discussed.
(Joint work with I. Ruzsa and K. Gyarmati)
17/4/2009
C-XV-420
11:30h
CRIPTO
ALGEBRA
Daniel Bernstein (University of Illinois at Chicago) and Tanja Lange (Technische Universiteit Eindhoven)
Complete addition laws for elliptic curves
Edwards curves are of interest to cryptography not only for their fast group arithmetic but also because they allow very easy implementation: For complete Edwards curves the addition law can be used to double points, to add the neutral element to one of the input points, to add a point to its negative, and in fact to add any pair of points. This is in sharp contrast to the representation of elliptic curves in Weierstrass form where each of these cases needs to be treated separately with a specific set of formulas.
In 2008 we generalized the concept of complete Edwards curves to characteristic 2 (joint work with Reza Rezaeian Farashahi) and showed that each ordinary binary curve is birationally equivalent to a complete binary Edwards curve.
In odd characteristic complete Edwards curves exist only if the curve has a point of order 4. In this talk we present a more general curve shape which allows for complete addition formulas and we give addition formulas that apply with no exception.

+Minicurso en Actividades Criptográficas en la UAM: "Edwards Curves and Factorization".
3/4/2009
C-XV-520
12:30 h
Thai Hoang Le (UCLA)
Arithmetic combinatorics in function fields
Analogies between the integers and the ring Fq[t] of polynomials over a finite field have been long known. However, from an arithmetic combinatorics perspective, these analogies have been little and only recently explored. As it turns out, in many cases existing methods can be transfered directly to Fq[t], while at times extra difficulties will arise. In this talk, I will discuss about analogs of some well-known results in this setting, including:
- Green-Tao theorem for Fq[t]: The irreducible polynomials in Fq[t] contain affine subspaces of arbitrarily high dimension.
- Sarkozy's theorem for Fq[t]: In any subset of positive density in Fq[t], we can find polynomials f, g such that f-g=h2 for some non-zero polynomial h in Fq[t].
1/4/2009
C-XV-520
12:00 h
Elena Cristóbal
Problemas de puntos del retículo en tres dimensiones
Los problemas de puntos del retículo constituyen una rama clásica de la teoría analítica de números. Consisten en contar el número de puntos de coordenadas enteras en grandes dominios cerrados, en el plano euclídeo y también en espacios de dimensión mayor o igual que tres. Se sabe que este número está bien aproximado por el volumen (o el área si estamos en dimensión dos) y la dificultad radica en reducir la diferencia entre el número de puntos del retículo y dicho volumen. Llamaremos término de error a esta diferencia.
Abordaremos uno de los problemas más clásicos, el problema de la esfera, mostraremos como se obtienen mejoras condicionales de la cota superior del error bajo una hipótesis ligada al crecimiento de las funciones L reales que es más débil que la hipótesis de Riemann generalizada. Además, para llegar a la mejora, también se dan nuevas estimaciones de ciertas sumas trigonométricas y de caracteres que por sí mismas son de interés independiente.
Daremos un Omega-resultado (estimación inferior) para el problema de los puntos visibles en la esfera, la estimación es comparable a la que se conoce para todos los puntos. Para ello introducimos un nuevo método.
Por último, trataremos el problema en elipsoides racionales. Mejoramos la cota superior del error consiguiendo el mismo resultado que en la esfera. La clave está en añadir una suma de coeficientes de formas modulares en la descomposición del término de error.
--Presentación de tesis
13/3/2009
C-XV-520
12:45h
Juanjo Rué (Universitat Politècnica de Catalunya)
Representación de enteros mediante formas bilineales f(x,y)=jx+ky, con x,y pertenecientes a un conjunto de enteros infinito
Esta charla trata sobre un problema de teoría aditiva de números, y más concretamente sobre un problema en el marco de las funciones de representación. Empezamos recordando la conjetura de Erdös-Turán, problema muy importante (y todavía no resuelto) en el campo de la teoría aditiva de números. Esta conjetura es el punto de partida para el trabajo que presentamos.
Demostramos que si j y k son enteros mayores que 1, entonces no existe ningún conjunto infinito de enteros positivos A tal que la función de representación r(n) = #{(a, a') : n = ja + ka': a, a' en A} sea constante para n suficientemente grande. Este resultado completa trabajos anteriores de Dirac y Moser, y da solución a una cuestión formulada por Sárkozy y Sós. Presentamos, además, otros problemas relacionados que pueden ser abordados mediante las técnicas que proponemos.
Este trabajo ha sido desarrollado en colaboración con Javier Cilleruelo en el marco del DocCourse in Additive Combinatorics (CRM Barcelona enero-marzo 2008)
7/11/2008
C-XV-320
12:30h
ALGEBRA
Amílcar J. Pérez A. (Universidad Simón Bolivar)
Sobre los polígonos regulares constructibles
Al considerar problemas relacionados con las construcciones con regla y compás ha sido natural el uso de una mezcla de geometría y álgebra, o como lo expresa Joseph Rotman "In our dicussion, we shall freely use any standard result of euclidean geometry". Pero ¿es posible reducir al mínimo esta mezcla en favor de un enfoque más algebraico, y llegar así a probar que el conjunto de los números construibles es un subcuerpo de los complejos, cerrado bajo el cálculo de raíces cuadradas y conjugación compleja? En esta charla el autor, por una parte dará una respuesta a este problema, y por la otra, mostrará una prueba más algebraica del teorema, enunciado por Gauss, sobre la constructibilidad de los polígonos regulares, sin hacer uso del teorema de Galois sobre los polinomios resolubles por radicales. El trabajo de base de esta charla es el trabajo en preparación " Constructibility of regular polygons revisited" del autor, que tiene además una motivación pedagógica de fondo.
15/10/2008
C-XV-320
12:30h
ALGEBRA
Luis Dieulefait (Universitat de Barcelona) and Jorge Jiménez Urroz (Universitat Politècnica de Catalunya)
Formas modulares con cuerpos de coeficientes grandes via congruencias.
Explicaremos como determinar curvas elipticas y Q-curvas modulares con poca ramificación a traves de ecuaciones diofánticas y como generar a través de ellas congruencias con formas modulares con cuerpo de coeficientes arbitrariamente grande. Por otro lado explicaremos como determinar los primos de Eisenstein para cualquier nivel libre de cuadrados (en el caso de nivel primo esto es un resultado de Mazur) y como estos primos tambien dan lugar a formas modulares de cuerpos arbitrariamente grandes.
La parte I (L.D.) se centrará en aspectos aritmético-geométricos y la parte II (J.J.) en aspectos aritmético-analíticos.
(Trabajo en colaboración con K. Ribet)
14/10/2008
C-XV-320
12:30h
ALGEBRA
Marc-Hubert Nicole (Université París 7)
Stratifications of Shimura Varieties: a survey.
Stratifications are useful tools to understand the geometry of Shimura varieties in positive characteristic. Their strata may satisfy various notions of purity e.g., affiness.
In this survey talk, I will motivate the study of stratifications by first discussing in detail the example of modular curves. I will then define various natural stratifications coming from p-divisible groups e.g., the Newton, p-rank, Manin stratifications, etc. and explain their main properties. I will illustrate the importance of purity with applications to number theory.
Proofs will be skipped.
5/6/2008
C-IX-405
12:00h
ALGEBRA
CRIPTO
Steven Galbraith (Royal Holloway, University of London)
Endomorphisms for faster elliptic curve cryptography on general curves
We present efficiently computable homomorphisms for general elliptic curves by working over quadratic extensions. This allows point multiplication to be accelerated using the Gallant-Lambert-Vanstone method. Our preliminary results give up to a 74 percent speedup for elliptic curve cryptography using general curves. Further speedups are possible when using special curves.
This is joint work with Xibin Lin and Michale Scott (Preprint).

+Minicurso en Actividades Criptográficas en la UAM: "Pairing based cryptography".
20/5/2008
C-XV-520
12:00h
Florian Luca (Universidad Nacional Autónoma de México)
Una conjetura de Lehmer para los numeros de Fibonacci
Para un entero positivo n sea phi(n) le función de Euler de n. D.H. Lehmer conjecturó en 1932 que si phi(n) divide a n-1, entonces n es primo. Está conjetura sigue siendo abierta. En mi charla probaré que la conjetura es cierta para la sucesión de los números de Fibonacci F_n dada por F_1=1, F_2=1 y F_{n+2}=F_{n+1}+F_n para n=>1. La prueba usa varios propiedades de divisibilidad de la sucesión de Fibonacci, el Teorema del Divisor Primitivo, la Criba Grande y tiene también una componente computacional.
9/5/2008
C-XV-320
12:30h
ALGEBRA
CRIPTO
Daniel Bernstein (University of Illinois at Chicago) and Tanja Lange (Technische Universiteit Eindhoven)
Binary Edwards Curves
The curve shape suggested by Edwards does not define elliptic curves over fields of characteristic 2. We recently generalized the concept of Edwards curves and defined binary Edwards curves. These curves offer complete addition formulas and are the first binary curves with this property. Doubling and differential addition (addition of two points with known difference, like in the Montgomery ladder) are very fast on these curves.
We present the design principles behind this choice of curve shape, present the birational equivalence with Weierstrass elliptic curves and explain how to obtain fast doubling and differential addition.
This is joint work with Reza Rezaeian Farashahi, TU/e. (Preprint)

+Minicurso en Actividades Criptográficas en la UAM: "Elliptic Curve Cryptography".
25/4/2008
C-XV-520
12:30h
ALGEBRA
Roger Oyono (Université de la Polynésie Française)
Non-hyperelliptic modular Jacobians of Dimension 3
In this talk, I will present a method to solve explicitly the problem of constructing the curves given by Torelli's theorem in dimension 3 over the complex numbers: For an undecomposable principally polarized abelian threefold A over the complex given by its period matrix, compute a model of the curve of genus three (unique up to isomorphism) whose Jacobian, equipped with its polarization, is isomorphic to A as principally polarized abelian variety. We use this method to describe the non-hyperelliptic modular Jacobians of dimension 3.

+Minicurso en Actividades Criptográficas en la UAM: "Public key Cryptography based on the discrete logarithm problem".
11/4/2008
C-XV-520
12:30h
ALGEBRA
José M. Tornero (Universidad de Sevilla)
Una caracterización aparentemente inútil de la torsión racional en curvas elípticas
En esta charla presentaremos algunos resultados, fruto del trabajo con Irene García, que nos permiten caracterizar, mediante ecuaciones diofánticas, la torsión racional en curvas elípticas. Después de explicar para qué no valen estas ecuaciones, presentaremos algunos problemas donde sí se pueden aplicar estos resultados, y veremos los avances parciales que hemos logrado.
3/4/2008
C-XV-520
12:00h
Igor Shparlinski (Macquarie University, Australia)
Fermat Quotients
We show that for a prime p the smallest a with a^(p-1) not \equiv 1 mod p^2 does not exceed (log p)^{463/252 + o(1)} which improves the previous bound O((log p)^2) obtained by H. W. Lenstra in 1979. We also show that for almost all primes p the bound can be improved as (log p)^{5/3 + o(1)}.
These results are based on a combination of various techniques including the distribution of smooth numbers, distribution of elements of multiplicative subgroups of residue rings, bound of Heilbronn exponential sums and a large sieve inequality with square moduli.
This is a joint work with J. Bourgain, K. Ford and S. Konyagin.
6/3/2008
C-XV-520
12:00h
Pante Stanica (Naval Postgraduate School, Monterey, USA)
Combinatorial and Number Theoretical Considerations on Hamming Weights and Sum of Digits
In this talk we will (briefly) survey some distribution results on the sum of digits of positive integers. In particular, we will talk about the sequence of positive integers a_k defined to be the smallest multiple of integers k>1 such that the sum of its digits in some base q is equal to k. The asymptotic behavior, lower and upper bound estimates of a_k are investigated. A characterization of the minimality condition is also considered.
COLOQUIO
20/2/2008
C-XV-520
15:30h
Norbert Schappacher (U. Louis Pasteur, Strasbourg)
El "outsider" de la teoría de los números - vida y obra de Kurt Heegner
Kurt Heegner (1893 - 1965) vivió en Berlín y se ganó la vida trabajando como autónomo para algunas grandes empresas alemanes en el desarrollo de un nuevo tipo de válvulas para radios, sobre todo en las años 1920. Tuvo varias patentes a su nombre. Pero después de los años 1930, estuvo trabajando - en casa y esencialmente aislado de la comunidad matemática - sobre algunas cuestiones de la teoría de los números y de las formas modulares. Logró publicar artículos en Mathematische Zeitschrift y en Crelle’s Journal. En 1952 resolvió una conjetura de Gauss, inventando un método que continúa siendo uno de los más fuertes hoy conocidos en la aritmética de las curvas elípticas. Pero su demostración no fue aceptada por la comunidad matemática hasta después de su muerte.
22/11/2007
C-XV-520
15:30h
Jesús Guillera
Series de Ramanujan: generalizaciones y conjeturas
Mediante el método WZ demostramos, de un modo sencillo y directo, ocho series de tipo Ramanujan para 1/pi y tres series similares para 1/pi^2. Modificando los pares WZ asociados a las demostraciones anteriores y utilizando una estrategia diferente obtenemos algunas identidades hipergeométricas. Estas identidades inspiran ciertas conjeturas, una de las cuales nos lleva a descubrir cuatro series más para la constante 1/pi^2 que no han podido ser demostradas todavía. Finalmente, basados en otra de las conjeturas anteriores, elaboramos un método que permite encontrar las fórmulas que determinan no sólo las familias de tipo Ramanujan sino también las de la variante de Ramanujan-Sato.
26/10/2007
C-XV-520
16:00h
D.S. Ramana (Harish-Chandra Research Institute, Allahabad, India)
Sum-free subsets of finite abelian groups
We describe a classification theorem for largest sum-free subsets in finite abelian groups of type III, that is groups all prime divisors of the orders of which are 1 modulo 3. This complements a work of Green and Rusza. We shall thereafter give some applications of this classification theorem. The talk is based on joint work with R. Balasubramanian and Gyan Prakash.
4/10/2007
C-XV-320
11:00h
ALGEBRA
Christophe Ritzenthaler (Institut de mathématiques de Luminy)
Where are the Jacobians?
In this talk we will consider the following problem : which isogeny classes of abelian varieties over a finite field contain the Jacobian of a curves? We will give the history of this question through the genus 1,2 and 3 cases. This will lead us naturally to a conjecture of Serre on non hyperelliptic genus 3 curves. Moreover we will give a complete answer for the case g=3 over  the finite field of 2^2n elements.
1/6/2007
C-XV-320
12:00h
ALGEBRA
Josep González (Universitat Politècnica de Catalunya)
Parametrizaciones modulares de curvas elípticas con multiplicación compleja
Sea p:Jac(X_1(N))-->C una parametrización modular nueva de una curva elíptica C definida sobre el cierre algebraico de Q. El objeto de la exposición es el estudio de los subespacios 1-dimensionales (direcciones) de S_2(\Gamma_1(N)) correspondientes al "pullback" de las diferenciales de C bajo tales parametrizaciones modulares.
El caso de curvas elípticas sobre Q es bien conocido a partir de los resultados de Shimura: las direcciones alcanzadas están en biyección con las formas nuevas normalizadas con coeficientes de Fourier racionales. Para curvas elípticas sin multiplicación compleja (CM), las direcciones fueron estudiadas por J.C. Lario y J. González. Este trabajo completa el tema, caracterizando las direcciones correspondientes a curvas elípticas con CM.
COLOQUIO
29/5/2007
C-XV-520
15:30h
Steven Galbraith (Royal Holloway, University of London)
Curves and cryptography
This talk will present a survey of the applications of algebraic geometry in public key cryptography. Some basic principles of the discrete logarithm problem and the Diffie-Hellman protocol will be described. Then I will explain how elliptic curves over finite fields can be used in this setting. Finally, I will discuss how to obtain a finite group from a hyperelliptic curve over a
finite field, and discuss some possible advantages from using hyperelliptic curves for cryptography.
9/3/2007
C-XV-320
12:00h
ALGEBRA
Anna Rio (Universitat Politècnica de Catalunya)
Cálculo de isogenias entre curvas elípticas
Dada una isogenia entre curvas elípticas, la descripción polinómica de la antiimagen de un punto nos lleva a una generalización de las fórmulas de Vélu, que a su vez proporciona un método eficiente para calcular isogenias con núcleo un subgrupo racional.
Los algoritmos para el cálculo de isogenias son cruciales para el algoritmo de Schoof-Elkies-Atkin (SEA) que calcula el cardinal de una curva elíptica sobre un cuerpo finito. En ellos se trabaja con el desarrollo en serie de potencias de la función $\wp$ de Weierstrass. Nuestros resultados sugieren una interpretación más algebraica y quizá el desarrollo de algoritmos alternativos.
COLOQUIO
16/2/2007
C-XV-520
11:30h
Peter Sarnak (Princeton University)
Primes and orbits
The search for primes satisfying constraints ,for example Dirichlet's Theorem on primes in progressions or the Hardy Littlewood k-tuple conjecture ,has been primarily restricted to actions on Z^n by translations.We will review some of these and some recent developments which allow for linear actions on Z^n.Some interesting new tools from combinatorics (expander graphs associated with such actions)are needed to sieve in this linear context.We give applications of the theory to concrete ancient problems such as divisibility of areas of pythagorean triangles..
16/2/2007
C-XV-520
10:00h
ALGEBRA
Roger Oyono (University of Waterloo)
Jacobians of non-hyperelliptic curves of genus 3 in Cryptography
In this talk, I will present a fast addition algorithm in the Jacobian of non-hyperelliptic curves of genus 3. The presented algorithm has a nice geometric interpretation, comparable to the classic chord and tangent law for the elliptic curves.
Created: 1/2/2007
Last modified: 13/10/2010