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- Josep Àlvarez: D-módulos en característica positiva y descenso de Frobenius.
La teoría de D-módulos en característica cero ha sido utilizada
con éxito en diferentes áreas como el Álgebra Conmutativa o la teoría de
Singularidades. En particular podríamos destacar los trabajos de G.
Lyubeznik sobre
módulos de cohomología local o la descripción de los ideales
multiplicadores
en términos de D-módulos dada por N.Budur y M. Saito.
Este tipo de problemas han recibido una especial atención en el caso de
característica
positiva en los últimos años. Para afrontarlos se ha utilizado dos
puntos de vista
diferentes: D-módulos en característica positiva y módulos con una
acción de Frobenius.
El objetivo de esta charla es la de introducir estas teorías señalando
las principales
diferencias con el caso de D-módulos en característica cero. En
particular presentaremos
algunos de los resultados obtenidos recientemente así como algunos de
los problemas
que aún estan abiertos.
- Ana Bravo Singularidades de hipersuperficies en característica positiva y estratificación del lugar singular.
Es un hecho bien conocido que la resolución de
singularidades de una variedad es consecuencia del teorema de
resolución logarítmica de ideales. En esta charla exponemos
resultados de un trabajo conjunto con O. Villamayor en el que probamos que dada una hipersuperficie H sobre un cuerpo k
podemos definir una función semicontinua superiormente, η,
que la estratifica en estratos lisos. Después, mediante un
argumento inductivo y una determinada forma de eliminación,
demostramos que, tras una sucesión finita de explosiones con
centros el estrato máximo de η, el transformado total del
ideal de H tiene una forma monomial en "menos variables", en un
sentido que haremos preciso durante la charla. Sobre cuerpos de
característica 0, este procedimiento da lugar a un algoritmo de
resolución de singularidades ya conocido. Mencionaremos también
avances recientes de A. Benito y O. Villamayor en esta línea de
investigación.
- Eduardo Casas Sombras, discriminante e imágenes directas.
Las imágenes de gérmenes irreducibles de curva plana por un morfismo analítico se agrupan en torno a las ramas del discriminante del morfismo y de unas estructuras infinitesimales (sombras) asociadas a las ramas de la jacobiana que se contraen y no dan lugar por tanto a ramas del discriminante.
- Enrique González Jiménez: Tres problemas aritméticos y una curva elíptica.
Se muestra como tres problemas clásicos como son la no existencia de cuatro cuadrados en progresión aritmética, una forma concordante de Euler y una variante del problema de los números congruentes pueden ser resueltos con la resolución de una misma ecuación diofántica. Concretamente, con el cálculo de los puntos racionales de una curva elíptica.
- Enric Nart: Polígonos de Newton de orden superior en teoría algebraica de números. (Trabajo conjunto con Jordi Guàrdia y Jesús Montes).
En el contexto del problema clásico de factorizar ideales en cuerpos de números, presentamos una teoría de polígonos de Newton de orden superior, sugerida por O. Ore, que permite factorizar un polinomio separable sobre un cuerpo p-ádico, y proporciona información aritmética sobre los cuerpos generados por los factores irreducibles. Como aplicación, se obtienen algoritmos eficientes para el cálculo de discriminantes, descomposición de primos y bases de enteros en cuerpos de números.
- Joaquim Roé Rango máximo para esquemas de singularidades A, D y E.
La resolución de las singularidades de una curva plana proyectiva consiste en una sucesión de explosiones de puntos; las multiplicidades de la curva en estos puntos y sus relaciones de proximidad clasifican el tipo equisingular de la curva (y si el cuerpo base es C, su tipo topológico).
Dado un tipo equisingular y un grado, ¿existen curvas de ese grado y de ese tipo? Dado un tipo equisingular, una colección de puntos cumpliendo sus relaciones de proximidad y un grado, ¿existen curvas de ese grado y de ese tipo, cuya resolución sea explotar precisamente esos puntos? ¿Cuántas?
En el caso de singularidades A, D y E, con los puntos en posición general, podemos responder la segunda cuestión, lo que nos sirve para construir curvas con estas singularidades de los grados más bajos conocidos hasta el momento.
- Josu Sangróniz: Órbitas y caracteres en p-grupos.
El llamado método de Kirillov de las órbitas coadjuntas utiliza la correspondencia de Lazard entre ciertas familias de p-grupos y álgebras de Lie para describir los caracteres irreducibles de los primeros. Haremos una presentación de este método que nos permitirá, por ejemplo, describir los caracteres irreducibles de los p-subgrupos de Sylow de los grupos clásicos (para p impar) de grado suficientemente alto y, en particular, los de grado máximo.
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