Temas a tratar

• ¿Qué es un intervalo de confianza (IC)?

• IC para la media:

  • Población normal, varianza conocida

  • Población normal, varianza desconocida

  • Otras poblaciones: IC para una proporción

• El método de la cantidad pivotal

• Algunas cantidades pivotales en poblaciones normales

• Cantidades pivotales asintóticas basadas en el EMV

• Intervalos desde el punto de vista bayesiano

¿Qué es un intervalo de confianza?

• Objetivo: obtener un intervalo tal que podemos confiar en que contiene al verdadero valor de un parámetro desconocido

• Sean $a(X_1,\ldots,X_n)$ y $b(X_1,\ldots,X_n)$ tales que, para $\alpha\in (0,1)$, $$\mbox{P}_\theta\{a(X_1,\ldots,X_n)<\theta<b(X_1,\ldots,X_n)\}=1-\alpha,\ \mbox{para todo}\ \ \theta$$

• Para una realización concreta de la muestra, $x_1,\ldots,x_n$, se dice que $$\mbox{IC}_{1-\alpha}(\theta):=[a(x_1,\ldots,x_n),\ b(x_1,\ldots,x_n)]$$ es un intervalo de confianza (IC) para $\theta$ con nivel de confianza $1-\alpha$

IC para la media

IC para la media

Interpretación frecuentista

Extraemos $m = 100$ muestras de tamaño $n = 30$ de una población normal estándar y determinamos el número de ellas en las que el correspondiente intervalo de nivel 0.95 (calculado con la fórmula que hemos visto) contiene al verdadero valor del parámetro.

IC para la media

Población normal, varianza desconocida

Se sustituye $\sigma$ por $S$ en la estandarización de la media

Por el lema de Fisher, $$\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}\equiv t_{n-1}$$

$$\mbox{IC}_{1-\alpha}(\mu) = \left(\bar x-t_{n-1;\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}},\ \ \bar x+t_{n-1;\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

La notación $t_{n-1;\alpha/2}$ representa el valor que deja a su derecha una probabilidad $\alpha/2$ en la distribución t de Student con $n-1$ grados de libertad (o sea, el cuantil $1-\alpha/2$ de la distribución).

Ejemplo

Se mide el tiempo de duración (en segundos) de un proceso químico realizado 20 veces en condiciones similares, obteniéndose los siguientes resultados (suponemos que los datos proceden de una distribución normal)

resultados <- c(93, 90, 97, 90, 93, 91, 96, 94, 91, 91, 88, 93, 95, 91, 89, 92,
87, 88, 90, 86)
mean(resultados)

## [1] 91.25

Usamos el comando t.test:

t.test(resultados)$conf.int   # 95% es el nivel por defecto

## [1] 89.87604 92.62396
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

t.test(resultados, conf.level = 0.9)$conf.int   # nivel 90%

## [1] 90.11492 92.38508
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.9

IC para la media

Otras poblaciones, varianza desconocida

Aunque la población no sea normal podemos aplicar el TCL: $$\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\to_d \mbox{N}(0,1)$$

Sustituyendo $\sigma$ por un estimador consistente $\hat \sigma$ y usando el lema de Slutsky $$\frac{\bar X-\mu}{\hat \sigma/\sqrt{n}}\to_d \mbox{N}(0,1)$$ De la propiedad anterior se obtiene el siguiente intervalo de confianza para $\mu$ con nivel aproximado $1-\alpha$,

$$\mbox{IC}_{1-\alpha}(\mu) \approx \left(\bar x-z_{\alpha/2}\frac{\hat\sigma}{\sqrt{n}},\bar x+z_{\alpha/2}\frac{\hat\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

IC para una proporción

Sean $X_1,\ldots,X_n$ vaiid $\mbox{B}(1,p)$

Si denotamos $\hat p=\bar{X}$, por el TCL $$\frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\to_d N(0,1),$$ y reemplazando $p$ por su estimador natural $\hat p$ en el denominador,

$$\mbox{IC}_{1-\alpha}(p) \approx \left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \right)$$

Ejemplo

Se estima la proporción $p$ de piezas defectuosas en la producción de una fábrica con una muestra de 200 piezas de las cuales 8 resultan ser defectuosas. Calcula un intervalo de confianza de nivel 0.95 para $p$.

Sustituyendo en la fórmula $$\mbox{IC}_{0.95}(p) \approx \left( \frac{8}{200}\pm 1.96\sqrt{\frac{0.04\cdot 0.96}{200}} \right) = (0.04\pm 0.02716)$$ Supongamos que se desea obtener un intervalo con un error de como mucho 0.01. ¿Qué tamaño muestral habría que elegir? Nuestro objetivo es conseguir $$E = 1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \leq 0.01$$

Dos posibilidades:

• Usar la información disponible como muestra piloto: $n \approx 1475$

• Asumir el peor de los casos que es $p=1/2$: $n\approx 9604$

Una ficha técnica

Tamaño muestral $n=1100$ y nivel de confianza $1-\alpha = 0.9545$. Para este nivel resulta $z_{\alpha/2}=2$:

alpha <- 1-0.9545
qnorm(1-alpha/2)

## [1] 2.000002

El intervalo es de la forma $[\hat p\mp 2\sqrt{\hat p (1-\hat p)/n}]$. El margen de error de la ficha corresponde al caso más desfavorable, $p = 1/2$:

n <- 1100
error <- 2*sqrt(1/(4*n))
error

## [1] 0.03015113

El método de la cantidad pivotal

Diferencia de dos medias

Dos muestras independientes

Dos muestras independientes de vaiid:

• $X_1,\ldots,X_{n_1}$ de una distribución $\mbox{N}(\mu_1,\sigma^2)$
• $Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ de una distribución $\mbox{N}(\mu_2,\sigma^2)$

Se supone homocedasticidad: las varianzas de ambas poblaciones son iguales.

El objetivo es encontrar una cantidad pivotal para $\mu_1-\mu_2$

Como las muestras son independientes: $$\frac{(\bar X -\bar Y) - (\mu_1-\mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{1}n_1 + \frac{1}{n_2}}} \equiv \mbox{N}(0,1)$$ Las dos varianzas muestrales estiman el mismo parámetro. ¿Cómo los combinamos?

Estimación de la varianza

$$S^2_p = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$$

1. Demuestra que $\mbox{E}(S^2_p) = \sigma^2$

2. Demuestra que $(n_1+n_2-2)S^2_p / \sigma^2 \equiv \chi^2_{n_1+n_2-2}$

3. Demuestra que, como consecuencia, $$\frac{(\bar X -\bar Y) - (\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\frac{1}n_1 + \frac{1}{n_2}}} \equiv t_{n_1+n_2-2}$$

4. De la cantidad pivotal para $\mu_1 - \mu_2$ anterior deducir el intervalo de confianza: $$\mbox{IC}_{1-\alpha} (\mu_1-\mu_2) = \left[(\bar X -\bar Y) \mp t_{n_1+n_2-2;\alpha/2}\, S_p\sqrt{\frac{1}n_1 + \frac{1}{n_2}} \right]$$

Ejemplo

A un grupo de 20 pollos se les suministró pienso con harina de maíz de una nueva variedad transgénica. A otro grupo de 20 pollos (grupo de control) se le alimentó con un pienso que no contenía la variedad mejorada. Ganancias de peso de los pollos (en gramos) al cabo de 21 días de alimentación:

maiz.normal <- c(380, 321, 366, 356, 283, 349, 402, 462, 356, 410, 329, 399, 
    350, 384, 316, 272, 345, 455, 360, 431)
maiz.transgenico <- c(361, 447, 401, 375, 434, 403, 393, 426, 406, 318, 467, 
    407, 427, 420, 477, 392, 430, 339, 410, 326)

Tal y como tenemos los datos aún no están ordenados del todo. Recordamos que debemos tener:

• Todos los datos del mismo análisis en el mismo data.frame

• Cada fila del fichero corresponde a un individuo

• Cada columna del fichero corresponde a una variable

Ejemplo

Para ordenar los datos y representar diagramas de cajas:

peso <- c(maiz.normal, maiz.transgenico)
tipo <- gl(2, 20, labels = c('normal', 'transgénico'))   # genera un factor con dos niveles
datos_maiz <- data.frame(peso, tipo)
ggplot(datos_maiz) +
  geom_boxplot(aes(x=tipo, y=peso), fill='olivedrab4')

Ejemplo

Los pollos alimentados con un pienso normal tienden a ganar menos peso que los alimentados con transgénico

Calculamos el IC para $\mu_1-\mu_2$, donde $\mu_1$ es la ganancia media de peso con pienso normal y $\mu_2$ es la ganancia media de peso con pienso transgénico:

t.test(peso ~ tipo, data=datos_maiz, var.equal=TRUE)$conf.int

## [1] -66.700161  -6.599839
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

El hecho de que todos los valores del intervalo sean negativos apoya la afirmación de que $\mu_1<\mu_2$.

Diferencia de dos medias

Datos emparejados

Se observa una muestra $(X_1,Y_1),\ldots,(X_n,Y_n)$ de datos normales bidimensionales y no es posible suponer que las variables $X$ e $Y$ son independientes.

Se trabaja con las diferencias $D_1,\ldots,D_n$, donde $D_i=X_i-Y_i$: $$\mu = \mbox{E}(D_i) = \mbox{E}(X_i) - \mbox{E}(Y_i) = \mu_1 -\mu_2$$

El intervalo de confianza para la diferencia de medias se construye a partir del intervalo para $\mu$.

Ejemplo

Tomamos medidas de la concentración de zinc en la superficie y en el fondo (en mg/l) de seis puntos de un río. ¿Es la concentración media igual en la superficie y en el fondo?

Como cada medida en profundidad y fondo corresponde al mismo punto del río no podemos suponer independencia.

Esto se indica usando el argumento paired = TRUE en el comando t.test:

fondo <- c(0.41, 0.24, 0.39, 0.41, 0.60, 0.61)
superficie <- c(0.43, 0.27, 0.57, 0.53, 0.71, 0.72)
t.test(fondo, superficie, paired = TRUE)$conf.int

## [1] -0.15822795 -0.03177205
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

IC para la varianza

• Si $X_1,\ldots,X_n$ son vaiid con distribución $\mbox{N}(\mu,\sigma^2)$, por el lema de Fisher, $$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\equiv \chi^2_{n-1}$$

• $(n-1)S^2/\sigma^2$ es una cantidad pivotal para $\sigma^2$

• Si $\chi^2_{n-1,\alpha}$ es el cuantil $1-\alpha$ de la la distribución $\chi^2_{n-1}$, entonces $$1-\alpha = \mbox{P}\left(\chi^2_{n-1,1-\alpha/2} <\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}< \chi^2_{n-1,\alpha/2} \right)$$

• De aquí se deduce fácilmente un IC para $\sigma^2$ (ejercicio)

• La distribución no es simétrica por lo que los cuantiles necesarios no solo difieren en el signo como en los IC anteriores

• Hay infinitos pares de cuantiles que podríamos usar. Los que se usan habitualmente (los anteriores) no proporcionan el IC más corto

IC para el cociente de varianzas

Dos muestras independientes de vaiid:

• $X_1,\ldots,X_{n_1}$ de una distribución $\mbox{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$
• $Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ de una distribución $\mbox{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$

La cantidad pivotal para $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ depende de una nueva distribución

Distribución $F$

Sean $Y_1$ e $Y_2$ dos v.a. independientes con distribuciones $\chi^2_{n_1}$ y $\chi^2_ {n_2}$, respectivamente. Se dice que la variable $$Y=\frac{Y_1/n_1}{Y_2/n_2}$$ tiene distribución $F$ con $n_1$ y $n_2$ grados de libertad. (Notación: $Y\equiv F_{n_1,n_2}$).

• ¿Qué relación hay entre la distribución $F$ y la $t$ de Student?

• Demuestra que $F_{n_1,n_2;\alpha} = 1/F_{n_2,n_1;1-\alpha}$ (con la notación habitual)

IC para el cociente de varianzas

ggplot(data.frame(x = c(0, 6)), aes(x)) +
  geom_function(fun = 'df', args = list(df1 = 5, df2= 20), size = 1.05)  +
  geom_function(fun = 'df', args = list(df1 = 20, df2= 20), col = 'blue', linetype = 2, size = 1.05) +
  geom_function(fun = 'df', args = list(df1 = 20, df2= 5), col = 'red', linetype = 3, size = 1.05)

IC para el cociente de varianzas

Sean $S_1^2$ y $S_2^2$ las varianzas muestrales de cada una de las dos muestras. Entonces $$F = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} = \frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2} \equiv F_{n_1-1,n_2-1}$$

Por lo tanto, $F$ es una cantidad pivotal para el cociente de las varianzas, lo que da el IC (ejercicio) $$\mbox{IC}_{1-\alpha}(\sigma_1^2/\sigma_2^2) = \left[\frac{S_1^2}{S_2^2}F_{n_2-1,n_1-1;1-\alpha/2},\ \ \frac{S_1^2}{S_2^2}F_{n_2-1,n_1-1;\alpha/2} \right]$$

Ejemplo

Para calcular este intervalo con R se usa el comando var.test:

# Generación de  datos
set.seed(123)
n <- 100
sigma1 <- sqrt(2)
sigma2 <- 1
x <- rnorm(n, sd = sigma1)   
y <- rnorm(n, sd = sigma2)
# Calculo de intervalos
var.test(x, y)$conf.int  # Por defecto 95% es el nivel de confianza

## [1] 1.199136 2.648760
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

var.test(x, y, conf.level = 0.99)$conf.int   # Nivel 99%

## [1] 1.057455 3.003648
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.99

Pivotes asintóticos basados en el EMV

Ejemplo

Sean $X_1,\ldots,X_n$ vaiid con distribución exponencial de parámetro $\theta$, $f(x;\theta) = \theta e^{-\theta x}$, si $x>0$

• Calcula el EMV y la información de Fisher de cada observación

• Deduce tres IC asintóticos para $\theta$ siguiendo cada uno de los métodos siguientes:

  • Despejando $\theta$ en $$1-\alpha \approx \mbox{P}(-z_{\alpha/2} \leq \sqrt{nI(\theta)}(\hat\theta - \theta) \leq z_{\alpha/2})$$

  • Estimando la información de Fisher consistentemente

  • Determinando (con el método delta) una función estabilizadora de la varianza $g$ tal que $$\sqrt{n}(g(\hat\theta) - g(\theta)) \to_d \mbox{N}(0,1)$$

• Comprueba que los tres intervalos coinciden si despreciamos todos los términos $\mbox{O}(1/n)$ o menores

Intervalos en el enfoque bayesiano