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La representación gráfica de una solución x=x(t), de la ecuación diferencial x'=f(t,x), en el plano (t,x) debe cumplir la propiedad, expresada por la ecuación diferencial, de tener como pendiente en cada uno de sus puntos (t,x) el valor f(t,x) asignado por la ecuación.
Así, podemos considerar la ecuación diferencial como el problema de trazar en el plano (t,x) las curvas x=x(t) tales que en cada punto tengan la pendiente asignada f(t,x).
Para abordar el problema podemos representar primeramente el campo de direcciones f(t,x) sobre una malla de puntos del plano (t,x) por medio de una serie de trazos cortos, y a continuación tratar de ajustar una familia de curvas que se ajuste a él.
Ejemplo: Campo de direcciones para la ecuación diferencial x'=x+t.
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El conjunto de pequeños segmentos de recta, cada uno de ellos indicando la pendiente de la solución en el punto en que está trazado, nos da ya una idea de la forma que tendran las gráficas de las soluciones .
También podemos trazar gráficas aproximadas de soluciones particulares de la ecuación diferencial por medio de líneas poligonales. El proceso es el siguiente. Busquemos la solución de la ecuación diferencial x'=f(t,x) que pasa por el punto (x0,t0) [para fijar ideas sigamos los pasos con el ejemplo anterior x'=x+t con (t0,x0)=(0'1,0'2)]. Aproximaremos la solución por medio de segmentos con sus extremos sobre puntos con abscisas separadas por una cantidad fija h [pongamos h=0'1].El primer punto de la poligonal será el dato (t0,x0) [ (0'1,0'2) ]. El segundo punto estará sobre la abscisa t1=t0+h [t1=0'2]. Para hallar su ordenada trazamos desde (t0,x0) un segmento con la pendiente indicada por la ecuación diferencial en ese punto f(t0,x0); x1=x0+h f(t0,x0) [x1=0'2+(0'1)(0'1+0'2)=0'23].
El tercer punto, con coordenadas (t2,x2),
tendrá por abscisa t2=t1+h [t2=0'3]
y por ordenada la que se obtiene akl desplazarse desde (t1,x1)
con la pendiente indicada por la ecuación diferencial: f(t1,x1);
x2=x1+h f(t1,x1) [x2=0'23+(0'1)(0'2+0'23)=0'273].
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Iteramos este procedimiento para obtener así el punto (tk+1,xk+1) de la poligonal a partir del anterior (tk,xk) por medio de la regla
tk+1=tk+h ; xk+1=xk+h f(tk,xk)