Cálculo; 1º de Químicas.

0. Introducción.

En este curso de cálculo se estudiarán funciones reales de una y de varias variables así como su aparición en ecuaciones diferenciales.

Éstas (las ecuaciones diferenciales) son precisamente la razón del estudio de las funciones. Una función describe un fenómeno por medio de la medida de una magnitud (variable dependiente) en función de la medida de otra (variable independiente). Generalmente es posible establecer relaciones de dependencia entre la variación de la variable dependiente, ella misma y la variable independiente (en lenguaje ya conocido del colegio: entre la función, su derivada, y la variable independiente). Ésto es lo que se conoce como una ecuación diferencial que describe el fenómeno (su modelo), y la teoría de ecuaciones diferenciales trata de averiguar cuál es la función, ó al menos cuáles son sus propiedades. Para ello necesita previamente haber estudiado y manejado funciones en general.

Veamos un primer ejemplo: Desintegración radiactiva. Un cierto elemento radiactivo se desintegra dando como producto un segundo elemento, ya no radiactivo, y algunas partículas elementales. El que una determinada partícula se desintegre es un hecho imprevisible que depende del azar. Sin embargo se sabe que, con una probabilidad muy alta, durante un intervalo de tiempo fijo (por ejemplo un segundo) se desintegrará un número de partículas próximo a una determinada fracción r del total (0<r<1). Esto se traduce en que tras cada segundo el número total de partículas (o si se prefiere, la masa) queda reducido a la fracción 1-r de la inicial. Por tanto, al cabo de n segundos la masa inicial queda reducida a la fracción (1-r)ⁿ. Es decir, si la masa inicial era m_o, al cabo de n segundos quedará una masa de (1-r)ⁿm_o.

Sobre el anterior resultado podemos realizar las dos simplificaciones siguientes. Primeramente tomamos s=1-r, y en segundo lugar consideramos el tiempo continuo y en vez de escribir n escribiremos t. Queda así la siguiente expresión para la masa tras un intervalo de tiempo de t segundos: m(t)=m_os^t.

Una función de este tipo se conoce con el nombre de función exponencial. En ella la variable independiente (en este caso t) es el exponente de una cierta base (en este caso s) que es un número positivo. Cuál sea la base no tiene importancia y una misma función exponencial puede expresarse en diferentes bases cambiando linealmente la variable independiente. Para ello es suficiente utilizar las propiedades del logaritmo. Si queremos expresar s^t en base a>0: y=s^t da log_a y=t log_a s. Elevando a a ambos miembros de la igualdad se obtiene: y=a^{tlog s}; es decir y=a^kt donde k=log_a s.

Fenómenos de apariencia muy distinta están regidos por un mismo modelo. Citemos algunos ejemplos que también siguen el modelo anterior:

• Concentración en sangre de un cierto fármaco.
• Capital invertido a un cierto interés.
• Crecimiento de poblaciones.