Matemáticas                             1^er curso de Biología                                      2000/01

EJERCICIO 1. Una partícula se mueve en el eje x en la dirección creciente de forma que la distancia recorrida entre el instante k y el k+1 es el doble que la recorrida entre k-1 y k. Halla una recurrencia para x_k, la posición de la partícula en el instante k, y resuélvela para los datos iniciales x₀ = 1,x₁ = 5.

EJERCICIO 2. Para n ³ 1 se denota por a_n el número de formas distintas en que se puede escribir n como una suma ordenada de enteros positivos (ordenada quiere decir que 1+3, 3+1 se consideran formas diferentes de escribir 4). Halla una recurrencia para a_n y resuélvela.

EJERCICIO 3. Un acuario de capacidad K se llena por primera vez con agua fresca, cuya concentración salina (la del agua fresca) suponemos que es constantemente igual a c. Semanalmente se evapora una unidad de líquido y, al final de cada semana, se extraen a unidades de agua del acuario y se rellena con a+1 de agua fresca. Denotamos por c_n la concentración de sal en el agua del acuario al final de la semana n-ésima (después del recambio). Halla una ecuación de recurrencia para las c_n's. (Ayuda: Usa también en tus cálculos la cantidad C_n de sal en el acuario al final de la semana n-ésima; C_n = Kc_n, concentración = cantidad de sal por unidad de líquido.

EJERCICIO 4. Una empresa de alquiler de automóviles tiene dos sedes en ciudades próximas A y B. Datos estadísticos de años anteriores indican que, mensualmente,

• El 40% de los coches que se alquilan en A se devuelven en A y el resto en B.
• El 70% de los coches que se alquilan en B se devuelven en B y el resto en A.

En el instante inicial la empresa dispone de 90 vehículos y querría saber como distribuirlos entre las dos ciudades para mantener siempre esa distribución. ¿Cómo lo tiene que hacer?

EJERCICIO 5. En un vertedero de basura se observa que cada año se deposita un 5% más que el anterior. Como la basura no se retira se va acumulando.

1. Escribe la ley de recurrencia, y la fórmula cerrada que se obtiene directamente a partir de ella, para la cantidad de basura depositada cada año en el vertedero.

 
2. Halla una fórmula que dé la cantidad de basura acumulada tras n años.

 
3. Si inicialmente el vertedero estaba vac o y al cabo de un año conten a 1000 toneladas de basura, calcula cuántos años han de pasar para que la basura supere las 90 000 toneladas.

 
4. Suponiendo que la densidad de la basura es de 1'5 toneladas por metro cúbico, determina cuántos años han de transcurrir para que el vertedero tenga un volumen igual al de los embalses de la Comunidad de Madrid (950 Hm.³).

1. Si se deposita inicialmente un capital de 100 Euros, ¿cuál será el capital tras un año?

 
2. ¿Cuánto tiempo será necesario para doblar el capital inicial?

 
3. Si se deposita al inicio de cada mes la cantidad de 100 Euros, ¿cuál será el capital acumulado tras un año?

 
4. En estas últimas condiciones ¿cuál será el tiempo necesario para ahorrar 100 000 Euros?

1. En cada una de las situaciones prolongada durante varios años, halla la ley de recurrencia que describe la población y la fórmula que nos da el número de animales tras n años. Haz una gráfica que describa la evolución de la población en cada caso.
2. Estudia la evolución de la población si ocurren c clicamente un año bueno, uno medio, uno malo, y uno medio durante un largo periodo de tiempo. ¿Crece o decrece?. ¿Qué ocurre si el ciclo comienza con un año malo?
3. ¿Puedo determinar como evolucionará la población si sé que la mitad de los años tienen condiciones medias, la cuarta parte condiciones buenas y la cuarta parte restante condiciones malas?

EJERCICIO 9. Prueba que si c(t) es una función tal que x(t) = c(t) exp(t) cumple una E. D. x¢ = x entonces c(t) es una función constante.

EJERCICIO 10. Razona por qué si los números t_n están en progresión aritmética entonces los números exp(t_n) están en progresión geométrica.

EJERCICIO 11. Utiliza la definición de B^t (B > 0) para comprobar las reglas de los exponentes.

EJERCICIO 12. Estudia la relación entre log_A B y log_B A y escribir entonces una expresión de los logaritmos en base B en términos de los logaritmos naturales.

EJERCICIO 13. Se llama aproximación lineal de una función x = f(t) cerca del punto t = t₀ a la aproximación dada por la recta tangente a x = f(t) en el punto (t₀, x₀); x₀ = f(t₀). Halla la expresión analítica (fórmula) de la aproximación lineal de exp(t) cerca de t = 0 y deducir de ella la expresión analítica de la aproximación lineal de lnx cerca de x = 1. Repite lo anterior para B^t y log_B x; (B > 1).

EJERCICIO 14. Si escribimos una función exponencial dada bajo las formas

EJERCICIO 15. La tasa instantánea de una cantidad x que crece geométricamente es la razón [(x¢)/( x)] (es decir, la constante C de la E. D. x¢ = C x que define el crecimiento). Observa que la cantidad L = lnx crece linealmente, y su derivada resulta ser precisamente C (por esta razón C suele denominarse derivada logarítmica de x). ¿Cómo se comportará la tasa instantánea de una cantidad y que crece linealmente? Dibuja la gráfica de una función lineal y piensa como será la gráfica de su logaritmo: la pendiente de esta última será la tasa instantánea.

EJERCICIO 16. La vida media del elemento radiactivo C¹⁴ es de 5¢8·10³ años. Halla la tasa instantánea. ¿Cuál será la tasa de pérdida si se toma como unidad de tiempo el minuto?

EJERCICIO 17. Una cantidad crece exponencialmente (geométricamente); si para t = 5 seg., x = 100 g.; y para t = 8 seg., x = 120 g. escribe la función exponencial que la describe. ¿Cuál era su valor en el instante t = 0? ¿Y en el instante t = 10?

EJERCICIO 18. Dos cantidades x e y crecen. Hemos medido los siguientes datos: la cantidad x ha pasado de 3'5 a 5 en 2 seg.; la cantidad y ha pasado de 4'5 a 7 en 3 seg. Si ambas crecen linealmente ¿cuál lo hace más rápidamente? Si ambas crecen geométricamente ¿cuál lo hace más rápidamente? Si los valores 3'5 y 4'5 los toman en el mismo instante ¿valdrán lo mismo en algún instante posterior en alguno de los dos modelos? Representa gráficamente ambas situaciones.

EJERCICIO 19. Dos cantidades x e y crecen geométricamente con tasas instantáneas k₁ y k₂ respectivamente y los valores iniciales x(t₀) = x₀, e y(t₀) = y₀. Escribe fórmulas para las funciones x(t) e y(t) ¿Qué relación existe entre x(t) e y(t) en cualquier instante t? En particular, escribe esta relación cuando k₁ = 2 y k₂ = 3 y represéntala gráficamente en el plano (x, y) (puedes suponer que y₀ = 8, y que x₀ = 3).