Matemáticas. 1º de Biología

 

Errores

Siempre que tenemos que operar, medir y en general tratar con números estamos expuestos al error. 

Los errores pueden aparecer de formas diversas: 

  1. Deslices. Las típicas meteduras de pata, que incluyen los errores en programas, las trasposiciones de dígitos, ect... Aunque hay técnicas para detectar algunos de ellos, no trataremos aquí del tema. 
  2. Limitaciones en el método de medida. Aparecen al principio de todo proceso numérico en el que tengamos que extraer datos del medio. El aparato utilizado para medir (desde una simple regla hasta la balaza más precisa) tienen una precisión definida, que nos proporciona un número de dígitos determinado. 
  3. Errores de redondeo. 
  4. Propagación de errores en el cálculo. Este, junto con el anterior constituyen el principal tema de nuestro estudio. 
  5. Pérdida de significación en el número de dígitos. Veremos como ciertas operaciones mecánicas producen un aumento considerable del error relativo (más abajo definido). Estudiaremos algunos métodos para su corrección.

Error absoluto

Si queremos representar un número x y para ello utilizamos una aproximación x, llamamos error en esta aproximación a la diferencia e(x) = x-x. Observa que el error se define con su signo (aunque éste no siempre nos interesa); esta definición no es universal, hay autores que la dan con el signo opuesto. Con nuestra definición la aproximación x es igual al valor de x más el error: x = x+e(x). 

Como acabamos de decir, en muchas ocasiones nos interesa solamente el valor absoluto del error; frecuentemente abusaremos del lenguaje y escribiremos e, cuando en realidad deberíamos escribir |e|, sobre todo en expresiones del tipo e(x)£ 5·10-4. 

Obviamente, nos interesa mantener pequeño (en algún sentido que precisaremos parcialmente) el error y nos esforzaremos en conocer cuál puede ser su tamaño máximo, pero no podremos precisar nunca su valor (si lo cosiguieramos, ya no habría error. 

Error relativo

Es el error (absoluto) comparado con el valor del número en cuestión: 
 
er(x) =
e(x)
x
»
e(x)
x

De nuevo, no conocemos nada con precisión, ni el error absoluto ni el valor de x, por eso utilizamos x en la última expresión para valorar el error relativo. Y también ahora tiene signo, pero tiene aun menor importancia que para el valor absoluto, ya que incluso cambia de signo con x. Así que, con mayor frecuencia que antes, al escribir er estaremos pensando en |er|. 

Ejemplos

Si queremos evaluar p: 
 
0¢001 < e(3¢14) < 0¢002
-0¢00002 < e(3¢1416) < -0¢00001
0¢00001 < |e(3¢1416)|< 0¢00002
|er(3¢14)|< [(0¢002)/ 3] < 0¢0007
|er(3¢1416)|< [(0¢00002)/ 3] < 0¢000007

Cifras significativas

Una forma habitual de dar una aproximación x de un número x con un cierto error relativo es la dar un determinado número de cifras significativas. 

La idea natural es la de parar el desarrollo decimal (es decir, en base 10) del númeroen un punto determinado, redondeando el último dígito. 
 
p = 3¢14    con 3 cifras significativas (con 3 dígitos)
p = 3¢1416    con 5 cifras significativas
p = 3¢142    con 4 cifras significativas

Concretando, damos la siguiente definición: 

Si el número x está en el intervalo [10p,10p+1), el número x tiene n cifras de x si |x-x| < 1/2 10-n+p. 

Una definición tan precisa puede, sin embargo, resultar ambigua en la práctica. Primeramente, se desconoce el valor de x y por tanto el de p. En segundo lugar, aun suponiendo conocido el valor de p, puede ocurrir que x sea una aproximación de x con n cifras significativas según nuestra deficinición y sin embargo ninguna de sus cifras coincida, en sentido coloquial, con las de x. 

Ejemplo

p2 = 9¢869604.... 
 
p2 = 9¢8696, 
p2 = 9¢870, 
p2 = 9¢87, 
p2 = 9¢9, 
p2 = 10.

En este último dato se dan las dos situaciones descritas. Primeramente, dado que 1 < p2 < 10, una cifra quiere decir error menor que 1/2 = 0¢5, por tanto son correctas las dos cifras. En segundo lugar, no es correcta, en el sentido coloquial, ninguna de las dos. 

Será buena práctica el dar un resultado solamente con las cifras que son significativas e indicar, si se tiene una mejor acotación de error, cuál es esta. 

Ejemplos

 
0¢1327±0¢0001 ·10-2
0¢1463±0¢0006 ·106

Si solamente se da 0¢3712 ·102 entenderemos que el error es de 5 unidades en la primera cifra que no se da: 0¢00005 ·102 = 0¢005. 

Un entero que finaliza en ceros puede resultar ambiguo según esta regla: ?`Tiene 5100 un error menor que 5 ·101? Será mejor expresarlo en su representación floating point o en notación científica: 0¢51 ·104 ó 5¢1 ·103. Si la precisión era mayor: 0¢510 ·104; o mayor aun: 0¢5100 ·104. 

Nota. En este curso utilizaremos el criterio del redondeo en vez de la truncación al aproximar un número. Siempre redondearemos ³ 0¢5 hacia arriba y < 0¢5 hacia abajo. Dos redondeos consecutivos (con perdida de la información anterior) pueden producir distinto resultado que un solo redondeo: 
3¢451 ® 3¢5  ® 4
3¢451 ® ® ® 3

Propagación de errores

Al trabajar con números que contienen errores y transformarlos por medio de operaciones, los errores también sufriran transformaciones que trataremos de controlar. 

Un primer método que podemos utilizar es el de la aritmética de intervalo que en general resulta ser un método bastante grosero, salvo quizá para las sumas. 

Ejemplo

Para la suma:  (x±e(x))+(y±e(y)) = x+y±(e(x)+e(y))
Para el producto: (x±e(y))·(y±e(y)) = x·y±sup(x,y)(e(x)+e(y))

En el producto es más fácil controlar el error relativo: 
 

(x+e(x))·(y+e(y)) = x·y+x·e(y)+y·e(x)+e(x)e(y)
er(x·y) =  x·e(y)+y·e(x)+e(x)e(y)
x·y		 = er(y)+er(x)+er(x)er(y) »er(y)+er(x)

El error absoluto de la suma es igual a la suma de los errores absolutos de los sumandos. 

El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos de los factores. 

Propagación del error en la evaluación de funciones

Queremos calcular el valor de una función f(x) en un punto x=x0. Conocemos el valor de x0 con una cierta precisión x0. ¿Qué precisión tenemos para f(x0)? La solución la da la derivada:
 
f(x0) - f(x0) » f'(x0)(x0 - x0) »f'(x0)(x0 - x0)

Así, podemos pensar que la derivada es el factor por el que se multiplican los errores al evaluar la función.

Pérdida de significación en el número de dígitos
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On 29 Oct 1999, 19:05.