Clase 3: La distribución normal (en preparación)

Distribución simétrica que aparece frcuentemente en la medición de una magnitud cuyo valor, de uno individuo a otro, depende de la influencia de diversos factores aleatorios.

Ejemplos:

  • Errores aleatorios en la medida de una magnitud física (peso, distancia, velocidad, ... ).
  • Estatura, peso, altura a la cruz, longitud del fémur, longitud de la hoja, ... .
  • Vida de un aparato, 
Gauss (1777-1855) se encontró con ella principalmente en los errores de las mediciones astronómicas. La gráfica de la distribución tiene forma acampanada (campana de Gauss, gaussiana)

Su gráfica tiene una fórmula precisa:

f(x)=(2p)-(1/2)exp(-x2/2)

Hacer cálculos utilizando directamente esta fórmula resulta complejo, por ello los cálculos para determinados valores de la variable se proporcionan en tablas. La siguiente tabla, más breve que la que se proporciona en la mayor parte de los libros que tratan el tema, halla el área que hay bajo la curva hasta el punto de abscisa x.
 
 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0' '5000 '5398 '5793 '6179 '6554 '6915 '7257 '7580 '7881 '8159
1' '8413 '8643 '8849 '9032 '9192 '9332 '9452 '9554 ''9641 '9713
2' '9773 '9821 '9861 '9893 '9918 '9938 '9953 '9965 '9974 '9981
3' '9987 '9990 '9993 '9995 '9997 '9998 '9384 '9389 '9428 '9452

Esta distribución, llamémosla Z, tiene media 0 y desviación típica 1. Entonces la distribución X=s(Z+m) es una distribución normal de media m y desviación típica s. Usaremos esta propiedad en el sentido contrario: dada una distribución normal X de media m y desviación típica s---diremos que X es N(m,s)--- haremos los cálculos relativos a X por medio de las tablas aplicadas a Z=(X-m)/s que es N(0,1).

Ejemplo: La concentración de colesterol en sangre en el varón blanco adulto sigue una distribución normal de media 207 mg/dl, y de desviación típica 18 mg/dl. (a) Halla el tercer cuartil de la distribución. (b) Halla el noveno decil de la distribución (percentil 90). (c) ¿Qué porcentaje de la población da análisis con una concetración superior a los 250 mg/dl?

(a) Según las tablas: por debajo del valor 0'6 (i.e. 0'6 desviaciones típicas sobre la media) está un 72'6% de la población; por debajo de 0'7 está el 75'8%. Interpolando linealmente obtenemos que el tercer cuartil está en 0'67 desviaciones típicas por encima de la media; esto corresponde a 207+0'67·18=219'1 mg/dl.

(b) De nuevo según las tablas el valor buscado está entre 1'2 y 1'3 desviaciones típicas sobre la media. Interpolando linealmente obtenemos que el primer decil está aproximadamente 1'29 desviaciones típica sobre la media; esto es 207+1'29·18=230'22 mg/dl.

(c)