Clase del día 8 de Marzo de 2006

(Resumen preparado por: Rubén López Coto)

Diferenciabilidad (continuación)

Plano tangente. Ecuación

f: A C R2 ---> R     xo perteneciente a A abierto                                                                                                        Si f es diferenciable en xo entonces la gráfica de f: z= f (x,y) tiene plano tangente en el pto (xo, yo, zo) donde zo = f (xo,yo) con ecuación:

z=zo+¶f/¶x (xo,yo) (x-xo) - ¶f/¶y (xo,yo)(y-yo) 
 

Propiedades de las funciones diferenciables:

19. Teorema: Si f:ACRn ---> Rm es diferenciable en xo entonces f es continua en xo.
                                                                                                                                                    Diferenciabilidad implica existencia de derivadas parciales pero la existencia de derivadas parciales en un punto no implica diferenciabilidad en él.

Sin embargo: 

20. Teorema: f:ACRn--->Rm. Si existe una bola centrada en xo (B(xo,r)) en la que las derivadas parciales de cada fi existen y son continuas, entonces f es diferenciable en xo. 

Toda función que verifica la hipótesis del T20 se dice que es de clase C1

21. Propiedades: f, g ACRn--->Rm funciones diferenciables en xo; c número real entonces 

1) la función cf es diferenciable en xo; D(cf)(xo)=cDf(xo);

2) la función f+g es diferenciable en xo; D(f+g)(xo); D(f+g)(xo)=Df(xo)+Dg(xo)

3) la función (f,g) es diferenciable en xo;

4) si m=1 y f(xo) es distinto de cero entonces la función 1/f es diferenciable  en xo.