Clase del día 7 de marzo de 2006
(Resumen preparado por: Inmaculada Donate Carretero)

DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

f: AcRn-->Rm     x0 pertenece a A abierto
f es diferenciable en x0 si existe una transformación lineal L: Rn-->Rm tal que 

lim (x-->x0) ||f(X)-f(x0)-L(x-x0)|| / ||x-x0|| =0

-Para n=m=1   existe L <-->existe f'(x0)

-Para n=2; m=1 existe L implica existen derivadas parciales


Definición. Derivadas parciales
lim(x->x0) (f(x,y0)-f(x0,y0))/(x-x0) =dF/dx (x0,y0)         (d=derivada parcial)
lim(y->y0) (f(x0,y)-f(x0,y0))/(y-y0) =dF/dy (x0,y0)
(derivadas parciales de f respecto de "x" e "y" en el punto (x0,y0))

Interpretación geométrica de las derivadas parciales
Las derivadas parciales son las derivadas de las funciones que se obtienen por las secciones de z=f(x,y) mediante los planos y=y0 y x=x0.

Derivadas parciales. Definición general
f: AcRn-->R,   x0=(x01, x02,...,x0n)=A abierto.
df/dxi (x0)=lim(h->0) [f(x01,...,x0i+h,...x0n)-f(x01,...,x0n)]/h


CASO GENERAL
f: AcRn-->Rm     x0=(x01, x02,...,x0n)=A abierto.
f=(f1,...,fm) , fi:AcRn-->R
f diferenciable en x0
Existe L :    Rn-->Rm    tal que,
lim (x-->x0) ||f(X)-f(x0)-L(x-x0)|| / ||x-x0||=0
L es una matriz con m filas y n columnas (matriz jacobiana); donde la primera fila está formada por las derivadas parciales de f1 respecto de las n variables, la segunda fila por las derivadas parciales de f2, y así sucesivamente hasta las derivadas parciales de fm

Notación: Df(xo)=L