Lunes, 20 de febrero de 2006

(Resumen preparado por: Ignacio del Río Barrenechea)

TOPOLOGIA DE Rn 

DISTANCIA entre dos puntos: para todo par (x,y) de Rn: d(x,y)=||x-y||

BOLA ABIERTA: B(x,r) bola abierta de centro x y radio r>0 es el conjunto de
puntos y de Rn tales que su distancia a x es menor que r:

{y de Rn : d(x,y)<r}

BOLA CERRADA: [B](X,r) (se representa con una rayita encima de la B) bola
cerrada de centro x y radio r>0 es el conjunto de puntos y de Rn tales que su
distancia a x es menor o igual que r:

{y de Rn : d(x,y)<=r}

CONJUNTO ABIERTO: un subconjunto A de Rn es abierto si para todo x de A existe 
un r>0 tal que B(x,r) está contenida en A.

PUNTO INTERIOR: x es un punto interior al subconjunto F de Rn si existe r>0 tal 
que B(x,r) está contenida en F.

1.- TODA BOLA ABIERTA ES UN CONJUNTO ABIERTO.

2.- LA UNIÓN DE CUALQUIERA DE CONJUNTOS ABIERTOS ES ABIERTA.

3.- LA INTERSECCIÓN FINITA DE ABIETOS ES ABIERTA 

Observación: la intersección infinita no tiene por qué serlo.

4.- A ES ABIERTO SI Y SÓLO SI COINCIDE CON SU INTERIOR.
 
CONJUNTO CERRADO: Un conjunto C de Rn es cerrado si su complementario es 
abierto: Rn \ C es abierto.

5.- UNA BOLA CERRADA ES UN CONJUNTO CERRADO.