Probabilidad I, curso 2002/2003 (Segundo de Matemáticas)

El trabajo consistirá en una memoria breve describiendo la simulación, los resultados y la teoría relacionada con el fenómeno estudiado. Además de un disquete con el archivo de Excel, o de Star Office, o de Matlab (o del lenguaje de programación que se desee utilizar para realizar las simulaciones). En lo que sigue exponemos una serie de temas que pueden ser elegidos; cabe también la posibilidad, previa consulta con los profesores, de desarrollar alguna cuestión que no aparezca en esta lista. En cada uno de ellos se da una breve descripción que incluye: el objetivo, el modelo y un esquema de trabajo que recoge algunas de las preguntas que nos puede interesar responder.

La realización de estos trabajos no es obligatoria. Pero su realización tendrá incidencia en la nota final de la asignatura (serán puntos extra en función, por supuesto, de la calidad de la labor desarrollada). El plazo límite para la entrega de los trabajos será el 6 de febrero de 2002 (fecha del examen de la asignatura).

Para cualquier duda o aclaración, consultad con los profesores de la asignatura: Pablo Fernández Gallardo (pablo.fernandez@uam.es) y José Luis Fernández Pérez (joseluis.fernandez@uam.es)

1. Simulación del juego del tenis

Objetivo: Simulación del juego del tenis para analizar la relación entre la probabilidad de ganar puntos sueltos y la probabilidad de ganar partidos, y para analizar el efecto de un cambio de reglas (más sets de menos juegos, por ejemplo).

Modelo. Dados dos jugadores A y B, A gana cada punto con probabilidad p (y B gana con probabilidad (1-p). Los puntos se ganan o pierden independientemente unos de otros.

2. Casino

Objetivo Simulación de ruleta americana y europea, para analizar las consecuencias de distintas estrategias de apuestas a Rojo y Negro

Modelo. Las distintas casillas de la ruleta son igualmente probables.

Esquema de trabajo. Las estrategias a estudiar serán las siguientes. Se parte de una cierta fortuna inicial.

• Apostar una cantidad fija siempre a Rojo.
• Apostar siempre toda la fortuna.
• Casanova. Doblamos la apuesta si perdemos, nos retiramos la primera vez que ganamos.

En estas tres estrategias, analizar el resultado cuando el número de apuestas y el montante de éstas es ilimitado, y cuando hay restricciones en estas dos. Estimar la probabilidad de ruina, el tiempo medio de juego y la ganancia neta media

• Bold play. Tenemos un objetivo de fortuna a conseguir, que es un múltiplo de la fortuna inicial; optamos por apostar, en cada jugada, todo nuestro capital, salvo que una apuesta menor baste para poder alcanzar el objetivo en la siguiente tirada.

En ésta, se busca estimar la probabilidad de alcanzar el objetivo.

• Estrategia del topólogo J. Kelly. En cada tirada apostamos una fracción fija f de nuestra fortuna.

En la estrategia de Kelly, fijaremos un número grande partidas, la ruleta tendrá una probabilidad de rojo general, digamos, p, y buscamos para cada p el valor de f que nos da una ganancia media máxima óptima

• Cualquier otra de su invención...

Objetivo Simulación de la evolución de una población.

Modelo El de Galton-Watson de ramificación.

Esquema de trabajo Partimos de una distribución de la variable Z, el número de descendientes, con valores 0, 1, 2, 3, y probabilidades p₀, p₁, p₂, p₃. Comprobar el teorema que relaciona el número medio de descendientes con la probabilidad de extinción. Calcular el tiempo medio de extinción. Realizar el mismo análisis cuando Z sigue la distribución de parámetro p, dada por

Prob(Z=k)=(1-p)^k p, para k=0, 1, 2 ...

Obtener una relación empírica entre el parámetro p y la probabilidad de extinción. Analizar qué ocurre si la distribución de Z cambia de la siguiente manera: cuando el tamaño de la población está por encima de un umbral, la media de Z es baja; y por debajo de ese umbral, la media de Z es alta.

Objetivo. Analizar la influencia de la dispersión de los intervalos entre llegadas sobre el tiempo medio de espera.

Modelo. La unidad de tiempo es el minuto. El intervalo de tiempo A entre un autobús y el siguiente es una variable aleatoria finita positiva con media m minutos (que toma valores enteros), mientras que la llegada V del viajero a la parada se modeliza con una variable aleatoria uniforme entre los minutos de un amplio intervalo de tiempo.

Esquema de trabajo. Estimar el tiempo medio de espera del viajero, y obtener empíricamente una relación entre la media y la varianza de A y la media de V. Obtener empíricamente la distribución de probabilidad del número de autobuses que se observan en un intervalo arbitrario de tiempo de amplitud 3m.

Objetivo. Entender cómo la estructura de los distintos patrones influye a la hora de determinar los tiempos de aparición o a la hora de competir.

Modelo Lanzamientos independientes de moneda (quizás cargada).

Esquema de trabajo Simulamos del lanzamiento de una moneda hasta que sale un patrón (una cierta lista) de caras y cruces predeterminado. Calcular tiempos medios de aparición. Ahora ponemos a competir patrones (por ejemplo, de longitud 3 ó 4) con distintos tiempos medios de aparición.

6. Ley del arco seno de las rachas en el camino aleatorio

Objetivo Entender las sutilezas de un objeto tan aparentemente sencillo como el camino aleatorio.

Modelo Lanzamientos independientes de una moneda (equilibrada).

Esquema de trabajo Lanzamos una moneda un número N determinado de veces; en cada lanzamiento, si sale cara, ganamos 1, y si sale cruz perdemos 1. Una racha es una serie consecutiva de lanzamientos para los que nuestra fortuna está por encima de la inicial. ¿Cómo de probable es tener rachas largas? ¿Dónde es más probable que se produzcan, al principio, al final, o por la mitad de la partida? (en otras palabras, ¿cuándo "conviene" retirarse de una partida?)

Objetivo. Comprender el resultado y las implicaciones del modelo.

Modelo. Urna de Pólya.

Esquema de trabajo Partimos de una urna,con una cierta composición inicial de bolas blancas y negras (1 y 1, por ejemplo). Se extrae una bola al azar de la urna y se añade una bola del mismo color que la extraída. Estudiar la proporción de bolas blancas y negras para la que se alcanza el equilibrio (si es que se alcanza).

Variaciones: tres colores, distintas proporciones iniciales, distintas reglas (por ejemplo, se añade del color contrario a la extraída, se añaden n del mismo color, etc.).

Objetivo Entender la razón por la que las compañías aéreas suelen vender más billetes que plazas hay en el avión.

Modelo Hay una cierta probabilidad de cancelación p. Suponemos que es la misma para todos los pasajeros, y que cada pasajero decidir aparecer independientemente de lo que hagan los demás. Se venden un cierto número de billetes N y hay P plazas en el avión. Habrá que pagar una cierta indemnización por cada pasajero que no encuentre plaza en el avión.

Esquema de trabajo. Fijados los parámetros del modelo (no estaría de más buscar algunos datos reales sobre costes de flete, coste de billetes, indemnizaciones, etc.), simulamos escenarios en los que los pasajeros con reserva aparecen o no a la hora del vuelo. Se trata de decidir cuál es la elección óptima de N, la cantidad de asientos sobrevendidos, para los parámetros elegidos. O el problema inverso: sabemos que la compañía sobrevende un cierto número de plazas. Deducir qué probabilidad de incomparecencia p está manejando la compañía.

9. Dados mágicos

Objetivo Simular la competición entre varios dados.

Modelo Lanzamiento de dados "especiales".

Esquema de trabajo Simulamos el lanzamiento de tres dados: A tiene los números 2, 4, 9; B tiene 3, 5,7 y C tiene 1, 6, 8. Compiten dos dados: ¿quién gana? ¿Se cumple que si un dado gana a otro, y éste al tecero, entonces el primero gana al tecero? Ahora ponemos a competir los tres dados. Podemos también cambiar los pagos del juego: por ejemplo, (a) el premio es 1 para el que gana; (b) el premio es la diferencia de puntos. ¿Y con cuatro dados? ¿Y con n dados?

Objetivo Resolver (la versión discreta de) una ecuación en derivadas parciales utilizando lanzamiento de monedas.

Modelo Damos datos de temperatura en cada uno de los valores enteros entre –5 y +5; fuera de este rango la temperatura es cero. Hay dos variables, n, la variable espacial (un entero) y k, el tiempo (un entero mayor que cero). Para cada par (n,k) realizamos el siguiente juego:

Esquema de trabajo Calcular la temperatura media para cada tiempo k. Comprobar que los valores obtenidos satisfacen la ecuación del calor discreta. Analizar el comportamiento de la temperatura cuando k tiende a infinito.

Reto. ¿Qué ocurre si adoptamos una estrategia de apuesta más general? ¿Qué ocurre si, en lugar de una moneda, lanzamos un dado y si sale 1 ó 2 sumamos 1, si sale 3 ó 4 no sumamos nada y si sale 5 ó 6 sumamos –1? Generalizar.

Objetivo Simular el crecimiento de un área urbana.

Modelo. Partimos de una densidad de población en cada punto de un retículo (en una dimensión, o quizás en dos). En cada instante de tiempo, esa densidad evoluciona con la siguiente regla: con probabilidad p la densidad se hace cero y con probabilidad 1-p, se calcula la densidad media de los puntos vecinos (en el retículo) y se multiplica por un factor fijo superior a uno.

Esquema de trabajo Comprobar cómo evoluciona la densidad de población en función de los datos iniciales, p, y el factor de multiplicación.

Objetivo Entender, probabilísticamente, la eficacia de los sistemas de detección y corrección de errores.

Modelo Una fuente produce ceros y unos (aleatoriamente). Hay una cierta probabilidad p de confusión (cambiar un 0 por un 1 o viceversa). El mensaje es de longitud n.

Esquema de trabajo ¿Cuál es la probabilidad de que el mensaje se transmita correctamente? Ahora empleamos un sistema de corrección de errores: enviamos cada símbolo un número impar de veces (3, por ejemplo). Se utliza un criterio de corrección de mayoría. ¿Probabilidad de transmisión correcta? ¿Y si se utilizan otros sistemas de corrección, como un código de Hamming o un control de paridad?

Objetivo Simular la formación de colas en las cajas de un supermercado.

Modelo Simulación aleatoria de las llegadas de los clientes a las cajas y de la atención por parte de los empleados de las cajas.

Esquema de trabajo Hay tres cajas en un supermercado. Los clientes llegan (en cada unidad de tiempo, un minuto, por ejemplo) a las cajas con una cierta distribución (digamos, una Poisson) y se colocan en ellas aleatriamente. Los encargados de las cajas atienden m personas (en media) por minuto. ¿Cuál es la longitud de la cola que se forma? ¿Cómo influye si cambiamos la velocidad de atención en una caja? Variación: los clientes, al llegar, se sitúan en la caja cuya cola sea más corta.

14. El viaje ¿sin retorno? del borracho en una, dos y tres dimensiones

Objetivo Estudiar la probabilidad de que las trayectorias del camino aleatorio en una, dos y tres dimensiones vuelvan al origen.

Modelo Camino aleatorio en el retículo de 1, 2 y 3 dimensiones.

Esquema de trabajo Un tipo sale de su casa y se mueve aleatoriamente, a derecha e izquierda. ¿Volverá alguna vez a su casa, el punto de partida? ¿Y si se mueve en el plano? ¿Y en el espacio? ¿Cómo se podría hacer si no nos restringimos al retículo?

Última actualización: 16 de diciembre de 2002