.. -*- coding: utf-8 -*- Ejercicios :::::::::: 1. ~~ Hallar el vector gradiente, en cada punto en el que exista, de las siguientes funciones escalares - :math:`f(x,y)=e^{-x}\,\cos y` - :math:`f(x,y,z)=\log\,(x^2+2\,y^2-3\,z^2)` - :math:`f(x,y)=xy\,\sin\frac{1}{x^2+y^2} \text{ si } (x,y)\neq(0,0) \text{ y } f(0,0)=0`. 2. ~~ Calcular la distancia mínima entre los puntos de la gráfica de :math:`f(x,y)=\frac{1}{4\,x\,y}` y el punto :math:`(0,0,0)`. 3. ~~ Calcula las derivadas parciales :math:`\partial_1 \partial_2 f` y :math:`\partial_2 \partial_1 f` en el punto (0,0): .. MATH:: f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} xy \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} & \text{si} (x, y) \neq (0, 0)\\ 0 & \text{si} (x, y) = (0, 0)\end{array} \right. Decide si son iguales, y si son continuas en (0,0). Nota: esta función muestra que el recíproco del teorema de Clairaut (tb llamado teorema de Schwartz) es falso: `http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Clairaut `_ 4. ~~ Hallar los puntos críticos y determinar cuáles son los máximos locales, mínimos locales o puntos silla: .. MATH:: \begin{array}{ll} f(x,y)=x^2+y^2-2\,x\,y. & f(x,y)=x^2+y^2+x\,y-2\,x-4\,y+10. \\ f(x,y)=x\,y. & f(x,y)=3\,x^2-4\,y^2+x\,y. \end{array} 5. ~~ Representa el conjunto de los valores :math:`f(x,y)` sobre :math:`Q=[0,1]\times [0,1]` y calcula el volumen del sólido así obtenido. .. MATH:: f(x,y)= \left\{ \begin{array}{ll} 1-(x+y) &\quad\mbox{si}\quad x+y\le 1, \\ 0 &\quad\mbox{en otro caso}. \end{array}\right. 6. ~~ Investiga la ayuda de ``region_plot`` con el objetivo de dibujar la unión de dos regiones. Es posible que la calidad del dibujo empeore, pero la ayuda también explica cómo mejorar la precisión del dibujo. 7. ~~ En los siguientes apartados, se supone que la integral de una función positiva :math:`f` sobre la región :math:`\Omega` se reduce a la integral iterada que se da. En cada caso, se pide determinar y dibujar la región :math:`\Omega` e invertir el orden de integración. .. MATH:: \begin{array}{ll}\int_0^2\Big(\int_{y^2}^{2y}f(x,y)\,dx\Big)dy. & \int_1^4\Big(\int_{\sqrt{x}}^{2}f(x,y)\,dy\Big)dx\,,\\\int_1^e\Big(\int_{0}^{\log x}f(x,y)\,dy\Big)dx. & \int_0^{\pi}\Big(\int_{-\sin x/2}^{\sin x}f(x,y)\,dy\Big)dx.\end{array} Indicación: usa ``region_plot`` para dibujar la región. Después de hacer el cambio en el orden de integración, dibuja de nuevo la región para comprobar que obtienes el mismo resultado. 8. ~~ Hallar el valor de las siguientes integrales, determinando y dibujando en cada caso el recinto de integración - :math:`\iiint_Q(2x+3y+z)\,dx\,dy\,dz`, con :math:`Q=[1,2]\times[-1,1]\times[0,1]`. - :math:`\iiint_T x^2\,\cos z\,dx\,dy\,dz`, siendo :math:`T` la región limitada por los planos :math:`z=0,z=\pi,y=0,y=1,x=0, x+y=1`. - :math:`\iiint_\Omega x\,y^2\,z^3\,dx\,dy\,dz`, siendo :math:`\Omega` el sólido limitado por la superficie :math:`z=x\,y` y los planos :math:`y=x,x=1` y :math:`z=0`. 9. Áreas con el teorema de Green ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Veamos cómo realizar integrales de línea como las que aparecen en el teorema de Green. Este teorema se suele escribir así: .. MATH:: \oint_{C} (L\, \mathrm{d}x + M\, \mathrm{d}y) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y Con frecuencia, ésta es una manera práctica de evaluar integrales planas sobre regiones que no admiten una descomposición sencilla en regiones simples. Por ejemplo, podemos calcular áreas: .. MATH:: \oint_{C} x\, \mathrm{d}y = \iint_{D} 1\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = |D| .. - Calcula el área de un triángulo con este método. Comprueba el resultado calculando el área de triángulos cuya área puedas calcular a mano. - Calcula el área de un polígono de n lados. - Demuestra que el área de la elipse es :math:`\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1` es :math:`A=\pi\, a\,b` Indicación: Recuerda que una parametrización de la elipse es :math:`t\rightarrow (a\cos(\theta),b\sin(\theta))`.