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\setbeamercolor{title}{fg=blue!80!black,bg=green!20!white} %t\'{\i}tulo en rojo con algo de negro y fondo rojiblanco
}





\title{\bf Me encantan los números}


\author{Fernando Chamizo Lorente}
\date{}
\institute{\vspace{-10pt}

\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=3.0]{./images/numeros.jpg}\end{tabular}
\\ Universidad Aut\'{o}noma de Madrid \\ {\tiny http://www.uam.es/fernando.chamizo}
\\
\
\\
{\normalsize X Encuentro Nacional de Estudiantes de Matemáticas}
\\
\
\\
{\small Madrid, 23 de julio 2009}
}

\begin{document}

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}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 0  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Esto simplemente crea la página del título
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 0+ %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Crea el índice
%\section*{\'{I}ndice}
%\begin{frame}
%\frametitle{\'{I}ndice}
%%\tableofcontents[pausesections]
%\tableofcontents
%\end{frame}




%\end{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Palabras\dots}
\begin{frame}

\

\

\begin{center}
\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=3.0]{./images/blablabla.jpg}\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Lo que dijeron los sabios\dots}


\begin{block}{Einstein (1879--1955)  Premio Nobel de Física en 1921}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.22]{./images/einstein.jpg}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.8cm}}
\lq\lq
¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad?''
	\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}


\begin{block}{E.P. Wigner (1902--1995) Premio Nobel de Física en 1963}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.2]{./images/wigner.jpg}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.0cm}}
\lq\lq
La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza el misterio y que no tiene explicación racional''.
	\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}

\vspace{-6pt}
\begin{small}\begin{block}{}
\lq\lq El milagro de lo apropiado que es el lenguaje de las matemáticas para 
la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que 
ni entendemos ni merecemos''.
\end{block}\end{small}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{Una pregunta más básica:}
¿Cómo es posible que los números, que son \lq\lq naturales'', tengan propiedades matemáticas profundas?
\end{block}


\begin{block}{}
¿Por qué hay muchos problemas de teoría de números con enunciado sencillo y solución complicada?

¿Por qué para entener los números tenemos que estudiar cosas que aparentemente no tienen nada que ver con ellos?
\end{block}

\color{black}
\begin{center}
\color{Gold}
\fcolorbox{Blue3}{Blue5}{\begin{large}\bf {\color{subblue}En Matemáticas todo está conectado}\end{large}}
\end{center}
En otras áreas de la Ciencia hay una división más clara entre diferentes temas.



\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Dividir cuadrados}
\begin{frame}

\

\

\begin{center}\color{black}
\fbox{\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=1.5]{./images/dividir.jpg}\end{tabular}}
\end{center}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Dividiendo cuadrados\dots}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
\begin{center}
¿Es $n^2+1$ divisible por 103 para algún $n$?
\end{center}
\end{block}
}



{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
\begin{center}
¿Qué números se obtienen al factorizar $n^2+1$?
\end{center}
\end{block}
}



\begin{small}\color{blue}
\[
\hspace{-9pt}
\begin{array}{llll}
1^2+1=\textbf{2} 
,&
5^2+1=2\cdot \textbf{13}
,&
9^2+1=2\cdot \textbf{41}
,&
13^2+1=2\cdot 5\cdot {17}
\\
2^2+1=\textbf{5} 
,&
6^2+1=\textbf{37}
,&
10^2+1=\textbf{101}
,&
14^2+1=\textbf{197}
\\
3^2+1=2\cdot 5
,
\hspace{-1pt}
&
7^2+1=2\cdot 5^2
,&
11^2+1=2\cdot \textbf{61}
,&
15^2+1=2\cdot \textbf{113}
\\
4^2+1=\textbf{17} 
,&
8^2+1=5\cdot {13}
,&
12^2+1=5\cdot\textbf{29}
,&
16^2+1=\textbf{257}
\end{array}
\]\end{small}



\color{blue}
Posibles primos:
2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 61, 101, 113, 197, 257

\textbf{Salvo el 2, sus factores primos difieren en múltiplos de 4}



{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
\begin{center}
¿Por qué los factores primos de $n^2+3$ mayores que $3$ siempre difieren en múltiplos de $6$?
\end{center}
\end{block}
}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{Primos módulo 4}

\begin{footnotesize}
\begin{center}
\color{Gris}
\begin{tabular}{cccc}
1 &{\color{black}\bf 2 }&{\color{black}\bf 3 }&4
\\
{\color{black}\bf 5 }&6 &{\color{black}\bf 7 }&8
\\
9 &10 &{\color{black}\bf 11 }&12
\\
{\color{black}\bf 13 }&14 &15 &16
\\
{\color{black}\bf 17 }&18 &{\color{black}\bf 19 }&20
\\
21 &22 &{\color{black}\bf 23 }&24
\\
25 &26 &27 &28
\\
{\color{black}\bf 29 }&30 &{\color{black}\bf 31 }&32
\\
33 &34 &35 &36
\\
{\color{black}\bf 37 }&38 &39 &40
\\
{\color{black}\bf 41 }&42 &{\color{black}\bf 43 }&44
\\
45 &46 &{\color{black}\bf 47 }&48
\\
49 &50 &51 &52
\\
{\color{black}\bf 53 }&54 &55 &56
\\
57 &58 &{\color{black}\bf 59 }&60
\\
{\color{black}\bf 61 }&62 &63 &64
\\
65 &66 &{\color{black}\bf 67 }&68
\\
69 &70 &{\color{black}\bf 71 }&72
\\
{\color{black}\bf 73 }&74 &75 &76
\end{tabular}
\end{center}
\end{footnotesize}


\end{block}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{Factores primos de $n^2+1$}

\begin{footnotesize}
\begin{center}
\color{Gris}
\begin{tabular}{cccc}
1 &{\color{black}\bf \alert{2} }&{\color{black}\bf 3 }&4
\\
{\color{black}\bf \alert{5 }}&6 &{\color{black}\bf 7 }&8
\\
9 &10 &{\color{black}\bf 11 }&12
\\
{\color{black}\bf \alert{13 }}&14 &15 &16
\\
{\color{black}\bf \alert{17 }}&18 &{\color{black}\bf 19 }&20
\\
21 &22 &{\color{black}\bf 23 }&24
\\
25 &26 &27 &28
\\
{\color{black}\bf \alert{29 }}&30 &{\color{black}\bf 31 }&32
\\
33 &34 &35 &36
\\
{\color{black}\bf \alert{37 }}&38 &39 &40
\\
{\color{black}\bf \alert{41 }}&42 &{\color{black}\bf 43 }&44
\\
45 &46 &{\color{black}\bf 47 }&48
\\
49 &50 &51 &52
\\
{\color{black}\bf \alert{53 }}&54 &55 &56
\\
57 &58 &{\color{black}\bf 59 }&60
\\
{\color{black}\bf \alert{61 }}&62 &63 &64
\\
65 &66 &{\color{black}\bf 67 }&68
\\
69 &70 &{\color{black}\bf 71 }&72
\\
{\color{black}\bf \alert{73 }}&74 &75 &76
\end{tabular}
\end{center}
\end{footnotesize}


\end{block}
\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{Primos módulo 6}

\begin{footnotesize}
\begin{center}
\color{Gris}
\begin{tabular}{cccccc}
1 &{\color{black}\bf 2 }&{\color{black}\bf 3 }&4 &{\color{black}\bf 5 }&6
\\
{\color{black}\bf 7 }&8 &9 &10 &{\color{black}\bf 11 }&12
\\
{\color{black}\bf 13 }&14 &15 &16 &{\color{black}\bf 17 }&18
\\
{\color{black}\bf 19 }&20 &21 &22 &{\color{black}\bf 23 }&24
\\
25 &26 &27 &28 &{\color{black}\bf 29 }&30
\\
{\color{black}\bf 31 }&32 &33 &34 &35 &36
\\
{\color{black}\bf 37 }&38 &39 &40 &{\color{black}\bf 41 }&42
\\
{\color{black}\bf 43 }&44 &45 &46 &{\color{black}\bf 47 }&48
\\
49 &50 &51 &52 &{\color{black}\bf 53 }&54
\\
55 &56 &57 &58 &{\color{black}\bf 59 }&60
\\
{\color{black}\bf 61 }&62 &63 &64 &65 &66
\\
{\color{black}\bf 67 }&68 &69 &70 &{\color{black}\bf 71 }&72
\\
{\color{black}\bf 73 }&74 &75 &76 &77 &78
\\
{\color{black}\bf 79 }&80 &81 &82 &{\color{black}\bf 83 }&84
\\
85 &86 &87 &88 &{\color{black}\bf 89 }&90
\\
91 &92 &93 &94 &95 &96
\\
{\color{black}\bf 97 }&98 &99 &100 &{\color{black}\bf 101 }&102
\\
{\color{black}\bf 103 }&104 &105 &106 &{\color{black}\bf 107 }&108
\\
{\color{black}\bf 109 }&110 &111 &112 &{\color{black}\bf 113 }&114
\end{tabular}
\end{center}
\end{footnotesize}


\end{block}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{Factores primos de $n^2+3$}

\begin{footnotesize}
\begin{center}
\color{Gris}
\begin{tabular}{cccccc}
1 &{\color{black}\bf \alert{2} }&{\color{black}\bf \alert{3} }&4 &{\color{black}\bf 5 }&6
\\
{\color{black}\bf \alert{7 }}&8 &9 &10 &{\color{black}\bf 11 }&12
\\
{\color{black}\bf \alert{13 }}&14 &15 &16 &{\color{black}\bf 17 }&18
\\
{\color{black}\bf \alert{19 }}&20 &21 &22 &{\color{black}\bf 23 }&24
\\
25 &26 &27 &28 &{\color{black}\bf 29 }&30
\\
{\color{black}\bf \alert{31 }}&32 &33 &34 &35 &36
\\
{\color{black}\bf \alert{37 }}&38 &39 &40 &{\color{black}\bf 41 }&42
\\
{\color{black}\bf \alert{43 }}&44 &45 &46 &{\color{black}\bf 47 }&48
\\
49 &50 &51 &52 &{\color{black}\bf 53 }&54
\\
55 &56 &57 &58 &{\color{black}\bf 59 }&60
\\
{\color{black}\bf \alert{61 }}&62 &63 &64 &65 &66
\\
{\color{black}\bf \alert{67 }}&68 &69 &70 &{\color{black}\bf 71 }&72
\\
{\color{black}\bf \alert{73 }}&74 &75 &76 &77 &78
\\
{\color{black}\bf \alert{79 }}&80 &81 &82 &{\color{black}\bf 83 }&84
\\
85 &86 &87 &88 &{\color{black}\bf 89 }&90
\\
91 &92 &93 &94 &95 &96
\\
{\color{black}\bf \alert{97 }}&98 &99 &100 &{\color{black}\bf 101 }&102
\\
{\color{black}\bf \alert{103 }}&104 &105 &106 &{\color{black}\bf 107 }&108
\\
{\color{black}\bf \alert{109 }}&110 &111 &112 &{\color{black}\bf 113 }&114
\end{tabular}
\end{center}
\end{footnotesize}


\end{block}
\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{Primos módulo 7}

\begin{footnotesize}
\begin{center}
\color{Gris}
\begin{tabular}{ccccccc}
1 &{\color{black}\bf 2 }&{\color{black}\bf 3 }&4 &{\color{black}\bf 5 }&6 &{\color{black}\bf 7 }
\\
8 &9 &10 &{\color{black}\bf 11 }&12 &{\color{black}\bf 13 }&14
\\
15 &16 &{\color{black}\bf 17 }&18 &{\color{black}\bf 19 }&20 &21
\\
22 &{\color{black}\bf 23 }&24 &25 &26 &27 &28
\\
{\color{black}\bf 29 }&30 &{\color{black}\bf 31 }&32 &33 &34 &35
\\
36 &{\color{black}\bf 37 }&38 &39 &40 &{\color{black}\bf 41 }&42
\\
{\color{black}\bf 43 }&44 &45 &46 &{\color{black}\bf 47 }&48 &49
\\
50 &51 &52 &{\color{black}\bf 53 }&54 &55 &56
\\
57 &58 &{\color{black}\bf 59 }&60 &{\color{black}\bf 61 }&62 &63
\\
64 &65 &66 &{\color{black}\bf 67 }&68 &69 &70
\\
{\color{black}\bf 71 }&72 &{\color{black}\bf 73 }&74 &75 &76 &77
\\
78 &{\color{black}\bf 79 }&80 &81 &82 &{\color{black}\bf 83 }&84
\\
85 &86 &87 &88 &{\color{black}\bf 89 }&90 &91
\\
92 &93 &94 &95 &96 &{\color{black}\bf 97 }&98
\\
99 &100 &{\color{black}\bf 101 }&102 &{\color{black}\bf 103 }&104 &105
\\
106 &{\color{black}\bf 107 }&108 &{\color{black}\bf 109 }&110 &111 &112
\\
{\color{black}\bf 113 }&114 &115 &116 &117 &118 &119
\\
120 &121 &122 &123 &124 &125 &126
\\
{\color{black}\bf 127 }&128 &129 &130 &{\color{black}\bf 131 }&132 &133
\end{tabular}
\end{center}
\end{footnotesize}


\end{block}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{Factores primos de $n^2+7$}

\begin{footnotesize}
\begin{center}
\color{Gris}
\begin{tabular}{ccccccc}
1 &{\color{black}\bf \alert{2 }}&{\color{black}\bf 3 }&4 &{\color{black}\bf 5 }&6 &{\color{black}\bf \alert{7} }
\\
8 &9 &10 &{\color{black}\bf \alert{11 }}&12 &{\color{black}\bf 13 }&14
\\
15 &16 &{\color{black}\bf 17 }&18 &{\color{black}\bf 19 }&20 &21
\\
22 &{\color{black}\bf \alert{23 }}&24 &25 &26 &27 &28
\\
{\color{black}\bf \alert{29 }}&30 &{\color{black}\bf 31 }&32 &33 &34 &35
\\
36 &{\color{black}\bf \alert{37 }}&38 &39 &40 &{\color{black}\bf 41 }&42
\\
{\color{black}\bf \alert{43 }}&44 &45 &46 &{\color{black}\bf 47 }&48 &49
\\
50 &51 &52 &{\color{black}\bf \alert{53 }}&54 &55 &56
\\
57 &58 &{\color{black}\bf 59 }&60 &{\color{black}\bf 61 }&62 &63
\\
64 &65 &66 &{\color{black}\bf \alert{67 }}&68 &69 &70
\\
{\color{black}\bf \alert{71 }}&72 &{\color{black}\bf 73 }&74 &75 &76 &77
\\
78 &{\color{black}\bf \alert{79 }}&80 &81 &82 &{\color{black}\bf 83 }&84
\\
85 &86 &87 &88 &{\color{black}\bf 89 }&90 &91
\\
92 &93 &94 &95 &96 &{\color{black}\bf 97 }&98
\\
99 &100 &{\color{black}\bf 101 }&102 &{\color{black}\bf 103 }&104 &105
\\
106 &{\color{black}\bf \alert{107 }}&108 &{\color{black}\bf \alert{109 }}&110 &111 &112
\\
{\color{black}\bf \alert{113 }}&114 &115 &116 &117 &118 &119
\\
120 &121 &122 &123 &124 &125 &126
\\
{\color{black}\bf \alert{127 }}&128 &129 &130 &{\color{black}\bf 131 }&132 &133
\end{tabular}
\end{center}

\end{footnotesize}


\end{block}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{}
Euler (1751) enunció 59 \lq\lq teoremas'' experimentales relacionados con el tema.
\end{block}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{black}Problema general}
Euler decía que un primo $p$ \textit{pertenece} a $n^2+k$ si $p|n^2+k$ para algún $n$. 
{\color{MyDarkBlue}El problema general consiste en caracterizar los primos que pertenecen a $n^2+k$}.

\vspace{5pt}
\begin{small}Con argumentos elementales (completar cuadrados) la solución de este problema permitiría caracterizar los enteros que dividen a algún valor de cualquier polinomio fijado de segundo grado $P(n)=an^2+bn+c$.\end{small}
\end{block}
}

\begin{small}\color{black}Caracterizar $p\in n^2+5$ ya quedaba fuera de los métodos del siglo XVIII, aunque experimentalmente es fácil intuir (como hizo Euler)  que el resultado es
$\{2,5\}\cup\{p\equiv 1,4
\text{ (mod $5$)}\}$.\end{small}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\color{black}
Una de las pocas caracterizaciones completas que se sabían probar antes de Gauss era:

\begin{block}{Fermat (?) - Euler (1758)}
\vspace{-15pt}
\color{blue}
\[
\{\text{factores primos de }n^2+1\}
=
\{2\}\cup\{\text{primos de la forma }4n+1\}.
\]

\vspace{-10pt}
Con la notación de Euler

\vspace{-15pt}
\[
p\in n^2+1
\ \Longleftrightarrow\
p=2\text{ ó }
p\equiv 1
\text{ (mod $4$)} 
\]%\vspace{0pt}
\end{block}


\begin{block}{}
\underline{Prueba} \begin{footnotesize}(parte difícil)\end{footnotesize}:
$\Z_p^*$ cíclico
\begin{small}$\{1,\dots,p-1\}=\{g^1,g^2,\dots, g^{p-1}=1\}$\end{small}

\pmb{Si $p=4n+1$}
\vspace{-6pt}
\[
\{x_j=g^{(p-1)j/4},\; j=0,1,2,3\}
=\{\text{raíces de }
x^4-1\text{ mód }p\}
\]
$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$ $\Rightarrow$ \pmb{$x^2 +1=0$ tiene solución  $\text{ mód }p$}.
\end{block}




\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{Euler (1760)\hfill \begin{footnotesize}(una curiosa reducción)\end{footnotesize}}
Para estudiar $p\in n^2+k$ basta considerar $k$ primo porque 
\[
p\in n^2+ab
\ \Leftrightarrow\ 
\left\{
\begin{array}{l}
p\in n^2+a\text{ y }p\in n^2+b
\\
\text{ó}
\\
p\not\in n^2+a\text{ y }p\not\in n^2+b
\end{array}
\right.
\]
si $\frac{p-1}2$ es par $p\nmid ab$. Para $\frac{p-1}2$ impar se cumple cambiando el primer 
término por $p\not\in n^2+ab$.
\end{block}

\

\begin{small}\color{black}
\underline{Ej.} No existe $n$ tal que $13|n^2+5$ ni $n$ tal que $13|n^2+7$ $\Rightarrow$ existe $n$ tal que $13|n^2+35$.  \begin{footnotesize} De hecho $2^2+35=3\cdot 13$\end{footnotesize}.\end{small}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{small}\color{black}Gauss resolvió el problema gracias a su ley de reciprocidad cuadrática:\end{small}

\

\begin{block}{Ley de reciprocidad cuadrática. Gauss (1796)}
Si $p,q>2$ primos distintos
\begin{itemize}
\item
Si $\frac{p+1}{2}$, $\frac{q+1}{2}$ impares:\quad
$p\in n^2+q
\ \Leftrightarrow\ 
q\in n^2+p$
\item 
Si $\frac{p+1}{2}$ ó $\frac{q+1}{2}$ par:\quad
$p\in n^2+q
\ \Leftrightarrow\ 
q\not\in n^2+p$
\end{itemize}
\end{block}
\begin{small}

\color{black}
Con ello se tiene un algoritmo para obtener los teoremas que Euler no supo demostrar.


\

\color{black}
\underline{Ej.} 
$\frac{7+1}2$ par $p\in n^2+7
\ \Leftrightarrow\ 
7\not\in n^2+p$. Trabajando módulo $7$, $k^2+p\not\equiv 0$ con $0<k<7$ da lugar a $p\equiv 1,2,4\text{ (mod $7$)}$.

\end{small}
\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
¿Por qué razón una simetría tan simple como la ley de reciprocidad cuadrática no es inmediata?

¿Por qué las pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática son truculentas? (Gauss dio seis demostraciones)
\end{block}
}

\begin{small}\color{black}Desde el propio Gauss los matemáticos han buscado generalizaciones que nos muestren la ley de reciprocidad cuadrática como un caso particular de una simetría más profunda.\end{small}


\begin{block}{}
\begin{small}$p\in n^2+k$ es lo mismo que decir que $x^2+k$ tiene sus dos raíces en $\Z_p$ y la ley de reciprocidad cuadrática caracteriza $p$ mediante condiciones de congruencia.\end{small}
\end{block}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{black}Problema (\textsl{Ley de \lq\lq reciprocidad'' generalizada})}
Dado un polinomio de grado $d$ caracterizar mediante condiciones de congruencia los $p$ para los cuales tiene $d$ raíces en $\Z_p$.
\end{block}
}



\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=subblue}
\begin{block}{}
En la actualidad el problema se sabe resolver cuando 
\begin{center}
\color{MyDarkBlue}
\underline{¡el grupo de Galois sobre $\Q$ del polinomio es abeliano!}
\end{center}
\end{block}
}


{\setbeamercolor{block title}{bg=subblue}
\begin{block}{}
¿Por qué un problema de congruencias (restos al dividir) tiene que ver con el grupo de Galois (automorfismos en extensiones algebraicas de $\Q$)?

¿Hay alguna otra simetría que se aplique al caso no abeliano?
\end{block}
}

\begin{center}
\begin{small}\color{black}
\begin{tabular}{ccccc}
	\begin{tabular}{c}
		\includegraphics[scale=0.3]{./images/eulerp.jpg}
	\\
		L. Euler
	\\
	s.\;XVIII
	\end{tabular}
&
	\scalebox{1.5}{$\rightarrow$}
&
	\begin{tabular}{c}
		\includegraphics[scale=0.3]{./images/gaussp.jpg}
	\\
		C.F. Gauss
	\\
	s.\;XIX
	\end{tabular}
&
	\scalebox{1.5}{$\rightarrow$}
&
	\begin{tabular}{c}
		\includegraphics[scale=0.3]{./images/artinp.jpg}
	\\
		E. Artin
	\\
	s.\;XX
	\end{tabular}
\end{tabular}\end{small}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{\only<1->{Curioso}\only<2->{,\ Insospechado\ }\only<3->{y Alucinante}}

\begin{block}{}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.4]{./images/curioso.jpg}\hspace{-17pt}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.8cm}}
\color{darkgreen}
Los divisores de un polinomio de segundo grado parecen no ser aleatorios.
	\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}

\uncover<2->{
\begin{block}{}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.4]{./images/insospechado.jpg}\hspace{-17pt}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.8cm}}
\color{blue}
Hay una simetría entre diferentes polinomios que no es sencilla de probar.
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}
}


\uncover<3->{
\begin{block}{}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.4]{./images/alucinante.jpg}\hspace{-17pt}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.8cm}}
\color{masrojo}
Extender una forma de esta simetría a grados superiores requiere temas avanzados de álgebra.
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}
}



\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Distribución de los primos}
\begin{frame}

\

\

\begin{center}
\color{black}
\fbox{\begin{tabular}{c}
\begin{huge}\textbf{Primos}\end{huge}
\\ 
\includegraphics[scale=2.0]{./images/primos.jpg}\end{tabular}}
\end{center}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{La distribución de los primos}


\begin{block}{Prueba de Euler de la infinitud de los primos 1737}
\begin{eqnarray*}
\prod\big(1-\frac 1p\big)^{-1}
&=&\prod\big(1+\frac 1p+\frac 1{p^2}+\frac 1{p^3}+\dots\big)
\\
&=&
\sum\frac 1n=\infty\quad (\log\infty\text{ para Euler})
\end{eqnarray*}
\end{block}


\begin{block}{}
Tomando logaritmos y usando $-\log(1-x)\sim x$ para $x$ pequeño, Euler concluía
\[
\sum\frac 1p=\log\log \infty
\]
y como $\log\log\infty<\log\infty$ (¿?) los primos son \lq\lq infinitamente menos numerosos que los naturales''.
\end{block}


\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
Con tablas extensas (Gauss) resulta que la probabilidad de que un número de tamaño $N$ sea primo es con gran aproximación $1/\log N$.

Matemáticamente, si $\pi(x)=\#\{p\le x\}$ para $x$ grande
\[
\pi(x)\sim \int_2^x\frac{dt}{\log t}
\quad
\big(\sim \frac{x}{\log x}
\text{ aproximación peor }
\big) 
\]
donde $f\sim g$ significa $f/g\to 1$ cuando $x\to\infty$.
\end{block}
}

\

\begin{block}{Preguntas}
\begin{itemize}
\item
¿Por qué razón al contar primos aparece un logaritmo? 
\item
¿Cómo de buena es la aproximación?
\end{itemize}
\end{block}

\begin{small}\color{black}
Las respuestas no empezaron a gestarse hasta 60 años después de notarse este fenómeno y tuvieron que pasar otros 40 para materializarse en resultados matemáticos rigurosos.\end{small}


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
%\begin{center}
\color{MyDarkBlue}
\begin{tabular}{c}
\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=0.3]{./images/gauss.jpg}
\\
\color{black}C.F. Gauss
\end{tabular} 
\hspace{-15pt}
\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=0.75]{./images/tablagauss.png} \end{tabular}
\end{tabular}
%\end{center}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\vspace{40pt}

%\begin{center}
\color{MyDarkBlue}
\begin{tabular}{c}
\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=0.3]{./images/gauss.jpg}
\\
\color{black}C.F. Gauss
\end{tabular} 
\hspace{-5pt}
\color{MyDarkBlue}
\begin{tabular}{|r|r|r|r|}
$\color{black}x$ &$\color{black}\pi(x)$ 
&$\color{black}\int_2^x-\pi(x)$&
$\color{black}\pi(x)/\int_2^x$
\\
\hline
$10^4$ &1\;229 &17 & 0.986
\\
\hline
$10^5$ &9\;592 &38 &0.9960
\\
\hline
$10^6$ &78\;498 &130 &0.9983
\\
\hline
$10^7$ &664\;579 &339 &0.99949
\\
\hline
$10^8$ &5\;761\;455 &754 &0.99987
\\
\hline
$10^9$ &50\;847\;534 &1\;701 &0.999967
\\
\hline
$10^{10}$ &455\;052\;511 &3\;104 &0.9999932
\\
\hline
\end{tabular}
\end{tabular}
%\end{center}


\color{black}
\[
\frac{10^{10}}{\log 10^{10}}
=434\; 294\; 481.9
\qquad
\pi(10^{10})\big/\frac{10^{10}}{\log 10^{10}}=1.047\dots
\]

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=blue}
\begin{block}{}
\[
\text{Euler}
\qquad
\rightarrow
\qquad
\prod\big(1-\frac 1{p^s}\big)^{-1}
=\sum\frac 1{n^s}:=\zeta(s)
\]
\end{block}
}

\begin{block}{Riemann 1859}
Se puede \lq\lq despejar'' de esta identidad usando variable compleja:
\[
\text{$\log$ $+$ Taylor}
\quad
\rightarrow
\quad
\sum
\big(\frac 1{p^{s}}+\frac 1{2p^{2s}}+\frac 1{3p^{3s}}+\dots\big)=\log \zeta(s)
\]
\[
\text{\begin{tabular}{c}
Tma de los residuos
\\
\begin{small}$c>1$\end{small}
\end{tabular}}\ 
\rightarrow
\ 
\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}
\frac{t^s}{s}ds=
\left\{
\text{\begin{tabular}{l}
\begin{small}1 si $t>1$\end{small}
\\
\begin{small}0 si $0<t<1$\end{small}
\end{tabular}}
\right.
\]
De aquí
\color{blue}
\[
\underbrace{\pi(x)+\frac 12\pi(x^{1/2})+\frac 13\pi(x^{1/3})+ \dots}_{\pi(x)+O(x^{1/2})}
=
\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}
\frac{x^s\log\zeta(s)}{s}ds
\]
\end{block}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=magenta}
\begin{block}{}
\begin{center}
¡La cantidad de primos se escribe como una integral compleja!
\end{center}
\end{block}
}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
Pero las integrales complejas se pueden calcular a menudo en términos de las singularidades del integrando.
\begin{center}
Singularidades de $\log\zeta(s)$ $\rightarrow$ ceros (y polos) de $\zeta(s)$.

\end{center}\end{block}
}



\begin{block}{Riemann}
\begin{itemize}
\item
$\zeta(s)$ se extiende a $\C$ con un sólo polo en $s=1$
\item
Los ceros con $\text{Re}(s)>0$ tienen simetrías $s\leftrightarrow 1-s$ y  $s\leftrightarrow 1-\overline{s}$
\item
Si no hay ceros en un semiplano que contiene a $\text{Re}(s)>\sigma$, entonces 
\[
\big|\pi(x)- \int_2^x\frac{dt}{\log t}\big|<C x^{\sigma}
\]
\end{itemize}
\end{block}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\

\vspace{60pt}
\begin{center}\color{black}
\begin{tabular}{l}
\smash{\begin{tabular}{c}
$\frac{x^s\log\zeta(s)}{s}$
\\
\only<-2>{\includegraphics[scale=2.5]{./images/zeta1.png}}\only<3->{\includegraphics[scale=2.5]{./images/zeta2.png}}
\end{tabular}}
\\[-20pt]
\uncover<2->{\hspace{100pt}$\rho$\lq\lq\scalebox{3.5}[1.0]{$\longrightarrow$}''$\frac{x^\rho}{\rho\log x}$}
\\[12pt]
\uncover<2->{\hspace{140pt}\scalebox{2.8}[1.0]{$\rightarrow$}$\int_2^x\frac{dt}{\log t}$}
\end{tabular}
\end{center}

\

\


\vspace{30pt}
\uncover<3->{\begin{block}{}
Cuanto más a la derecha estén las singularidades, distintas de $s=1$, mayor es el error en la aproximación $\pi(x)\sim \int_2^x\frac{dt}{\log t}$
\end{block}}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=subblue}
\begin{block}{}
El menor error se obtendría si los ceros de $\zeta(s)$ con $\text{Re}(s)>0$ estuvieran en fila india en $\text{Re}(s)=\frac 12$ \color{red}(Hipótesis de Riemann)
\end{block}
}


{\setbeamercolor{block title}{bg=subblue}
\begin{block}{}
¿Se cumple la Hipótesis de Riemann?\end{block}
}


\hspace{-20pt}
\begin{tabular}{c}
\raisebox{0.5cm}{%
	\scalebox{1.3}[0.65]{\rotatebox{-37}{
\begin{tabular}{ccc}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.24]{./images/interr.jpg}
	\end{tabular}
&
\hspace{-20pt}\color{red}
\begin{Large}\begin{tabular}{c}
\textbf{La pregunta} \\
\textbf{del millón}
\end{tabular}\end{Large}
\hspace{-20pt}
&
	\begin{tabular}{c}
	\rotatebox{180}{\includegraphics[scale=0.24]{./images/interr.jpg}}
	\end{tabular}
\end{tabular}
}}
}
\end{tabular}
\hspace{-20pt}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.35]{./images/riemann.jpg}
\end{tabular}



{\setbeamercolor{block title}{bg=subblue}
\begin{block}{}
¿Por qué razón los ceros de $\zeta(s)$ deben estar en una línea?

No se sabe pero se ha comprobado numéricamente para 
$10^{13}$ ceros
\end{block}
}





\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{\only<1->{Curioso}\only<2->{,\ Insospechado\ }\only<3->{y Alucinante}}

\begin{block}{}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.4]{./images/curioso.jpg}\hspace{-17pt}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.8cm}}
\color{darkgreen}
Los primos son aparentemente caóticos pero su densidad decae como un logaritmo.
	\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}

\uncover<2->{
\begin{block}{}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.4]{./images/insospechado.jpg}\hspace{-17pt}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.8cm}}
\color{blue}
Este comportamiento se demostró empleando integrales complejas y métodos de análisis.
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}
}


\uncover<3->{
\begin{block}{}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.4]{./images/alucinante.jpg}\hspace{-17pt}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.8cm}}
\color{masrojo}
Hay un \lq\lq si y sólo si'' relacionando el error al contar números primos con los ceros de cierta función de variable compleja.
	\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}
}



\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Un problema aditivo}
\begin{frame}

\

\

\begin{center}
\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=2.0]{./images/goldbach.jpg}\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Primos contra sumas}


\begin{block}{}
\begin{small}Los primos están asociados a la factorización (estructura multiplicativa). Los problemas aditivos con primos suelen ser difíciles.\end{small}
\end{block}


\begin{alertblock}{}
¿Se puede escribir un número $N$ como suma de $k$ primos?
\[
r_k(N)=\#\{(p_1,p_2,\dots,p_k)\;:\; p_1+p_2+\dots +p_k=N\}
\]
¿Se cumple $r_k(N)>0$?
\end{alertblock}


\begin{block}{}
\begin{small}Condición natural: $N$ y $k$ con la misma paridad (sólo hay un primo par).\end{small}
\end{block}

\begin{block}{Conjetura de Goldbach}
$r_2(N)>0$ para todo $N\ge 4$ par.
\end{block}



\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Mejores resultados}



\begin{block}{Teorema de Vinogradov (1937)\hfill \begin{footnotesize}(enunciado simplificado)\end{footnotesize}}
$N$ impar, $N>\text{constante muy grande}$ $\Rightarrow$ 
$r_3(N)>0$ 
\end{block}

\

\begin{block}{Teorema de Chen (1966)\hfill \begin{footnotesize}(enunciado simplificado)\end{footnotesize}}
$N$ par, $N>\text{cte muy grande}$ $\Rightarrow$ 
$N=p_1+p_2$ ó  $N=p_1+p_2p_3$
\end{block}

\

\

\noindent
{\color{black}
\hspace{-15pt}
\begin{tabular}{ccccc}
\begin{small}\begin{tabular}{l}
I.M. Vinogradov
\\
(1891-1983)
\end{tabular}\end{small}
\hspace{-25pt}
&
\begin{tabular}{l}
\includegraphics[scale=1.3]{./images/fVin.jpg}
\end{tabular}
&
\qquad
&
\begin{small}\begin{tabular}{l}
J.-R. Chen
\\
(1933-1996)
\end{tabular}\end{small}
\hspace{-25pt}
&
\begin{tabular}{l}
\includegraphics[scale=1.3]{./images/fChen.jpg}
\end{tabular}
\end{tabular}}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{El teorema de Vinogradov. Algunas ideas}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}\begin{block}{}
\textbf{Exponencial:}
\begin{small}mundo aditivo $\leftrightarrow$
mundo multiplicativo\hfill $e^{x+y}=e^x\cdot e^y$\end{small}
\end{block}}

\vspace{-20pt}
\color{black}
\[
e^{it}=\cos t+i\sen t,
\qquad
\int_0^1e^{2\pi ikx}e^{-2\pi imx}\;dx=
\begin{cases}
1&\text{si } k=m
\\
0&\text{si } k\ne m
\end{cases}
\]


\vspace{-10pt}
\begin{alertblock}{Fórmula fundamental}
\[
r_3(N)=
\int_0^1
\bigg(\sum_{p< N} e^{2\pi i px}\bigg)^3e^{-2\pi iNx}\;dx
\]
\end{alertblock}
\color{black}
porque
\[
\bigg(\sum_{p< N} e^{2\pi i px}\bigg)^3
=
\sum_{p_1,p_2,p_3< N} e^{2\pi i (p_1+p_2+p_3)x}
\]

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{alertblock}{}
\[
r_3(N)=
\int_0^1
\big(f(x)\big)^3e^{-2\pi iNx}\;dx,
\qquad
f(x)=\sum_{p< N} e^{2\pi i px}
\]
\end{alertblock}


\color{black}
Sólo es útil si sabemos decir algo de $f$

\begin{block}{Recordemos 
$\text{Prob}\big(\{n\in [1,N]\text{ primo}\}\big)\sim 1/\log N$}
\begin{itemize}
\item
$\displaystyle{f(0)=f(1)\sim\frac{N}{\log N}}$
\item
$\displaystyle{f(1/2)=1+\sum_{2<p<N}(-1)\sim -\frac{N}{\log N}}$
\item
$\displaystyle{f(1/3)=1
+\sum_{\substack{ p<N\\ p\equiv 1\ (3)}}e^{2\pi i/3}
+\sum_{\substack{ p<N\\ p\equiv 2\ (3)}}e^{4\pi i/3}
\sim -\frac{N}{2\log N}}$
\end{itemize}
\end{block}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\

\

\vspace{59pt}
\begin{center}\color{black}
\begin{tabular}{l}
\smash{\begin{tabular}{c}
$f(x)=\displaystyle\sum_{p< N} e^{2\pi i px}$
\\[5pt]
{\includegraphics[scale=0.6]{./images/trigprim.png}}
\end{tabular}}
\\[-75pt]
%\uncover<2->
{\hspace{25pt}$\frac N{\log N}$}
\\[93pt]
%\uncover<2->
{\hspace{70pt}$-\frac N{2\log N}$}
\\[22pt]
%\uncover<2->
{\hspace{113pt}$-\frac N{\log N}$}
\end{tabular}
\end{center}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{alertblock}{}
\[
r_3(N)=
\int_0^1
\big(f(x)\big)^3e^{-2\pi iNx}\;dx,
\qquad
f(x)=\sum_{p< N} e^{2\pi i px}
\]
\end{alertblock}


\vspace{-10pt}
\color{black}
\begin{small}\[
f(0)=f(1)\sim\frac{N}{\log N},
\quad
f(1/2)\sim-\frac{N}{\log N},
\quad
f(1/3)\sim-\frac{N}{2\log N}
\]
\end{small}

\vspace{-10pt}
\begin{small}\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{-1pt}
\item
\color{blue}
$f$ no oscila en intervalos de longitud$\;<1/N$
\item
\color{blue}
$\sum e^{2\pi i px}$ sólo tiene \lq\lq resonancias'' cerca de los racionales de denominador pequeño $\Rightarrow$ en el resto $f$ es pequeña
\end{enumerate}\end{small}

\begin{block}{Teorema. \quad Para $N$ impar grande}
\[
r_3(N)\lq\lq\sim\text{\rq\rq}
\frac 1N\bigg(\frac{N}{\log N}\bigg)^3
\bigg(1^3+(-1)^3e^{-\pi i}+\big(-\frac 12\big)^3e^{-2\pi i/3}+\dots\bigg)
\]
\end{block}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\color{black}
Evaluando la serie (!) el resultado preciso que se prueba es:

\begin{block}{Teorema. \quad Para $N$ impar grande}
\[
r_3(N)\sim\frac{N^2}{2\log^3N}
\prod_{p\nmid N}
\bigg(1+\frac{1}{(p-1)^3}\bigg)
\prod_{p\mid N}
\bigg(1-\frac{1}{(p-1)^2}\bigg)
\]
\end{block}

\

\

\color{black}
Si pudiéramos copiar el procedimiento:

\begin{block}{Teorema. \quad Para $N$ par grande}
\[
r_2(N)\sim\frac{N}{\log^2N}
\prod_{p\nmid N}
\bigg(1-\frac{1}{(p-1)^2}\bigg)
\prod_{p\mid N}
\bigg(1+\frac{1}{p-1}\bigg)
\]
\end{block}

\color{black}
que experimentalmente parece verificarse.


\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{block}{Buena noticia}
\begin{itemize}
\item
El método es muy general y permite tratar de la misma forma otros problemas aditivos con primos o con otros conjuntos de enteros.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Malas noticias}
\begin{itemize}
\item
La constante en el teorema es tan grande que ni siquiera se ha podido alcanzar con ordenadores y no sabemos si $r_3(N)>0$ para $N\ge 7$ impar.
\item
Al aplicar el método a $r_2(N)$ los términos de error en las aproximaciones superan al término principal.
De hecho hay razones teóricas que impiden aplicar el método en esta forma a $r_2(N)$.
\end{itemize}
\end{block}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Unas palabras sobre criba}

\begin{block}{}
La prueba del teorema de Chen es difícil de describir. Se basa en  métodos muy avanzados de criba.

El punto de partida de estos métodos es la  selección de los primos  de una sucesión utilizando el principio de inclusión-exclusión\begin{footnotesize}, iterar la identidad $\#(A\cup B)=\#A+\#B-\#(A\cap B)$.\end{footnotesize}
\end{block}


\begin{block}{}
Por ejemplo: 
\[
\#\big\{\text{primos }p\in [A,B]\big\}\le B-\#\bigcup_{p<A}\big\{\text{múltiplos de $p$}\big\}
\]
y si aplicásemos directamente el principio de inclusión-exclusión se tendrían demasiado sumandos.
\end{block}




\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Unas palabras sobre criba}



\begin{block}{}
Los métodos de criba buscan versiones aproximadas del  principio de inclusión-exclusión con menos sumandos válidas para detectar primos o números con pocos factores.
\end{block}


\begin{block}{}
La estimación de los sumandos pasa por considerar funciones de variable compleja más complicadas que la introducida por Riemann y cuyos ceros son todavía más desconocidos.
\end{block}


\begin{footnotesize}{\setbeamercolor{block title}{bg=Gris}
\begin{block}{}
Esta dificultad también aparecía en el teorema de Vinogradov y por ello durante algún tiempo tras la prueba no se supo ningún $N$ a partir del cual se pudiera asegurar $r_3(N)>0$.
\end{block}
}
\end{footnotesize}



\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{\only<1->{Curioso}\only<2->{,\ Insospechado\ }\only<3->{y Alucinante}}

\begin{block}{}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.4]{./images/curioso.jpg}\hspace{-17pt}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.8cm}}
\color{darkgreen}
Los números impares parecen escribirse como suma de tres primos de muchas formas distintas.
	\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}

\uncover<2->{
\begin{block}{}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.4]{./images/insospechado.jpg}\hspace{-17pt}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.8cm}}
\color{blue}
Se demostró para impares grandes empleando una especie de serie de Fourier con frecuencias primas.
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}
}


\uncover<3->{
\begin{block}{}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.4]{./images/alucinante.jpg}\hspace{-17pt}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.8cm}}
\color{masrojo}
Para acercarse a la conjetura de Goldbach se han unido desigualdades combinatorias muy complicadas con un estudio analítico de  la distribución de los primos en progresiones aritméticas.
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}
}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{¡Cómo no!}
\begin{frame}

\

\

\begin{center}
\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=2.0]{./images/fermat.jpg}\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\color{Gris}
\fbox
{
\color{blue}
\begin{tabular}{c}
	\fbox{UTF}
\\[-1pt]
%	\begin{tabular}{c}\rotatebox{-90}{\rule[40pt]{35pt}{1pt}}\end{tabular}
	\hspace{20pt}\scalebox{2}{\begin{tabular}{c}{$\downarrow$}\end{tabular}}
	\begin{footnotesize}\hspace{-10pt}\color{MedioRojo}Kummer\end{footnotesize}
\\
	\textbf{Teoría de ideales}
\\[10pt]
	\begin{footnotesize}\color{Gris}{\begin{tabular}{p{2.8cm}}
	Prueba para muchos
	exponentes
	\end{tabular}}\end{footnotesize}
\end{tabular}
}
\qquad
\uncover<2->{\fbox{
\color{blue}\begin{tabular}{c}
	\begin{tabular}{p{3.5cm}}
	Funciones e integrales elípticas
	\end{tabular}
\\[-5pt]
	\hspace{20pt}\scalebox{2.5}{\begin{tabular}{c}{$\downarrow$}\end{tabular}}
	\begin{footnotesize}\hspace{-10pt}\color{MedioRojo}{\begin{tabular}{c}
	\\[-20pt]
	Gauss, Jacobi,
	\\
	Weierstrass,
	\\
	Klein, Poincaré
	\end{tabular}}\end{footnotesize}
\\
	\begin{tabular}{p{3.9cm}}
	\textbf{Formas modulares}
	\end{tabular}
\\[1pt]
	\begin{footnotesize}\color{Gris}{\begin{tabular}{p{3.1cm}}
	Formas diferenciales en superficies de Riemann
	\end{tabular}}\end{footnotesize}
\end{tabular}
}}

\uncover<3->{\fbox{
\color{blue}
\begin{tabular}{l}
	\begin{tabular}{ccc}
		\begin{tabular}{p{2.4cm}}
		Ciertas formas
		modulares
		\end{tabular}
	&
		$\overset{\text{\begin{footnotesize}\color{MedioRojo}Eichler-Shimura\end{footnotesize}}}	{\text{\scalebox{2.5}{${\longrightarrow}$}}}$
	&
		\begin{tabular}{p{2.5cm}}
		Curvas elípticas sobre $\Q$
		\end{tabular}
	\end{tabular}
\\[-5pt]
	\color{Gris}{
	\begin{tabular}{cc}
		\begin{tabular}{p{2.5cm}}
		\\[-25pt]
		Conjetura:\ 
		\end{tabular}
	&
		$\overset{\text{\begin{footnotesize}\color{MedioRojo}(Taniyama)\end{footnotesize}}}{\text{\scalebox{2.5}{${\longleftarrow}$}}}$
	\end{tabular}
	}
\end{tabular}
}}


\uncover<4->{\fbox{
\color{blue}
\begin{tabular}{llll}
UTF falso
&
$\overset{\text{\begin{footnotesize}\color{MedioRojo}(Frey)\end{footnotesize}}}{\text{\scalebox{1.5}{$\Longrightarrow$}}}$
		\begin{tabular}{p{2.3cm}}
		Curva elíptica extraña
		\end{tabular}
&
\hspace{-14pt}
$\overset{\text{\begin{footnotesize}\color{MedioRojo}Ribet\end{footnotesize}}}{\text{\scalebox{2.2}{$\Longrightarrow$}}}$
&
\hspace{-10pt}
Conjetura falsa
\end{tabular}
}}

\uncover<5->{\fbox{
\color{blue}
\begin{tabular}{lll}
\color{MedioRojo}{Wiles (y otros)}
&
\scalebox{2.2}{$\overset{\ }{\Rightarrow}$}
&
\hspace{-10pt}
Conjetura cierta
\end{tabular}
}
\fbox{
\color{blue}
\begin{tabular}{ll}
\hspace{-10pt}
\scalebox{2.5}{$\overset{\ }{\Rightarrow}$}
&
\hspace{-10pt}
\textbf{\begin{large}\color{masrojo}UTF\end{large}}
\end{tabular}
}}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{}
El \textit{último teorema de Fermat} es un problema de teoría de números de enunciado elemental. En su solución  se han utilizado muchas de las herramientas de diversas asignaturas que suelen componer la licenciaturas de matemáticas como:

\color{MyDarkBlue}
Teoría de números, geometría algebraica, variable compleja (formas modulares), topología, álgebra lineal, teoría de grupos, teoría de Galois.

\color{black}
Y por supuesto técnicas más avanzadas que exceden la licenciatura.
\end{block}

\begin{block}{}
En la prueba se han creado matemáticas muy interesantes al lado de las cuales el último teorema de Fermat es una mera curiosidad histórica.
\end{block}




{\setbeamercolor{block title}{bg=subblue}
\begin{block}{}
¿Es realmente necesario ir tan lejos? ¿Por qué nadie ha conseguido utilizar matemáticas elementales para llegar a una prueba?
\end{block}
}


\end{frame}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\vspace{-4pt}
\begin{block}{}
\begin{center}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.89]{./images/final.jpg}
	\end{tabular}
\end{center}
\end{block}


\end{frame}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Referencias}
\begin{frame}
\frametitle{Referencias}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{black}\textbf{Para saber más:}}
\begin{itemize}
\item
F.J. Cilleruelo; A. Córdoba.\textit{La teoría de los números}. Mondadori, Madrid 1992.
\item
Y. Hellegouarch.
\textit{Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles}.  Academic Press, Inc., San Diego, CA, 2002.
\item
S. Lang.
\textit{El placer estético de las matemáticas}.
Alianza Universidad 1992.
\item
H.E. Rosen.
\textit{A course in number theory}.  The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994. 
\item
I. Stewart.
\textit{De aquí al infinito}.
Crítica 1998.
\item
I. Stewart.
\textit{Cartas a una joven matemática}.  Crítica 2006.
\end{itemize}
\end{block}
}

\begin{footnotesize}\color{black}Hay copia de esta presentación en \url{http://www.uam.es/fernando.chamizo}\end{footnotesize}


\end{frame}






\end{document}
