\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amssymb, amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{graphics}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%   FORMAT
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setlength{\textheight}{23.0cm}
\setlength{\textwidth}{15.75cm}
\setlength{\topmargin}{-.5cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.5cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%   SPANISH
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%   MACROS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mbox{${\mathbb R}$}}
\newcommand{\C}{\mbox{${\mathbb C}$}}
\newcommand{\N}{\mbox{${\mathbb N}$}}
\newcommand{\Z}{\mbox{${\mathbb Z}$}}
\newcommand{\Q}{\mbox{${\mathbb Q}$}}
\def\refe#1{{\rm(\ref{#1})}}
\def\notdiv{{\kern-1pt\not\kern2pt}|}

\newtheorem{theo}{Teorema}
\newtheorem{coro}[theo]{Corolario}
\newtheorem{lemm}[theo]{Lema}
\newtheorem{prop}[theo]{Proposici\'{o}n}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

%\thispagestyle{empty}

\begin{LARGE}

\

\vskip 7cm

\begin{center}
{\Huge\bf
Representaciones como suma de dos
\\
\
\\
cuadrados
en anillos cuadr\'{a}ticos
}
\end{center}

\vskip 1.5cm
\begin{center}
{Fernando Chamizo}
\\
\
\\
Valencia 2005
\end{center}

\newpage\begin{center}
\fbox{\textbf{\fbox{$\phantom{\frac12}$
1. Los antecedentes
$\phantom{\frac12}$}}}
\end{center}

\

{\sc Problema del c\'{\i}rculo}

Gauss, Hardy, Landau

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
Radio$=\sqrt{N}$
\\
Área=$\pi N$
\end{tabular} \begin{tabular}{ccc}
&
{\scalebox{0.6}{\includegraphics{./circle.eps}}}
&
\end{tabular} 

\end{center}

\[
\sum_{n\le N} r(n)=\pi N+O(N^\alpha)\qquad \text{?`$\alpha$?}
\]

$r(n)$ $\rightarrow$ función caótica

$\sum r(n)$ $\rightarrow$ función suave

\

Conjetura (Hardy): $\forall\ \alpha>1/4=0'25$

Huxley (2003): $\forall\ \alpha>131/416=0'3149\dots$

\

Generalización a cuerpos de números: Rademacher, Schaal, Rausch.


\newpage\begin{center}
\fbox{\textbf{\fbox{$\phantom{\frac12}$
2. El problema
$\phantom{\frac12}$}}}
\end{center}

\

\underline{Formulación genérica}: 

Calcular el promedio del número de representaciones como suma de dos cuadrados en $\Z[\sqrt{k}]$, $k>1$.

\

$(a+d\sqrt{k})^2+(c-b\sqrt{k})^2=n+m\sqrt{k}$
\[
\Rightarrow
\begin{cases}
&n=a^2+kb^2+c^2+kd^2
\\
&m/2=ad-bc
\end{cases}
\]

\underline{Promedios}: 

1) Sobre  $n,m\in [1,N]$  $\rightarrow$ puntos del retículo en el elipsoide $a^2+kb^2+c^2+kd^2\le N$. 

Landau, Kloosterman  $\rightarrow$  error óptimo

\

2) Sobre  $n\in [1,N]$, $m$ fijado   $\rightarrow$ Problema del círculo hiperbólico. Muy irregular, error no bien conocido.
\begin{Large}\[
\sum_{n\le N}r(n+60\sqrt{k})\sim 14'4 N
\qquad
\sum_{n\le N}r(n+62\sqrt{k})\sim 6'193\dots N
\]
\end{Large}


\hrulefill

\

\underline{Objetivo}: \qquad $\displaystyle{\sum_{n\le N}\sum_{m\le M}r(n+m\sqrt{k})}$

\

Rango de $N$ $\rightarrow$ largo\qquad Rango de $M$ $\rightarrow$ corto

\newpage\begin{center}
\fbox{\textbf{\fbox{$\phantom{\frac12}$
3. Aparece el grupo modular
$\phantom{\frac12}$}}}
\end{center}

\

$\mathbb{H}=$\; semiplano superior

Métrica: $ds^2=y^{-2}(dx^2+dy^2)$

Distancia: $\rho(z,w)=\text{arc cosh}(1+u(z,w))$

\qquad\ \qquad\ \  con $u(z,w)=\dfrac{|z-w|^2}{4\text{Im}\;z\;\text{Im}\;w}$

\

Isometrías de $\mathbb{H}$
\[
\gamma=
\begin{pmatrix}
a&b
\\
c&d
\end{pmatrix}
\in\text{SL}_2(\Z),\qquad ad-bc=1.
\]

\

$u(\gamma z, i)$ $\rightarrow$ Forma cuadrática

\[
u\big(\gamma\frac{i}{\sqrt{k}},i\big)+2=
\frac{a^2+kb^2+c^2+kd^2}{\sqrt{k}}
\]

\

\

Entonces:
\[
\sum_{n\le N}r(n+2\sqrt{k})=
\qquad\ 
\qquad\ 
\qquad\ 
\qquad\ 
\]
\[
\qquad\ 
\qquad\ 
\#\big\{\gamma\in \text{SL}_2(\Z)\; :\; u\big(\gamma\frac{i}{\sqrt{k}},i\big)+2\le\frac N{\sqrt{k}}\big\}
\]
(Problema del círculo hiperbólico)

\

\newpage

Operadores de Hecke: 

\[
T_m f(z)=\frac{1}{\sqrt{m}}\sum_{ad=m}\sum_{b=1}^d f\bigg(\frac{az+b}d\bigg).
\] 

\begin{eqnarray*}
\text{det}=1\ &\longrightarrow&\ \text{det}=m
\\
r(n+2\sqrt{k})\ &\longrightarrow&\ r(n+2m\sqrt{k})
\end{eqnarray*} 

\hrulefill

\

{\sc Reformulación Modular:}

Sea 
\[
H(X; z,w)=\#\big\{\gamma\in \text{SL}_2(\Z)\; :\; u\big(\gamma z,w\big)+2\le X\big\}.
\]
Estimar
\[
\sum_{n\le N}\sum_{m\le M}r(n+m\sqrt{k})=
\qquad\ 
\qquad\ 
\qquad\ 
\qquad\ 
\]
\[
\qquad\ 
\qquad\ 
\sum_{m\le M/2}
\sqrt{m}T_m\big|_{z=i/\sqrt{k}}H\big(\frac{N}{m\sqrt{k}};z,i\big).
\]

\

\

Promedios de operadores de Hecke aplicados a funciones no holomorfas.


\newpage\begin{center}
\fbox{\textbf{\fbox{
%$\phantom{\frac12}$
4. Teor\'{\i}a espectral de formas modulares
%$\phantom{\frac12}$
}}}
\end{center}

\

\underline{Fourier} $\rightarrow$ Toda función periódica se puede desarro\-llar en serie de senos y cosenos
\[
f(x)=\sum a_n e^{2\pi i nx}.
\]

\

\underline{Maass} $\rightarrow$ Toda función $\text{SL}_2(\Z)$-periódica (automorfa) se puede desarrollar en formas de Maass y series de Eisenstein
\[
f(z)=\sum a_j u_j(z)+\dots
\]
$u_j(z)=u_j(\gamma z)$ (automorfas) 

\noindent $-\Delta u_j=\mu_j u_j$ (autofunciones),
\qquad $\mu_j\sim Cj$

\noindent $T_m u_j=\lambda_j(m) u_j$ (autofunciones)


\

\underline{Fórmula de sumación de Poisson}:
\[
\sum_n f(|n+x-y|)=\sum_m \widetilde{f}(m)e^{2\pi i mx}e^{-2\pi i my}
\]

\

\underline{Fórmula de pretraza}:
\[
\sum_{\gamma}f\big(u(\gamma z,w)\big)=
\sum_j \widetilde{f}(\mu_j)u_j(z)\overline{u_j(w)}.
\]


\newpage\begin{center}
\fbox{\textbf{\fbox{$\phantom{\frac12}$
5. Desarrollo espectral
$\phantom{\frac12}$}}}
\end{center}

\

\[
u_0=\text{cte}\ \Rightarrow\ 
T_mu_0=\frac{\sigma(m)}{\sqrt{m}}u_0
\ \rightarrow\ \text{término principal}
\]

$P:=$\;Término principal $\ \rightarrow\ $ promedio de $\sigma(m)$
\[
P=\frac{\pi^2  }{2\sqrt{k}}s(M) NM,\qquad
s(M)\approx 1\text{ \ (si $M$  grande)}
\]

\

$u_j$, $j\ne 0$ oscilatorias 
 $\ \rightarrow\ $ $E:=$\;Término de error.

\[
\sum_{n\le N}\sum_{m\le M}r(n+m\sqrt{k})=P+E
\]

\

\

Esencialmente

\

\begin{eqnarray*}
E&=&\sum_{\sqrt{\mu_j}<\Delta^{-1}}
u_j(i/\sqrt{k})\overline{u_j(i)}
\sum_{m\le M/2}
\lambda_j(m)g_j(m)
\\
&+&O(NM\Delta)
\end{eqnarray*} 

$\Delta$ muy pequeño $\Rightarrow$ suma muy larga

$\Delta$ grande $\Rightarrow$ error $NM\Delta$ grande





\newpage\begin{center}
\fbox{\textbf{\fbox{$\phantom{\frac12}$
6. Dos conjeturas
$\phantom{\frac12}$}}}
\end{center}

\

$g_j(m)$  se comporta como $\mu_j^{-3/4}(NM)^{1/2}m^{-1/2-i\sqrt{\mu_j}}$.

$\lambda_j(m)$ y $u_j(z)$ oscilan de forma poco conocida.

\

\underline{\sc Conjetura 1}:
Las autofunciones $u_j$ no presentan picos grandes.
\[
|u_j(z)|=O(\mu_j^\epsilon)\qquad\forall\; \epsilon>0.
\]

\

Mejor resultado puntual: 
$|u_j(z)|=O(\mu_j^{5/24+\epsilon})$ (Iwa\-niec, Sarnak).

\

\underline{\sc Conjetura 2}:
La función $L(s)=\sum \lambda_j(m)m^{-s}$ es pequeña en la línea crítica.

\

Deligne $\rightarrow$ cota óptima para $\lambda_j(m)$ en el caso holomorfo.

Conjetura de Ramanujan-Petersson en el caso no holomorfo: $|\lambda_j(n)|\le d(n)$. 

Mejor resultado puntual: $|\lambda_j(n)|\le d(n)n^{7/64}$ (Kim, Sarnak).


\newpage\begin{center}
\fbox{\textbf{\fbox{$\phantom{\frac12}$
8. Resultados condicionales
$\phantom{\frac12}$}}}
\end{center}

\

Conjeturalmente
\[
\sum_{\sqrt{\mu_j}<\Delta^{-1}}
u_j(i/\sqrt{k})\overline{u_j(i)}
\sum_{m\le M/2}
\lambda_j(m)g_j(m)
\]
\[
\qquad\downarrow\qquad\ \qquad\swarrow\qquad\ \qquad\ \qquad\ 
\]
\[
\qquad\sum_{\sqrt{\mu_j}<\Delta^{-1}}
\kern-3pt 
1\cdot 1\cdot 
\mu_j^{-3/4}(NM)^{1/2}=
O\big((NM)^{1/2}\Delta^{-1/2}\big)
\]

\


\[
E=O\big((NM)^{1/2}\Delta^{-1/2}+NM\Delta\big)
\]

Elección óptima: $\Delta=(NM)^{-1/3}$



\

{\bf Teorema:} Bajo la conjetura 2 se tiene
\[
E=O(N^{2/3}M^{2/3})\qquad\text{para }\ N>M^2.
\]

\

{\bf Teorema:} Bajo una forma débil de la conjetura 1 se tiene
\[
E=O(N^{2/3}M^{2/3})\qquad\text{para }\ N>M^{2'25}.
\]

\newpage\begin{center}
\fbox{\textbf{\fbox{$\phantom{\frac12}$
9. Resultados incondicionales
$\phantom{\frac12}$}}}
\end{center}

\

Resultados en media $\rightarrow$ Una autofunción (o una función $L$) podría ser grande, pero no la mayoría de ellas.

\[
\frac1{\#\{j\;:\;\mu_j<N\}}
\sum_{\mu_j<N}|u_j(z)|^n=O(N^\epsilon)\quad\forall\epsilon>0
\]
Conocido para $n=2$, desconocido para  $n>2$. 

\


Cota puntual para $u_j$ $+$ resultados en media para $u_j$ $+$ resultados en media para funciones $L$ $\Rightarrow$


\

{\bf Teorema:} Si $N>M^{6'5}$
\[
E=O(N^{\alpha}M^{\alpha})\qquad\forall\alpha>\frac{29}{41}=0'7073\dots
\]

\end{LARGE}
\end{document}
