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%SETS OF NUMBERS
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\begin{document}
\title{\bf Un siglo de sumas trigonom\'{e}tricas en teor\'{\i}a de n\'{u}meros}
\author{Fernando Chamizo}
\date{5 de mayo de 2005}
\maketitle

\section{Introducci\'{o}n}
Se pueden dar numerosos ejemplos, no todos anal\'{\i}ticos, de la
importancia de las sumas de senos y cosenos en teor\'{\i}a de n\'{u}meros.
He aqu\'{\i} dos de ellos que se derivan r\'{a}pidamente del
an\'{a}lisis de Fourier:

\


1) Para estudiar el promedio de $r(n)$, el n\'{u}mero de
representaciones como suma de dos cuadrados, se tiene
\begin{equation}
\sum_{n=0}^N r(n)=
\sum_{\vec{n}\in\mathbb{Z}^2}
\phi_N(\vec{n})=
\pi N+\sum_{\vec{n}\ne\vec{0}}
\widehat{\phi_N}(\vec{n})
\label{pcirc}
\end{equation}
donde $\phi_N$ es la funci\'{o}n caracter\'{\i}stica del c\'{\i}rculo
de radio ${\sqrt{N}}$, y se ha aplicado la f\'{o}rmula de sumaci\'{o}n de
Poisson. Es bien conocido que $\widehat{\phi_N}$ es una
funci\'{o}n de Bessel que oscila como una funci\'{o}n trigonom\'{e}trica,
\[
\widehat{\phi_N}(\vec{\xi})=
N^{1/4}\sqrt{\frac2{\pi}}
\frac{\cos(2\pi|\xi|\sqrt{N}-3\pi/4)}{|\xi|^{3/2}}
+O\big(N^{-1/4}|\xi|^{-5/2}\big).
\]

2) Para estudiar el promedio de $d(n)$, el n\'{u}mero de
divisores, deber\'{\i}amos considerar
\begin{equation}
\sum_{n=1}^N d(n)=\sum_{a=1}^N\sum_{b\le N/a} 1=
\sum_{a=1}^N\big(N/a-\text{Frac}(N/a)\big).
\label{pdivi}
\end{equation}
Y se puede sustituir el desarrollo de Fourier
\begin{equation}
\text{Frac}(x)=\frac12 +\frac1{\pi}
\sum_{m=1}^\infty
\frac{\sen(2\pi mx)}{m}.
\label{pfrac}
\end{equation}

En ambos casos hay dificultades que superar inicialmente,
relacionadas con los problemas de convergencia causados por la
baja regularidad. Por ejemplo, \refe{pcirc} y \refe{pfrac} no son
estrictamente igualdades si $\sqrt{N}$ o $x$ son enteros, y la
baja velocidad de convergencia de las series provoca que no sean
\'{u}tiles de esta forma. Sin embargo, una vez vencidas estas
dificultades hay una equivalencia con un problema de
acotaci\'{o}n de sumas trigonom\'{e}tricas.

Los m\'{e}todos  con este
prop\'{o}sito se han desarrollado y perfeccionado durante casi cien
a\~{n}os. Para el no iniciado, muchos trabajos de investigaci\'{o}n que
los emplean se muestran incomprensibles por el apabullante
despliegue t\'{e}cnico. Por ejemplo, el trabajo m\'{a}s reciente de M.N.
Huxley \cite{Hux} requiere  muchas p\'{a}ginas de estimaciones para
probar que la contribuci\'{o}n de la \'{u}ltima serie en \refe{pcirc} es
$O(N^{131/416}(\log N)^{2.26})$,
lo cual es descorazonador teniendo en
cuenta  $1/3$ es el
llamado \lq\lq exponente trivial''.

\

Una notaci\'{o}n habitual que se emplear\'{a} en lo sucesivo es $e(x)$
como abreviatura de $e^{2\pi ix}=\cos(2\pi x)+i\sen(2\pi x)$. Las
sumas consideradas ser\'{a}n fundamentalmente de la forma
\[
S=\sum_{n\le N} e(f(n))
\]
para cierta funci\'{o}n regular $f$.
Se emplear\'{a} tambi\'{e}n, la notaci\'{o}n \lq\lq $\ll$'' como equivalente
a la  \lq\lq $O$'' de Landau, esto es, menor salvo una constante
(no siempre absoluta).

\section{El m\'{e}todo de Weyl}

En 1916 Weyl \cite{Wey} abord\'{o} el problema de la equidistribuci\'{o}n
de ciertas sucesiones $\{a_n\}$ en $[0,1]$. La equidistribuci\'{o}n
significa que
\[
\lim_{N\to\infty}
\frac{f(a_1)+f(a_2)+\dots +f(a_N)}N
=\int_0^1f
\]
para cualquier $f$ regular. Gracias al an\'{a}lisis de Fourier, es
suficiente considerar el caso $f(x)=e(mx)$ con $m\in\Z^+$. Weyl
se interes\'{o} por la sucesi\'{o}n $a_n=\text{Frac}\big(P(n)\big)$ donde $P(n)$
es un polinomio cuyo coeficiente principal es irracional.
Para simplificar, t\'{o}mese $P(n)=\alpha n^k$, $\alpha\not\in\Q$.

La equidistribuci\'{o}n, por tanto, en este caso equivale a probar
\[
S:=\sum_{n\le N}e(\alpha n^k)=o(N)
\]
donde no se exige la uniformidad de la cota en $m$ (de hecho no es
posible que se cumpla).

La clave del m\'{e}todo de Weyl es que desarrollando el cuadrado
del m\'{o}dulo de $S$, se pasa a una suma que tiene como fase
(argumento de las exponenciales) los incrementos de las fases
iniciales. No hay que minusvalorar esta idea tan simple. El gran
\'{e}xito de las exponenciales complejas frente a otros posibles
arm\'{o}nicos es que s\'{o}lo para ellas se conoce este truco para
manipular las frecuencias.

\

En el caso $k=2$, $m=1$, se tiene
\begin{eqnarray*}
|S|^2&=&
\sum_{-N<r\le N}\sum_{-r<n\le N-r}
e\big(\alpha((n+r)^2-n^2)\big)
\le
\sum_{-N<r\le N}\bigg|\sum_{-r<n\le N-r}
e(2\alpha nr)\bigg|
\\
&\ll&
N+\sum_{r\le N}\min\big(N,|\csc(2\pi\alpha r)|\big).
\end{eqnarray*}
Si $\alpha$ fuera racional, $\alpha=a/q$, la contribuci\'{o}n de la
suma estar\'{\i}a acotada por $N+q+q/2+q/3+\dots +(q-1)/q$ repetido
$O(N/q+1)$ veces; es decir,
$O(N^2q^{-1}+(N+q)\log q)$.

Por el teorema de Dirichlet de aproximaci\'{o}n diof\'{a}ntica, para cada
$\alpha\not\in\Q$ existen infinitos $a/q$ irreducibles con
$|\alpha-a/q|<q^{-2}$. Una variaci\'{o}n de $\alpha$ de orden $q^{-2}$
no puede causar grandes cambios en la estimaci\'{o}n anterior porque
$\|2\alpha r\|^{-1}$ no llega a oscilar en cada bloque de longitud
$O(q)$. Por tanto se concluye,
\[
|\alpha-a/q|<q^{-2}
\ \Rightarrow\
S\ll Nq^{-1/2}+(N^{1/2}+q^{1/2})\log^{1/2}q.
\]
De aqu\'{\i}
\[
\limsup_{N\to\infty}\frac{|S|}{N}\le q^{-1/2},
\]
y como $q$ es arbitrariamente grande, $|S|=o(N)$ y
$a_n=\text{Frac}(\alpha n^2)$ est\'{a} equidistribuida.

\

Al tratar el caso de grado tres, desarrollando
$|S|^2$, $(n+r)^3-n^3$ lleva a un polinomio de segundo grado y
una aplicaci\'{o}n de la desigualdad de Cauchy-Schwarz permite enlazar
con los razonamientos anteriores. En general, un polinomio de
grado $k$ requiere $k-2$ aplicaciones de la desigualdad de Cauchy-Schwarz
antes de llegar a un polinomio de segundo grado que necesita un
cuadrado m\'{a}s. El resultado que se puede obtener de esta manera es:

\begin{theo}
\label{dweyl}
Sea $P$ un polinomio de grado $k$ con coeficiente principal
$\alpha\in\R$ tal que $|\alpha-a/q|<q^{-2}$ para cierta fracci\'{o}n
irreducible $a/q$; entonces
\[
\sum_{n\le N}
e\big(P(n)\big)
\ll N^{1+\epsilon} (q^{-1}+N^{-1}+qN^{-k})^{2^{1-k}}
\]
para todo $\epsilon>0$.
\end{theo}

Este resultado est\'{a} lejos de ser \'{o}ptimo, sobre todo cuando $k$ es
moderadamente grande; en ese caso el m\'{e}todo de Vinogradov es m\'{a}s
poderoso.
Hay mejoras para exponentes bajos en \cite{Hea}.


Es posible generalizar el m\'{e}todo para tratar sumas $\sum e(f(n))$
con $f$ bajo ciertas condiciones de regularidad. Para ello se
aplica esencialmente el Teorema~\ref{dweyl} despu\'{e}s de aproximar
$f$ por uno de sus polinomio de Taylor y tratando el error
mediante sumaci\'{o}n por partes. En cualquier caso, el m\'{e}todo de van
der Corput se muestra m\'{a}s vers\'{a}til.


\section{El m\'{e}todo de van der Corput}

En 1921 J.G. van der Corput \cite{Cor} dise\~{n}\'{o} un nuevo m\'{e}todo
para estimar sumas trigonom\'{e}tricas que m\'{a}s adelante, en manos de E. Phillips, dio lugar a la teor\'{\i}a de pares de exponentes. En comparaci\'{o}n con los m\'{e}todos de Weyl y de Vinogradov tiene una flexibilidad mayor y no da preponderancia a las fases polin\'{o}micas. Desde el punto de vista actual se puede considerar, en pocas palabras, como la combinaci\'{o}n de una variante del m\'{e}todo de Weyl con la f\'{o}rmula de sumaci\'{o}n de Poisson. Esta \'{u}ltima lleva a estimar algunas integrales. No es dif\'{\i}cil desarrollar alguna intuici\'{o}n al respecto mediante aproximaciones lineales o cuadr\'{a}ticas de las fases.

\

La onda $g(t)=e(\nu t)$ tiene frecuencia $\nu$ porque oscila $\nu$ veces por cada unidad de tiempo $t$. De igual forma,
a la onda \lq\lq anarm\'{o}nica'' $e(f(t))$ en cada instante $t$ se
le debe asociar la frecuencia $f'(t)$, y realmente habr\'{\i}a
$f'(t)$ oscilaciones en una unidad de tiempo si $f'$ no variase
demasiado. Pudiera ser que $f'(t)$ se anulase para $t=t_0$, lo que significa que la onda no oscila cerca de $t_0$, se parecer\'{\i}a a $e\big(f(t_0)+f''(t_0)(t-t_0)^2/2\big)$.

Se cumple
\[
\bigg|\int_a^be(mt)\; dt\bigg|\le \frac{1}{\pi m}
\quad\text{ y }\quad
\int_{-\infty}^\infty
e(A+\frac B2t^2)\; dt=
\frac{e(A+1/8)}{\sqrt{B}}\quad
\text{si $B>0$.}
\]
Por la analog\'{\i}a anterior se pueden probar f\'{o}rmulas similares para $e(f(t))$. Por ejemplo, se tiene el lema de van der Corput: Si $f\in C^1([a,b])$ es convexa,
\begin{equation}
\bigg|\int_a^be(f(t))\; dt\bigg|\le \frac{1}{\pi f'(a)}.
\label{evdcor}
\end{equation}
Por otra parte, si $f\in C^4([a,b])$ es convexa y alcanza un punto cr\'{\i}tico en $x_0$, entonces
\begin{equation}
\int_a^be(f(t))\; dt
=\frac{e(f(t_0)+1/8)}{\sqrt{f''(t_0)}}+\text{\tt error}
\label{efesta}
\end{equation}
donde el error est\'{a} controlado si las derivadas tercera y cuarta de $f$ se comportan razonablemente bien. La convexidad no es esencial (conjugando se pasa al caso c\'{o}ncavo) pero s\'{\i} un signo en la derivada segunda.

Se pueden obtener resultados m\'{a}s finos si se introducen regularizaciones con funciones de
soporte compacto (el an\'{a}logo regular de \refe{efesta} es
lo que se llama \textit{lema de fase estacionaria}).
En la mayor\'{\i}a de las aplicaciones tales regularizaciones se pueden suponer mediante particiones de la unidad, no obstante la teor\'{\i}a se suele plantear sin ellas.

\

Si formalmente se aplica la f\'{o}rmula de sumaci\'{o}n de Poisson a $\sum e(f(n))$ se llega a integrales de la forma $\int e(f(t)-mt)\; dt$ que gracias a \refe{evdcor} son peque\~{n}as si $m$ est\'{a} separado de la imagen de $f'$. Este argumento no es aplicable literalmente por la falta de convergencia (n\'{o}tese que \refe{evdcor} llevar\'{\i}a a $\sum m^{-1}$) pero las dificultades t\'{e}cnicas se pueden rodear y llegar a que para cualquier funci\'{o}n $f\in C^1$ convexa  con $\alpha=f'(a)$ y $\beta=f'(b)$ se verifica
\begin{equation}
\sum_{a\le n\le b}
e(f(n))=
\sum_{\alpha-1<m<\beta+1}
\int_a^be(f(t)-mt)\; dt+ O\big(\log (2+\beta-\alpha)\big).
\label{poidis}
\end{equation}
Las integrales que han subsistido no pueden tratarse con \refe{evdcor} porque $f(t)-mt$ puede tener puntos estacionarios, pero \'{e}ste es el terreno en el que \refe{efesta} es efectivo. Con cierto control sobre cuatro derivadas se llega a

\

{\sc Proceso B.\ }{\sl
\[
\sum_{a\le n\le b}
e(f(n))=
\sum_{\alpha-1<m<\beta+1}
\frac{e(f(x_m)-mx_m+1/8)}{\sqrt{f''(x_m)}} +\text{\tt error}
\]
donde $x_m$ es el punto cr\'{\i}tico de $f(t)-mt$ en $[a,b]$.}

\

Un corolario que puede probarse independientemente, y de ah\'{\i} que requiera condiciones menos fuertes es:

\begin{theo}
\label{vdcsim}
Sea $f\in C^2([a,b])$ convexa con $b-a=N\in\Z^+$ y $\lambda_2\ll f''\ll \lambda_2$, entonces
\[
\sum_{a\le n\le b}e(f(n))\ll N\lambda_2^{1/2}+\lambda_2^{-1/2}.
\]
\end{theo}

N\'{o}tese que $(f'(b)-f'(a)+1)\lambda_2^{-1/2}\ll (\lambda_2N+1)\lambda_2^{-1/2}$.

El Proceso B se combina con una variante m\'{a}s \'{u}til del argumento
usado en el m\'{e}todo de Weyl: en vez de elevar al cuadrado directamente, se agrupan los t\'{e}rminos en bloques de cierta longitud $H$ y as\'{\i} con la desigualdad de Cauchy-Schwarz s\'{o}lo aparecer\'{a}n incrementos de t\'{e}rminos pr\'{o}ximos, que son m\'{a}s f\'{a}ciles de controlar.
Concretamente, se usa
\[
|S|=\big|\sum_{a\le n\le b}e(f(n))\big|=\big|\frac 1H \sum_{n}\sum_{m\in
I_n}e(f(m+n))\big|\le \frac 1H\sum_{a-H\le n\le b-1}\big|\sum_{m\in
I_n}e(f(m+n))\big|
\]
con $I_n=[1,H]\cap [a-n,b-n]\cap \Z$. Y al aplicar Cauchy-Schwarz y separar los t\'{e}rminos diagonales se sigue
\[
\big|\sum_{a\le n\le b}e(f(n))\big|^2\ll
\frac{N^2}{H}+\frac{N}{H}
\sum_{1\le r<H}\big|\sum_{a\le n\le b-r}e(f(n+r)-f(n))\big|
\]
donde $N=b-a$.

\'{E}ste es el llamado Proceso A. Siguiendo \cite{Mon} es posible aislar
lo que realmente se emplea en el m\'{e}todo de van der Corput de la
siguiente forma:

\

{\sc Proceso A.\ }{\sl
Sea $f_r(n)=f(n+r)-f(n)$ y sean $H\le b-a=N$, $H,N\in \Z^+$; entonces
\[
\sum_{r=1}^H\bigg|
\sum_{a\le n\le b-r}
e(f_r(n))\bigg|\le N\ \Rightarrow\
\sum_{a\le n\le b}
e(f(n))\ll H^{-1/2}N.
\]}





\subsection{La teor\'{\i}a de pares de exponentes}

Los procesos A y B pueden aplicarse de manera repetida para mejorar estimaciones. Para traducir esto en un teorema general, es necesario precisar el tamaño de todas las derivadas. La teoría de pares de exponentes se restringe a aquellas funciones tales que tanto ellas como sus inversas cumplan que la derivada $k+1$-\'{e}sima sea como la $k$-\'{e}sima
divida por la longitud del intervalo donde est\'{a}n definidas (esto viene sugerido por el teorema del valor medio). 
Por ejemplo, la teoría de pares de exponentes se aplica a $f(x)=\lambda/x$  definida sobre cualquier intervalo diádico. 

Dada una función en las condiciones anteriores, se denomina $D$ al tamaño de la derivada y $N$ a la longitud del intervalo donde está definida (de forma que $f^{k)}$ es comparable a $D/N^{k-1}$). La dificultad para estimar la suma $\sum_n e(f(n))$ es que tenga muchos términos ($N$ grande)  o que oscile mucho ($D$ grande). Se supondrá $D>1$, porque en otro caso  \refe{poidis} es suficiente. Cabe esperar que las acotaciones dependan, por tanto,  de potencias de $D$ y $N$. Se dice que $(p,q)$ es un \textit{par de exponentes} si se cumple la acotación
\[
\sum_n e(f(n))\ll D^pN^q
\]
para las funciones de la clase antes considerada.

\

Ahora es posible traducir de manera elegante los procesos antes mencionados.

Si $(p,q)$ es un par de exponentes, con la notación del Proceso A
\[
\sum_{r\le H}\bigg|
\sum_{n}
e(f_r(n))\bigg|\le H(HD/N)^pN^q
\]
que coincide con $N$ para $H=D^{-p/(p+1)}N^{(1+p-q)/(p+1)}$, y por tanto el Proceso A se puede interpretar como:

\begin{center}
\fbox{
$(p,q)$ par de exponentes $\Rightarrow$ $A(p,q)=\big(\dfrac{p}{2p+2}, \dfrac{p+q+1}{2p+2}\big)$ par de exponentes 
}
\end{center}

Por otra parte, el Proceso B permite pasar de una suma trigonométrica a otra \lq\lq dual'' donde el número de términos es comparable a $D$. Un cálculo prueba que si $g$ es la función inversa de $f'$, entonces la derivada de $f(g(t))-tg(t)$ es $-g$; por consiguiente la derivada de las fases en el Proceso B es comparable a $N$. En definitiva, en la suma dual $D$ y $N$ intercambian sus papeles. Dado un par de exponentes $(p,q)$, después de sacar el factor $(f'')^{-1/2}$ sumando por partes, se obtiene que el segundo miembro está acotado por $(D/N)^{-1/2}N^pD^q$, lo que permite escribir el Proceso B como:

\begin{center}
\fbox{
$(p,q)$ par de exponentes $\Rightarrow$ $B(p,q)=\big(q-\dfrac{1}{2}, p+\dfrac{1}{2}\big)$ par de exponentes 
}
\end{center}


Iterando las funciones $A$ y $B$ se pueden crear infinitos pares de exponentes a partir del trivial $(0,1)$. Por ejemplo $B(0,1)=(1/2,1/2)$, que es esencialmente 
el Teorema~\ref{vdcsim}, $AB(0,1)=(1/6,2/3)$, $BA^2B(0,1)=(2/7,4/7)$.

\

Como ejemplo de la versatilidad del método de pares de exponentes, considé\-rese~\refe{pdivi}. En principio el estudio del error (la parte oscilatoria) en la aproximación asintótica de $\sum d(n)$ lleva al estudio de sumas del tipo
\[
\sum_{m=1}^\infty\sum_{a\le N}
\frac{\sen(2\pi mN/a)}{m},
\]
pero la simetría entre $a$ y $b$ permite suponer $a\le b\le N/a$ y pasar a una suma más corta en la que $a$ sólo llega hasta $\sqrt{N}$. Por otro lado, al truncar la serie \refe{pfrac} hasta $M$, el error \lq\lq típico'' cometido es $M^{-1}$, con lo que el término de error depende de 
\[
E=\sum_{m\le M}\frac 1m\big|\sum_n e(mN/n)\big| +M^{-1}N^{1/2}
\]
donde
$n$ recorre algún subintervalo de $[1,\sqrt{N}]$. Si $(p,q)$ es un par de exponentes (con $1-p+q/2>0$)
\[
E\ll \big(MN/(\sqrt{N})^2\big)^p(\sqrt{N})^q+M^{-1}N^{1/2}
\ll M^pN^{q/2}+M^{-1}N^{1/2},
\]
que eligiendo $M=N^{(1-q)/(2p+2)}$ produce 
\[
E\ll N^{(p+q)/(2p+2)}.
\]
El par trivial $(0,1)$ da lugar a  $E\ll N^{1/2}$, que se sigue de argumentos geométricos, y $(p,q)=(1/2,1/2)$ prueba $E\ll N^{1/3}$, que es el exponente \lq\lq trivial'' aplicando análisis armónico (fórmula de sumación de Poisson). Empleando $
BA^3B(0,1)=(11/30,8/15)$ se consigue $E\ll N^{27/82}$. Existe un algoritmo debido a S.W. Graham \cite{GrKo} para calcular pares de exponentes óptimos. En este caso, prueba que no es posible llegar muy lejos, porque el límite de lo que se puede obtener es $E\ll N^{0.329021\dots}$, mientras que $27/82=0.329268\dots$; en definitiva, se recortan poco más de cuatro milésimas a $1/3$.



\


La intuición probabilista sugiere que si verdaderamente hay oscilación ($D>1$) los sumandos $e(f(n))$ deberían comportarse esencialmente como variables aleatorias independientes y cabe esperar una cancelación como la raíz cuadrada del número de términos. Precisamente, se conjetura que $(\epsilon, 1/2+\epsilon)$ es un par de exponentes para cualquier $\epsilon>0$, lo que probaría varias conjeturas en teoría de números (hay ejemplos que muestran que $\epsilon$ no se puede suprimir).

Otras conjeturas están relacionadas con la estimación de sumas multidimensionales. No se ha conseguido crear una teoría completa de pares de exponentes ni siquiera en el caso bidimensional \cite{GrKo}, \cite{Kol}. La razón  es que el proceso A lleva a considerar incrementos del tipo $f(m+r_1,n+r_2)-f(m,n)$ que pueden no dar lugar a una función \lq\lq convexa'' (el hessiano se podría anular), lo que impide la aplicación del Proceso B. Los métodos multidimensionales nacieron para funciones concretas \cite{Tit}, pero incluso para ellas este problema  es inevitable. La conjetura natural, no obstante, es que en una suma en dos variables se pueda conseguir simultáneamente cancelación en ambas duplicando el poder de los métodos unidimensionales. Es decir,  si $(p,q)$ es un par de exponentes, se espera que
\[
\sum_m\sum_ne(f(m,n))\ll D_1^pM^q\cdot D_2^pN^q
\]
donde $D_1$ y $D_2$ miden el tamaño de las derivadas parciales.



\section{El m\'{e}todo de Vinogradov}

La mayor parte de la actividad matem\'{a}tica de I.M. Vinogradov
est\'{a} relacionada con la estimaci\'{o}n de sumas trigonom\'{e}tricas, por
ello no es de extra\~{n}ar que lo que se llama hoy m\'{e}todo de
Vinogradov haya sufrido una evoluci\'{o}n desde sus primeros art\'{\i}culos
al respecto en 1935 \cite{Vin}. En todas las variantes uno debe
acotar integrales del tipo
\[
J_{l,k}(N,\vec{\lambda})=
\int_0^1\cdots\int_0^1
\bigg|\sum_{n\le N}e(\beta_1n+\beta_2n^2+\dots+\beta_kn^k)\bigg|
e(\vec{\beta}\cdot \vec{\lambda})
\; d\beta_1\cdots d\beta_k
\]
con $\vec{\lambda}\in\Z^k$, que representan el n\'{u}mero de
soluciones enteras de
\begin{equation}
\begin{cases}
n_1+\dots+n_l-(n_{l+1}+\dots+n_{2l})=\lambda_1&
\\
n_1^2+\dots+n_l^2-(n_{l+1}^2+\dots+n_{2l}^2)=\lambda_2&
\\
\dots \quad\dots \quad\dots \quad\dots \quad\dots \quad
\\
n_1^k+\dots+n_l^k-(n_{l+1}^k+\dots+n_{2l}^k)=\lambda_k&
\end{cases}
\label{sdiof}
\end{equation}
con $1\le n_j\le N$.

Se suele abreviar $J_{l,k}(N,\vec{0})$ por $J_{l,k}(N)$. La
representaci\'{o}n integral implica inmediatamente
\begin{equation}
J_{l,k}(N,\vec{\lambda})\le J_{l,k}(N)
\label{chomo}
\end{equation}
lo cual no parece en absoluto evidente usando \ref{sdiof}.

\

Al igual que el m\'{e}todo de Weyl, el de Vinogradov originalmente
estaba dise\~{n}ado para fases polin\'{o}micas, pero se extiende a otras
funciones con un argumento de aproximaci\'{o}n. Es posible dar una
interpretaci\'{o}n \lq\lq moderna'' del m\'{e}todo en pocas palabras: En
la suma $\sum e(\alpha n^k)$ las frecuencias $n^k$ no tienen un
comportamiento uniforme, presentan grandes saltos. Elevando a una
potencia grande, se consigue la uniformidad a costa de pagar con
un coeficiente que depende del n\'{u}mero de representaciones como
suma de $k$-potencias. Vinogradov orden\'{o} los c\'{a}lculos de modo que
aparecieran muchas de estas sumas, y entonces la idea de la gran
criba se aplica, permitiendo extraer cancelaci\'{o}n controlando la
independencia de estas sumas y el tama\~{n}o de los coeficientes.

\

Una descripci\'{o}n m\'{a}s precisa es la siguiente:

Sea $S=\sum_{n\le N} e(P(n))$ con $P(n)=\alpha_kn^k+\alpha_1n$ la
suma que se desea acotar, y sean $\beta_j(m)$ definidos mediante
\[
P(n+m)-P(m)=\beta_k(m)n^k+\beta_{k-1}(m)n^{k-1}+\dots
+\beta_1(m)n.
\]
En particular $\beta_k(m)=\alpha_k$ y $\beta_{k-1}(m)=k\alpha_km
+\alpha_{k-1}$.  La creaci\'{o}n de una suma doble se consigue
repitiendo y desplazando la suma original
\[
|S|\ll \frac 1M
\sum_{m\le M}\bigg|\sum_{n\le N}e(P(n+m))\bigg|+M
=\frac 1M
\sum_{m\le M}\bigg|\sum_{n\le N}e(P(n+m)-P(m))\bigg|+M.
\]
Con la desigualdad de H\"{o}lder con exponente $2l$ se llega a
\[
\sum_{m\le M}\bigg|\sum_{n\le N}\bigg|^{2l}
=\sum_{m\le M}\sum_{\lambda_1,\dots,\lambda_k}
J_{l,k}(N,\vec{\lambda})
e\big(\beta_k(m)\lambda_k+\beta_{k-1}(m)\lambda_{k-1}+\dots
+\beta_1(m)\lambda_1\big).
\]
El t\'{e}rmino $\beta_k(m)\lambda_k$ realmente no var\'{\i}a con $m$, y si
$\vec{\lambda}_*$ es como
$\vec{\lambda}$ pero sin la \'{u}ltima coordenada, se tiene
\[
\bigg|
\sum_{\lambda_k}
J_{l,k}(N,\vec{\lambda})e(\beta_k(m)\lambda_k)
\bigg|
\le
\sum_{\lambda_k}
J_{l,k}(N,\vec{\lambda})
=
J_{l,k-1}(N,\vec{\lambda}_*).
\]
Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz y \refe{chomo}, todo se
reduce a acotar $J_{l,k-1}(N)$ y la suma
\[
\sum_{\lambda_1,\dots,\lambda_{k-1}}
\bigg|
\sum_{m\le M}
e\big(\beta_{k-1}(m)\lambda_{k-1}+\dots
+\beta_1(m)\lambda_1\big)
\bigg|^2
\]
que una vez abierto el cuadrado conduce a sumas con fases lineales
en los $\lambda_j$, lo que lleva a tener  alg\'{u}n control sobre
las propiedades de
aproximaci\'{o}n diof\'{a}ntica de los coeficientes de $P$ (t\'{\i}picamente
s\'{o}lo del principal).

\

En las exposiciones habituales, al transformar este argumento en
una cota expl\'{\i}cita para $S$ en t\'{e}rminos de  $J_{l,k-1}(N)$ se
especifican ciertos rangos. En \cite{Mon} hay una acotaci\'{o}n sin
hip\'{o}tesis adicionales.

\begin{theo}
Sea $P(n)=\alpha_kn^k+\dots +\alpha_1 n$ con $\alpha_k-a/q|<q^{-2}$
para cierta fracci\'{o}n irreducible $a/q$, entonces para cada
$l\in\Z^+$,
\[
\sum_{n\le N} e(P(n))
\ll
(kl^k)^{\frac 1{2l}}
N
\left(
\frac{J_{l,k-1}(3N)}{N^{2l-k(k-1)/2}}
\right)^{\frac 1{2l}}
\big(
\frac 1q+\frac{\log q}N+\frac{q\log q}{N^k}
\big)^{\frac 1{2l}}.
\]
\end{theo}

El teorema del valor medio de Vinogradov permite mantener bajo
control la fracci\'{o}n  que contiene a $J_{l,k-1}(3N)$ cuando $l\gg
k^2\log k$, por tanto, comparando con el Teorema~\ref{dweyl} se
tiene que el exponente $2^{1-k}$ se puede reemplazar por
$C/(k^2\log k)$. Es decir, el exponente que indica el \lq\lq
ahorro'' frente a la estimaci\'{o}n trivial, pasa de tener decaimiento
exponencial a potencial en el grado. La gran diferencia, por
consiguiente, es notoria cuando $k$ y $l$ son grandes y por tanto
la ganancia en el exponente de $N$ es necesariamente peque\~{n}a. Por
ello, cuando se aplica a fases m\'{a}s generales que los polinomios,
la ventaja es apreciable s\'{o}lo en los casos en los que importa mucho
la dependencia en las derivadas (relacionadas con la posible
elecci\'{o}n de $q$). Por ejemplo, al hallar regiones libres de ceros
hay que enfrentarse a sumas parciales de $\zeta$ del tipo
\[
\sum_{n\le t}\frac 1{n^{1+it}}=
\sum_{n\le t}
\frac 1n\; e\big(-\frac{t}{2\pi}\log n),
\qquad t>2.
\]
La estimaci\'{o}n trivial es $O(\log t)$. Despu\'{e}s de sumar por partes,
si s\'{o}lo se aplicase un par de exponentes fijado no trivial $(p,q)$,
se llegar\'{\i}a a
\[
\sum_{n\le t }\frac 1{n^2}(t/n)^pn^q
\ll t^p,
\]
que es peor que $O(\log t)$.

Con el m\'{e}todo de Vinogradov se consigue remplazar  $t^p$ por una
funci\'{o}n de creciento menor. Evidentemente tambi\'{e}n el m\'{e}todo de van
der Corput puede conseguir algo parecido tomando una sucesi\'{o}n de
pares de exponentes que tiendan al trivial, pero con el de
Vinogradov se consigue de alguna forma que el decaimiento de $p$ a
cero sea m\'{a}s r\'{a}pido. Con las mejores versiones, se consigue
\begin{equation}
\sum_{n\le N} n^{-it}\ll Nt^{-C(\log N/\log t)^3}
\label{szeta}
\end{equation}
para cierta constante $C>0$ y $N\le t$.
De aqu\'{\i} se puede deducir $\zeta(1+it)=O(\log^{2/3}t)$ y la mejor
regi\'{o}n libre de ceros (sin mejorar desde 1958).


\subsection{El teorema del valor medio de Vinogradov}

Recu\'{e}rdese que para que el m\'{e}todo de Vinogradov sea operativo, se
necesita una acotaci\'{o}n no trivial para $J_{l,k}(N)$, esto es, para
el n\'{u}mero de soluciones de \refe{sdiof} cuando
$\vec{\lambda}=\vec{0}$.

Como hay unas $\big(N^{1/j}\big)^j=N$ formas de elegir un vector
en $[1,N]^j$ formado por $j$-potencias, cada n\'{u}mero deber\'{\i}a tener
un n\'{u}mero esencialmente constante de representaciones de la forma
$n_1^j+n_2^j+\dots +n_j^j$. Esto indicar\'{\i}a que la ecuaci\'{o}n
$j$-\'{e}sima de \refe{sdiof} establece $j$ restricciones (se podr\'{\i}an
recuperar $j$ varibles conociendo las otras $2l-j$). El n\'{u}mero de
variables a escoger libremente ser\'{\i}an, seg\'{u}n esta heur\'{\i}sitca,
\[
\text{todas las variables}-
\sum\text{restricciones}=
2l-\sum_{j=1}^kj=2l-\frac{k(k+1)}2.
\]
Por otra parte, incluso si este n\'{u}mero fuera negativo, se tienen
las soluciones triviales $n_j=n_{j+l}$ que dependen de $l$
variables libres.

Obviamente esto est\'{a} muy lejos de ser  una demostraci\'{o}n pero motiva
la conjetura
\[
J_{l,k}(N)\ll N^{2l-k(k+1)/2+\epsilon}+N^{l+\epsilon}
\]
para todo $\epsilon>0$ y donde la constante \lq\lq $\ll$'' depende
de $\epsilon$, $k$ y $l$.

Sorprendentemente si $k^2/l$ es moderadamente peque\~{n}o, se puede
probar un resultado muy similar a la conjetura.


\begin{theo}[Teorema del valor medio de Vinogradov]
Sean $l,k\in\Z^+$ y $\delta=e^{-l/k^2}$, entonces
\[
J_{l,k}(N)\ll N^{2l-(1-\delta)k(k+1)/2}
\]
donde la constante \lq\lq $\ll$'' depende
de $k$ y $l$.
\end{theo}

\

La manera de probar este resultado es muy ingeniosa. En primer
lugar se estudia el n\'{u}mero de soluciones del sistema de
congruencias
\begin{eqnarray*}
n_1+n_2\dots+n_k&\equiv&\lambda_1\quad (\text{mod }p)
\\
n_1^2+n_2^2\dots+n_k^2&\equiv&\lambda_2\quad (\text{mod }p^2)
\\
\dots\quad\dots\quad\dots\quad& &\dots\quad
\\
n_1^k+n_2^2\dots+n_k^k&\equiv&\lambda_k\quad (\text{mod }p^k)
\end{eqnarray*}
Resulta que este problema \lq\lq local'' es bastante asequible.

Si $p$ es un primo grande,
con ciertos argumentos elementales basados en la representaci\'{o}n
integral, se prueba que todo lo que hay que considerar es
\refe{sdiof} con $\lambda=\vec{0}$ en el caso en que
$n_1,n_2,\dots,n_k$ son incongruentes m\'{o}dulo $p$, $n_{l+1},
n_{l+2},\dots,n_{l+k}$ gozan de la misma propiedad, y el resto de
las varables son congruentes a un mismo n\'{u}mero $r$. Una propiedad
fundamental de \refe{sdiof} con $\lambda=\vec{0}$ es que permanece
invariante por traslaciones $\vec{n}\mapsto \vec{n}+\vec{v}$ si
$\vec{v}$ es un vector entero con todas sus coordenadas iguales.
Con ello se puede suprimir $r$ y llegar a un sistema donde las
ecuaciones son de la forma
\[
\sum_{i=1}^k(n_i^j-n_{l+i}^j)+
p^j
\sum_{i=k+1}^l(n_i^j-n_{l+i}^j)=0.
\]
Por tanto, dados $n_{l+1},n_{l+2},\dots,n_{l+k}$, se sigue que
$n_{1},n_{2},\dots,n_{k}$ son soluciones de un sistema de
congruencias como el antes considerado, y una vez contadas estas
soluciones, se obtiene algo como \refe{sdiof} con otros rangos y
$l-k$ pares de variables. Este proceso establece una f\'{o}rmula que
acota $J_{l,k}$ en t\'{e}rminos de $J_{l-k,k}$. Para enceder la
inducci\'{o}n se emplea $J_{l,k}(N)\le k! N^{2l-k}$ que se sigue
fijando todas las variables de  \refe{sdiof} excepto las $k$
primeras.


\section{El m\'{e}todo de Hardy-Littlewood discreto}

Cuando parec\'{\i}a que las plusmarcas en las acotaciones de las sumas
trigonom\'{e}tricas de muchos problemas cl\'{a}sicos pasaban por dise\~{n}ar
versiones multidimensionales del m\'{e}todo de van der Corput para
funciones particulares, E. Bomberi y H. Iwaniec \cite{BoIw}
asombraron en 1986 a los especialistas con un art\'{\i}culo que conten\'{\i}a
nuevas ideas combinadas con el esp\'{\i}ritu de los m\'{e}todos anteriores.
M\'{a}s tarde, M.N. Huxley y N. Watt \cite{HuWa} generalizaron el
argumento probando que de \'{e}l se deduc\'{\i}a el par de exponentes
$(9/56+\epsilon,37/56+\epsilon)$ para cualquier $\epsilon>0$, que est\'{a}
fuera del alcance de la teor\'{\i}a  de van der
Corput.

En sucesivos trabajos, una variante del m\'{e}todo result\'{o} id\'{o}nea para
tratar problemas de puntos del ret\'{\i}culo bidimensionales. Como se
requiere una divisi\'{o}n de la suma en \lq\lq arcos mayores'' (en los
que $f'$ se aproxima por un racional de denominador peque\~{n}o) y  \lq\lq arcos
menores''(su complementario), se le ha dado en llamar \lq\lq m\'{e}todo de Hardy-Littlewood
discreto".

En realidad, aunque hay ideas b\'{a}sicas comunes, tambi\'{e}n hay grandes
diferencias entre el art\'{\i}culo original (usado para acotar la funci\'{o}n
$\zeta$ en la  l\'{\i}nea cr\'{\i}tica) y la variante empleada en problemas
de puntos del ret\'{\i}culo. En el primero son cruciales las sumas de
Gauss y sus propiedades, mientras que en el segundo no son
relevantes.

\

Las l\'{\i}neas principales en el art\'{\i}culo original son las siguientes:

\

Se comienza como en la variante de van der Corput del m\'{e}todo de
Weyl,
\[
\big|\sum_{a\le n\le b}e(f(n))\big|
\le \frac 1H\sum_{a-H\le n\le b-1}\big|\sum_{m\in
I_n}e(f(m+n))\big|
\]
Si $f'''$ es peque\~{n}a (lo cual se puede suponer porque en otro caso
el par de exponentes que se prueba no ser\'{\i}a \'{u}til) se puede
aproximar $f(x+n)-f(n)$ por su polinomio de Taylor de tercer grado
y entender el t\'{e}rmino c\'{u}bico como una perturbaci\'{o}n. Adem\'{a}s se
busca una fracci\'{o}n $a/c$ que aproxime bien a $f''(n)/2$ y a partir
de ella se halla $b$ tal que $b/c$ aproxime  lo mejor posible a
$f'(n)$. Con todo esto, la sumaci\'{o}n en $n$ pasa a ser en las
fracciones $a/c$, y los t\'{e}rminos de error dependen de la bondad de
la aproximaci\'{o}n (en \'{u}ltimo t\'{e}rmino del tama\~{n}o del denominador).
Despreciando estos errores, hay que estimar sumas de la forma
\begin{equation}
\sum_{a,c}\big|\sum_m e\big(\frac{am^2+bm}{c}+\mu m^3\big)\big|.
\label{sgtres}
\end{equation}

La f\'{o}rmula de sumaci\'{o}n de Poisson en progresiones aritm\'{e}ticas
afirma que
\[
\sum_{m\equiv d\
(\text{mod}\;c)}g(m)=c^{-1}\sum_m e(dm/c)\widehat{g}(m/c).
\]
Por otra parte, si $g(t)=e(\mu t^3)$,  por \refe{efesta},
$\widehat{g}(\xi)$ debe oscilar como
$e(-\widetilde{\mu}^{-1/2}\xi^{3/2})$ donde $\widetilde{\mu}$ y
$\mu$ son iguales salvo multiplicar por una constante. DEspu\'{e}s de
dividir en progresiones aritm\'{e}ticas m\'{o}dulo $c$ en la suma interior
de \refe{sgtres}, esta f\'{o}rmula de sumaci\'{o}n lleva a
\[
\sum_{a,c}\big|\sum_m G(a,b+m;c)
e(-\widetilde{\mu}^{-1/2}m^{3/2}/c^{3/2})
\big|
\quad\text{ donde }\
G(a,k;c)=\sum_{l=1}^ce\big(\frac{al^2+kl}{c}\big).
\]
El \lq\lq signo'' de $G(a,b+m;c)$ cuando $m$ var\'{\i}a tiene un
comportamiento conocido, por ejemplo, para $c$ impar
\[
G(a,b+m;c)=e\big(-\frac{\overline{a}}{c}(b+m)^2\big)G(a,0;c)
\]
donde $\overline{a}$ es el inverso de $a$ m\'{o}dulo $c$, y el m\'{o}dulo
de $G(a,0;c)$ es esencialmente $\sqrt{c}$. Con lo cual se tiene
algo del tipo
\[
\sum_{a,c}
\big|
\sum_m e\big(-\frac{\overline{a}}{c}(b+m)^2
-\widetilde{\mu}^{-1/2}m^{3/2}/c^{3/2}\big)
\big|.
\]
Aparentemente estas sumas son intratables por su contenido
aritm\'{e}tico, y realmente as\'{\i} ocurre con cada suma interior
induviual, pero se puede proceder de forma parecida a la del
m\'{e}todo de Vinogradov. Despu\'{e}s de elevar a cierta potencia para
crear uniformidad, incluso con coeficientes artim\'{e}ticos es posible
encontrar cancelaci\'{o}n si hay cierta independencia en las sumas.
Esto requiere un teorema que estudie el espaciamiento de
$\overline{a}/c$ en ciertos rangos, combinado con una especie de
teorema del valor medio de Vinogradov con pocos sumandos y tres
ecuaciones, correspondientes a los valores de $m$ elevados a $1$,
$2$ y $3/2$.

\

En la versi\'{o}n empleada en los problemas de puntos del ret\'{\i}culo, la
aparici\'{o}n de t\'{e}rminos conteniendo $\overline{a}/c$ proviene de que
en estos problemas aparecen sumas del tipo
\[
\sum_h\sum_n e\big(hf(n)-h\frac{an}c)
\]
que al aplicar la f\'{o}rmula de sumaci\'{o}n de Poisson a la suma
interior, llevan a
\[
\sum_h\sum_{n\equiv ah\; (\text{mod}\; c)}
\int e\big(hf(x)-\frac{nx}c\big)\; dx
\]
y al invertir el orden de sumaci\'{o}n, $h$ recorre los congruentes
con $\overline{a}n$ m\'{o}dulo $c$. Con argumentos relacionados con
los de \cite{BoIw} (pero no similares) se llega tambi\'{e}n a
problemas del mismo tipo relativos al espaciamiento de
$\overline{a}/c$ y a ciertas analog\'{\i}as del teorema del valor medio
de Vinogradov.



\section{?`D\'{o}nde aprender m\'{a}s?}

El m\'{e}todo de Weyl queda com\'{u}nmente superado por otros m\'{e}todos.
No obstante hay buenas explicaciones de lo que se puede conseguir
en relaci\'{o}n con el m\'{e}todo del c\'{\i}rculo en \cite{Vau}. En un
contexto m\'{a}s general  tambi\'{e}n se trata en \cite{IwKo}.

El m\'{e}todo de van der Corput, con algunas incursiones en el caso
bidimensional, est\'{a} magn\'{\i}ficamente expuesto en \cite{GrKo}. Una
exposici\'{o}n m\'{a}s breve, aun as\'{\i} muy completa, del caso
unidimensional constituye la mayor parte del cap\'{\i}tulo 3 de \cite{Mon}. En \cite{Ivi} las explicaciones son tambi\'{e}n buenas pero las hip\'{o}tesis requeridas para aplicar la teor\'{\i}a de pares de exponentes no parecen ser todo lo fuertes que debieran.

Hay buenas descripciones del m\'{e}todo de Vinogradov en muchos
libros, por ejemplo en \cite{Ell}, \cite{Mon} y \cite{Vau},
pero la de \cite{IwKo} est\'{a} explicada con una profundidad,
claridad y concisi\'{o}n dif\'{\i}cilmente igualables, sobre todo
teniendo en cuenta que trata  la versi\'{o}n m\'{a}s poderosa del m\'{e}todo.

En la monograf\'{\i}a \cite{Huxl} se pueden aprender todos los
detalles relacionados con el m\'{e}todo de Hardy-Littlewood discreto.
Una descripci\'{o}n completa de la prueba del par de exponentes
$(9/56+\epsilon,37/56+\epsilon)$ constituye el \'{u}ltimo cap\'{\i}tulo
de \cite{GrKo}.

\begin{thebibliography}{99}

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\end{thebibliography}




\end{document}


\bibitem[Zy]{Zyg}
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Volumes I and II combined. Cambridge University Press 1990.



\ejer
?`Por qu\'{e} $a_n=\text{Frac}(\alpha n^k)$ no est\'{a} equidistribuida si
$\alpha\in\Q$?

\ejer
Procediendo como en el m\'{e}todo de Weyl pero sustituyendo
desigualdades por igualdades, probar que para $q$ impar
$\big|\sum_{n=1}^qe(an^2/q)\big|=\sqrt{q}$. \underbar{Nota}: Como
es bien conocido, evaluar esta suma de Gauss (no s\'{o}lo el m\'{o}dulo),
es mucho m\'{a}s dif\'{\i}cil.

\ejer
Si $\alpha\not\in\Q$ tiene todos los cocientes parciales de su
fracci\'{o}n continua acotados, hallar el m\'{\i}nimo
$\beta_0=\beta_0(k)$ que se puede obtener con el m\'{e}todo
de Weyl tal que $\sum_{n\le N}e(\alpha n^k)=O(N^\beta)$ para
$\beta>\beta_0$.


\ejer
A partir de \refe{szeta} probar $\sum_{n\le
t}n^{-s}=O\big(t^{C(1-\sigma)^{3/2}}\log^{2/3}t\big)$ para
$s=\sigma+it$ con $t\ge 2$, $1/2\le\sigma\le 1$ y $C$ una
constante.

