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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%\setbeamercolor{title}{fg=red!80!black,bg=red!20!white} %t\'{\i}tulo en rojo con algo de negro y fondo rojiblanco
}







\title[Cuentas, trucos y casi magia]{Cuentas, trucos y casi magia}

\author[Fernando Chamizo]{Fernando Chamizo Lorente\\ \ \\ {\small \url{http://www.uam.es/fernando.chamizo}}}
\date{}
\institute{{\small Universidad Aut\'{o}noma de Madrid}
\\
\
\\
{\small 8 de noviembre de 2012}}

\begin{document}

\setbeamertemplate{headline}
{%
\begin{beamercolorbox}{section in head/foot}
%\alert{\ \insertframenumber\ de \inserttotalframenumber}
\ \vskip6.5pt\par \insertnavigation{\paperwidth}\vskip2pt
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}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 0  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Esto simplemente crea la página del título
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 0+ %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%Crea el índice
%\section*{\'{I}ndice}
%\begin{frame}
%\frametitle{\'{I}ndice}
%%\tableofcontents[pausesections]
%\tableofcontents
%\end{frame}





%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\section{Curvas de café}
\begin{frame}
\frametitle{Curvas misteriosas}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Cuando pones una taza o incluso un anillo bajo una taza o incluso un anillo bajo una fuente de luz oblicua. Hay un reflejo con una curiosa forma:
\begin{center}
\begin{tabular}{c}
{\includegraphics[scale=0.2]{./images/ring2.jpg}}
\\[-7.3pt]
\begin{tiny}\url{http://graphics.ucsd.edu/~henrik}\end{tiny}
\end{tabular}
\begin{tabular}{c}
{\includegraphics[scale=0.2]{./images/taza.jpg}}
\\[-7.3pt]
\begin{tiny}Foto casera\end{tiny}
\end{tabular}
\end{center}

{\footnotesize El efecto requiere que la fuente sea puntual. Es claro con una bombilla, una linterna o un foco halógeno pero no con un fluorescente. Es muy fácil verlo bajo estas condiciones. ¡Inténtalo en casa y verás que te sale!}
\end{block}}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Si acercamos la fuente de luz hasta el borde del anillo, el reflejo se encoge hasta dar una curva tangente en un solo punto.
\end{block}}


\begin{center}
\begin{tabular}{c}
{\includegraphics[scale=0.25]{./images/ring_card.png}}
\\[-7.3pt]
\begin{small}Luz en el borde\end{small}
\end{tabular}
\qquad\ \qquad
\begin{tabular}{c}
{\includegraphics[scale=0.25]{./images/ring_neph.png}}
\\[-7.3pt]
\begin{small}Luz lejana\end{small}
\end{tabular}
\end{center}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\begin{itemize}
 \item ¿Por qué se ven estas figuras?
\item ¿Se pueden describir fácilmente?
\end{itemize}
\end{block}}


\end{frame}




%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Por qué se ven estas figuras?}

\begin{center}
\begin{tabular}{c}
{\includegraphics[scale=0.3]{./images/reflec.png}}
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}{c}
{\includegraphics[scale=0.27]{./images/reflen.png}}
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{-7pt}
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Los rayos de luz se reflejan en el borde circular dando lugar a rayos reflejados que son tangentes a cierta curva. A lo largo de la ella se produce una acumulación e interferencia de rayos que muestra una zona especialmente iluminada, igual que se produce un brillo cuando rayos separados se juntan gracias a una lupa.
\end{block}}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Se pueden describir fácilmente?}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Ambas curvas aparecen fácilmente con medios mecánicos.\end{block}}

\begin{columns}
% first column
    \begin{column}{6.5cm}
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
La primera curva se llama {\bf cardioide} (porque recuerda a un corazón) y surge de manera natural cuando hacemos girar sin deslizar un círculo sobre otro  del mismo tamaño. Viene descrita por la trayectoria de cada punto del borde.
\end{block}}
    \end{column}
% second column
\hspace{-1cm}
    \begin{column}{4cm}
    {\includegraphics[scale=0.27]{./images/giro2.jpg}}
    \end{column}
\end{columns} 


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
La segunda curva, una vez duplicada, se llama {\bf nefroide} (porque recuerda a un riñón) y se obtiene de forma similar cuando el círculo que gira es de  la mitad de radio.\end{block}}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Una curiosidad, no demasiado intuitiva es que el círculo (la moneda) que gira da dos vueltas sobre sí misma en vez de una.
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
¿No te lo crees? Compruébalo. En la práctica, las monedas de euro resbalan. Con CDs es más fácil verlo en la práctica, usando el agujero central para ir desplazando el CD que gira.
\end{block}}


\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{c}
\hspace{-10pt}{\includegraphics[scale=0.5]{./images/cds.png}}
\end{tabular}
&
\hspace{-15pt}{\setlength{\fboxrule}{0.8pt}
\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\begin{tabular}{l}
Respecto a la horizontal
\\[7pt]
$\alpha=\text{giro del centro}$
\\
$\alpha+\alpha=\text{giro del punto}$
\end{tabular}}}
\end{tabular}


\end{center}


\end{frame}




\hidden{% begin hidden
%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Se pueden describir matemáticamente?}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Un punto se puede especificar mediante las longitudes de las sombras horizontal y vertical del segmento que lo une con el origen ({\bf coordenadas cartesianas})
o mediante la longitud del segmento y su ángulo con la horizontal ({\bf coordenadas polares}).
\end{block}}

\begin{tabular}{ccc}
\begin{tabular}{c}
{\includegraphics[scale=0.25]{./images/carte.png}}
\end{tabular}
&&
\begin{tabular}{c}
{\includegraphics[scale=0.25]{./images/polar.png}}
\end{tabular}
\end{tabular}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
$\cos\alpha$ y $\sen\alpha$ son las escalas que pasan longitudes reales a longitudes de sombras horizontales y verticales.
\end{block}}


\end{frame}







%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
En coordenadas polares la ecuación de la caridoide no es complicada.
\end{block}}


\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{l}
    {\includegraphics[scale=0.3]{./images/cardpo1.png}}
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{l}
$\dfrac{r}{2}=\dfrac{1/\cos\alpha -1}{1/\cos\alpha}$
\\[15pt]
\fbox{$r =2(1-\cos\alpha)$}
\end{tabular}
\end{tabular}

\end{center}



\end{frame}
} %end hidden



%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\section{Números redondos}
\begin{frame}
\frametitle{Números redondos}


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.33]{./images/cyclic2.jpg}
\end{center}

\vspace{5pt}

La cinta:
\begin{center}
{\setlength{\fboxrule}{2pt}
\setlength{\fboxsep}{10pt}
\Huge\bf
\fbox{1\quad
4\quad
2\quad
8\quad
5\quad
7}}\end{center}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Las cuentas y la magia}

{\large 
\begin{enumerate}
 \item Elige una cinta mágica
 \item Piensa un número del 1 al 6
 \item Multiplica 142857 por ese número
 \item Y... un corte de la cinta dará el resultado
\end{enumerate}}


{\huge\[
6\ \rightarrow\ 
6\times 142857 = 
\raisebox{-5pt}{\includegraphics[scale=0.3]{./images/857142.png}}
\]}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Dónde está el truco?}



{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
El número 142857 es un \textbf{número cíclico}: las \emph{permutaciones cíclicas} de sus dígitos dan múltiplos sucesivos.
\end{block}}

\begin{eqnarray*}
1\times 142857 &=& 142857
\\
2\times 142857 &=& 285714
\\
3\times 142857 &=& 428571
\\
4\times 142857 &=& 571428
\\
5\times 142857 &=& 714285
\\
6\times 142857 &=& 857142
\end{eqnarray*}



\end{frame}


%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Por qué ocurre esto?}

Dividiendo como en los viejos tiempos:
\begin{center}
\begin{tabular}{llllllll}
{\textbf{1}}&0& & & & & & $|$\kern-1.5pt\underline{\ 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
\\
&\alert{3}&0& & & & & \ 0.142857\dots
\\
& &\alert{2}&0& & & & 
\\
& & &\alert{6}&0& & & 
\\
& & & &\alert{4}&0& & 
\\
& & & & &\alert{5}&0& 
\\
& & & & & &\alert{1}&
\end{tabular}
\end{center}
Los restos parciales son 1,2,3,4,5,6 ¡Salen todos los posibles!

Para $1\le m\le 6$, la división $m/7$ siempre comienza en algún punto de la cadena de restos y sus decimales serán 142857 reordenados cíclicamente.
\[
 m\cdot \frac{1}{7}=0.\text{reord(142857)}\dots
\ \Rightarrow\ 
 m\cdot \text{142857}=\text{reord(142857)}.
\]

\end{frame}


%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}



{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
La división $1/17$ también tiene esta propiedad, esta vez con todos los números del 1 al 16.
\end{block}}

Calculando los decimales, se tiene que 

\begin{center}
{\setlength{\fboxrule}{2pt}
\setlength{\fboxsep}{3pt}
\huge\bf
\fbox{0\ 
5\ 
8\ 
8\ 
2\ 
3\ 
5\ 
2\ 
9\ 
4\ 
1\ 
1\ 
7\ 
6\ 
4\ 
7}}\end{center}

también serviría para hacer el truco y de manera más espectacular.

Pero{\dots} tendrás que conseguir que alguien tenga ganas de multiplicar este número  por algún $1\le m\le 16$.

\

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Un resultado difícil dice que todos estos números mágicos se obtienen de los decimales de $1/p$ con $p$ ciertos números primos.
\end{block}}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\section{Moir\'{e}}
\begin{frame}
\frametitle{El efecto Moir\'{e}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Imprimamos un montón de sectores muy finos de un círculo grande en una hoja transparente.
\end{block}}

\begin{center}
{\includegraphics[scale=0.4]{./images/m_00.png}}
\end{center}

\vspace{-4pt}
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Ya en esta diapositiva reproducida en un ordenador o impresa, se ven unas curvas raras que \textbf{no aparecen en la realidad}.
\end{block}}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
En la televisión también a veces se ve que las rayas de una camisa muy tupida parecen moverse solas. Éste es un fenómeno de interferencia llamado \textbf{efecto Moiré}. 
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
El nombre proviene de un tipo de tela de seda, llamada \textit{moiré} en francés, que presenta reflejos en forma de \lq\lq aguas''.
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
En el caso anterior, la interferencia se produce con las líneas del monitor. Un efecto más espectacular, y fácil de reproducir en casa, se consigue superponiendo la imagen anterior en una hoja transparente consigo misma. 
\end{block}}


\end{frame}


%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Según acercamos los centros de las imágenes en horizontal, se podrucen interferencias más nítidas.
\end{block}}



\begin{center}
{\includegraphics[scale=0.25]{./images/m_14.png}}
{\includegraphics[scale=0.25]{./images/m_60.png}}
\end{center}

\begin{center}
{\includegraphics[scale=0.25]{./images/m_40.png}}
{\includegraphics[scale=0.25]{./images/m_20.png}}
\end{center}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Si nos apartamos un poco de la horizontal o giramos las imágenes se producen curiosas sensaciones de movimiento.
\end{block}}



\begin{center}
{\includegraphics[scale=0.28]{./images/m_31.png}}
\qquad
{\includegraphics[scale=0.28]{./images/m_21.png}}
\end{center}

\begin{center}
{\includegraphics[scale=0.28]{./images/m_215.png}}
\qquad
{\includegraphics[scale=0.28]{./images/m_11.png}}
\end{center}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\section{Velocidad límite}
\begin{frame}
\frametitle{Los logaritmos tienen su gracia}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\underline{Un chiste malo}:
Un conductor va por la
carretera y ve un cartel que avisa \lq\lq Reduzca a 100'', después otro que dice \lq\lq Reduzca a 80'' y así sucesivamente\uncover<2->{, hasta llegar a un gran cartel que indica 
\textbf{Bienvenido a Reduzca}.}
\end{block}}

\uncover<2->{\begin{center}
{\includegraphics[scale=0.28]{./images/reduzca.png}}
\end{center}

\vspace{-10pt}
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}\small
\begin{block}{}
 Hay 5 tramos de 20km. El primero se recorre a 100km/h, el segundo a 80km/h, hasta
el último que se recorre a 20km/h. Entonces se tarda: 
\[
\Delta t=\frac{\Delta e}{v}
\ \Rightarrow\
T= \frac{20}{100}+
\frac{20}{80}+
\frac{20}{60}+
\frac{20}{40}+
\frac{20}{20}
= \frac{137}{60}=2\text{h}\; 17\text{m.}
\]
\end{block}}


}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{center}
{\includegraphics[scale=0.28]{./images/reduzca.png}}
\end{center}



{Los logaritmos neperianos son muy importantes (se estudian desde 4º~de la ESO) y, aunque parezca mentira,  J. Neper los inventó en 1614 mediante una variante de este chiste.

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
En el caso de Neper, la distancia inicial era 1 y había infinitas señales, con lo cual el coche nunca llegaba.
\end{block}}

\begin{columns}
% first column
    \begin{column}{6.5cm}
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
$-\ln x=\text{tiempo en llegar a distancia $x$}$
\end{block}}
    \end{column}
% second column
\hspace{-1cm}
    \begin{column}{4.7cm}
  \begin{tabular}{c}
    \\[5pt]
    {\quad\includegraphics[scale=0.25]{./images/lognep.png}}
  \end{tabular}
    \end{column}
\end{columns}}


\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\begin{tabular}{lcr}
\begin{tabular}{l}
\includegraphics[scale=0.22]{./images/mirifi.jpg}
\end{tabular}
&&\hspace{-35pt}
\begin{tabular}{p{5.9cm}}
Portada de 1614 de la \textit{Descripción de las leyes maravillosas de los logaritmos}  de J.~Neper 1550-1617. 

\

Los logaritmos permiten pasar multiplicaciones a sumas (que son más fáciles), las divisiones a restas y las raíces a divisiones. Éstas son algunas de las  \lq\lq leyes maravillosas'' de Neper.


\end{tabular}
\end{tabular}

\end{block}}


Reproducción de los dibujos originales:

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
\includegraphics[scale=0.35]{./images/neper_l.png}
\end{tabular}
\end{center}


\end{frame}






%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Velocidad límite}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Hay situaciones comunes en las que la velocidad se comporta como el espacio recorrido en el chiste: se incrementa cada vez menos y hay una \textit{velocidad límite}.
\end{block}}


\begin{columns}
% primera columna
\begin{column}{6.5cm}
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
¿A qué velocidad cae la lluvia?

¿Por qué los paracaidistas llevan gafas?
\end{block}}
\uncover<2->{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Dependiendo de las condiciones, se tiene:
\begin{itemize}
 \item Gotas de lluvia gruesa $v_{\text{lim}}=\text{\small 10m/s}$
 \item Salto en paracaídas \;$v_{\text{lim}}=\text{\small 200km/h}$
\end{itemize}
\end{block}}
\end{column}
% segunda columna
\begin{column}{4.3cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.22]{./images/vellim.png}
\end{tabular}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Un poco de Física\dots}

\vspace{-4pt}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Un ejemplo menos conocido es el de un imán que cae por un tubo metálico que no sea de hierro ni acero (ni de otro material al que se pegue el imán).
\end{block}}


\begin{columns}
% primera columna
\begin{column}{3.1cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.22]{./images/magnet.png}
\end{tabular}
\end{center}
\end{column}
% segunda columna
\begin{column}{6.5cm}
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Un campo magnético que varía mueve los electrones del metal que, a su vez, crean otro campo magnético. 
Según la \textit{ley de Lenz}, estos campos son opuestos. 
\end{block}}
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Rápidamente la velocidad del imán se acerca a la velocidad límite, que es pequeña si el imán es potente. 
\end{block}}
\end{column}
\end{columns}

\end{frame}





%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\section{M\"obius y su banda}
\begin{frame}
\frametitle{M\"obius y su banda}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.29]{./images/pmobius.jpg}
\end{tabular}
&&
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.4]{./images/mobius.jpg}
\end{tabular}
\\
A. M\"obius&\qquad& su banda
\end{tabular}
\end{center}

\hrulefill

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[width=55pt, height=35pt]{./images/unwrapped.png}
\end{tabular}
&$\longrightarrow$&
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.2]{./images/unwrapped2.png}
\end{tabular}
&$\longrightarrow$&
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.2]{./images/mobius.jpg}
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{center}


\end{frame}


%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Una cara es suficiente}


\begin{columns}
% primera columna
\begin{column}{5.7cm}
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
El símbolo internacional del reciclaje es una \textbf{banda de M\"obius} ¿quizá porque se aprovechan las dos caras?
\end{block}}
\end{column}
% segunda columna
\begin{column}{3cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.35]{./images/recycling.png}
\end{tabular}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Las dos caras de una cinta normal (o de un cilindro) se transforman en una en la banda de M\"obius. Si caminamos por ella, la recorremos por entero, a  diferencia de lo que ocurre en un cilindro, en el que siempre se pasa por la misma cara.
\end{block}}


\end{frame}


%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Una cara es suficiente}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
El hecho de que sólo haya una cara tiene algunas consecuencias sorprendentes. Por ejmplo, un habitante (bidimensional) que viviera dentro de una banda de Möbius, si se cansara de ser diestro sin más que dar un paseo por su mundo.
\end{block}}

\

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.275]{./images/right.png}
\end{tabular}
&
\hspace{-6pt}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.275]{./images/medium.png}
\end{tabular}
&
\hspace{-6pt}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.275]{./images/left.png}
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{center}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%
% SLIDE   %
%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{columns}
% primera columna
\begin{column}{5.2cm}
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
La banda de M\"obius tiene curiosas propiedades cuando usamos las tijeras con ella. \end{block}}
\end{column}
% segunda columna
\begin{column}{3.6cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/cut.jpg}
\end{tabular}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Si la cortamos por su ecuador, no se separa en dos trozos sino que da lugar a una cinta más larga y más retorcida.
\end{block}}


\begin{columns}
% primera columna
\begin{column}{4.3cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.4]{./images/hearts.jpg}
\end{tabular}
\end{center}
\end{column}
% segunda columna
\begin{column}{6.2cm}
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Otro curioso fenómeno se produce al pegar en perpendicular dos
bandas de M\"obius de sentidos opuestos\dots\end{block}}
\end{column}
\end{columns}



{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Cortando ambas por su ecuador se obtienen ¡¡dos corazones entrelazados!!.
\end{block}}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\vspace{2cm}
\begin{center}
\Huge\bf Gracias
\end{center}

\vfill
\begin{center}
{\Large Presentación y código fuente disponibles en}

\

\

{\Large\url{http://www.uam.es/fernando.chamizo}}
\end{center}


\end{frame}



\end{document}
