%http://jorsansa.webs.upv.es/blog/?q=intro-beamer
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%http://oregonstate.edu/~peterseb/tex/samples/color-package.html


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	SPANISH
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[spanish]{babel}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	MACROS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	COLORES
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\definecolor{MedioRojo}{rgb}{0.5,0,0}
%  \colorlet{darkred}{red!80!black}
%  \colorlet{darkblue}{blue!80!black}
\colorlet{darkgreen}{green!80!black}


\mode<presentation>{
\usetheme{Frankfurt} %Rebordes y n\'{u}meros indice con puntos
}







\title{\bf Números, figuras y mucho más} 

\author{Fernando Chamizo Lorente}
\date{}
\institute{Universidad Aut\'{o}noma de Madrid \\ {\tiny \url{http://www.uam.es/fernando.chamizo}}
\\
\
\\
{\small 12 de mayo 2009}
\\
\
\\
{CERPA de Rivas-Vaciamadrid}}

\begin{document}

\setbeamertemplate{headline}
{%
%\begin{beamercolorbox}{}
\begin{beamercolorbox}{section in head/foot}
%\alert{\ \insertframenumber\ de \inserttotalframenumber}
\ \vskip6.5pt\par \insertnavigation{\paperwidth}\vskip2pt
\end{beamercolorbox}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 0+ %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{\'{I}ndice}
\begin{frame}
\frametitle{\'{I}ndice}
%\tableofcontents[pausesections]
\tableofcontents
\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Cómo empezo todo...}

\begin{block}{}
El origen del concepto de número se pierde en la prehistoria. 

Las primeras civilizaciones, especialmente Egipto y Mesopotamia, llevaron a cabo avances matemáticos ligados a la contabilidad, agrimensura, ingeniería y astronomía. 
\end{block}


\begin{block}{}
Las matemáticas como disciplina que trasciende las aplicaciones prácticas se suelen datar en Grecia alrededor del siglo V a.d.C.

\vspace{5pt}

Para los pitagóricos \textit{mathema} ($\mu\alpha\theta\eta\mu\alpha$) era \lq\lq lo que se aprende''.

\vspace{5pt}

La exactitud de las matemáticas llamó la atención de los filósofos (al igual que ocurriría siglos más tarde en el Renacimiento y en la Ilustración).
\end{block}



\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Matemáticas?}

\begin{block}{¿Qué hace un matemático?}
Los matemáticos descubren y explican la belleza en números, figuras geométricas y, en general, en estructuras abstractas rigurosas.
\end{block}


\begin{block}{G.H. Hardy (1877--1947)}
Los patrones del matemático, como los del pintor o los del poeta, deben ser bellos. Las ideas, como los colores o las palabras, deben ajustarse de manera armónica. La belleza es la primera prueba: no hay un lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas.
\end{block}


\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{block}{¿Belleza matemática?}
La belleza es difícil de definir en general. 

En matemáticas a menudo está ligada a algún tipo  de simetría o a conexiones inesperadas. 
\end{block}


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{./images/cielinf.jpg}
\end{center}


\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Números}
\begin{frame}

\begin{block}{}
\begin{center}
\begin{huge}\sc Números\end{huge}
\end{center}

\end{block}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.75]{./images/numjpg.jpg}
\end{center}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{block}{Ley sencilla: Duplica y suma}
\[
		\begin{matrix}1,\\ \uncover<6->{1,}\end{matrix}\quad
		\begin{matrix}2,\\ \uncover<6->{3,}\end{matrix}\quad
\uncover<2->{\begin{matrix}5,\\ \uncover<6->{7,}\end{matrix}\quad}
\uncover<3->{\begin{matrix}12,\\ \uncover<6->{17,}\end{matrix}\quad}
\uncover<4->{\begin{matrix}29,\\ \uncover<6->{41,}\end{matrix}\quad}
\uncover<5->{\begin{matrix}70,\\ \uncover<6->{99,}\end{matrix}\quad}
\uncover<5->{\begin{matrix}169,\\ \uncover<6->{239,}\end{matrix}\quad}
\uncover<5->{\begin{matrix}408,\\ \uncover<6->{577,}\end{matrix}\quad}
\uncover<5->{\begin{matrix}985,\quad\dots\\ \uncover<6->{1393,\quad\dots}\end{matrix}}
\]
\end{block}

\uncover<7->{\begin{block}{Lista (abreviada) de milagros:}
\begin{itemize}
\item<7->
Multiplicando en cruz siempre los resultados difieren en uno {\color{MyDarkBlue}(\begin{footnotesize}Ej. $5\cdot 17-7\cdot 12=1$,  \begin{tiny}$12\cdot 41=492,\ 29\cdot 17=493$\end{tiny})\end{footnotesize}}.
\item<8->
Las columnas de la lista son todos los números que al cuadrado y duplicados al cuadrado difieren en uno 

\noindent
{\color{MyDarkBlue}(\begin{footnotesize}Ej. $2\cdot 5^2-7^2=1$, $17^2-2\cdot 12^2=1$)\end{footnotesize}}.
\item<9->
La división por columnas se acerca rápidamente a $1/\sqrt{2}$ 

\noindent {\color{MyDarkBlue}(\begin{footnotesize}Ej. $985/1393=0.7071069\dots$
\quad $1/\sqrt{2}=0.70710678\dots$)\end{footnotesize}}.
\end{itemize}
\end{block}}


\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{block}{Primos}
Los números primos son los divisibles sólo por ellos mismos y por 1. 
\end{block}

\begin{block}{}
Constituyen una sucesión en cierta medida caótica y misteriosa
$
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,\dots
$
\end{block}

\hfill\begin{scriptsize}\uncover<2->{\alert{$n^4=n\times n\times n\times n$}}\end{scriptsize}

\uncover<2->{\begin{block}{}
\begin{eqnarray*}
\uncover<2->{\frac{2^4}{2^4-1}}
\uncover<3->{\cdot
\frac{3^4}{3^4-1}}
\uncover<4->{\cdot
\frac{5^4}{5^4-1}}
\uncover<5->{\dots 
\frac{127^4}{127^4-1}}
&=&
\only<2>{1.06666666\dots}
\only<3>{1.08\dots}
\only<4>{1.08173076\dots}
\only<5->{1.08232320\dots}
\\
& &
\\
\phantom{\frac{\pi^4}{90}}
\alert{\only<6->{\frac{\pi^4}{90}\quad}\only<-5>{\text{\fbox{Número misterioso}}}
}&=& \alert{1.082323234\dots}
\end{eqnarray*}
\end{block}}





\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{}
\[
\frac{2^4}{2^4-1}\cdot
\frac{3^4}{3^4-1}\cdot
\frac{5^4}{5^4-1}\cdot
\frac{7^4}{7^4-1}\cdot
\frac{11^4}{11^4-1}\cdot\dots
=\frac{\pi^4}{90}
\]
\end{block}

{\begin{block}{}
\begin{center}
¿Cómo es que los primos tienen que ver con $\pi$?

Primos $\leftrightarrow$ factorizar
\qquad
$\pi$ $\leftrightarrow$ círculos

{\color{blue}Belleza matemática:} {\color{darkgreen}conexiones inesperadas.}

\end{center}\end{block}}

\uncover<2->{\begin{block}{}
{\color{blue}Investigación matemática:} 
\[
\frac{2^n}{2^n-1}\cdot
\frac{3^n}{3^n-1}\cdot
\frac{5^n}{5^n-1}\cdot
\frac{7^n}{7^n-1}\cdot
\frac{11^n}{11^n-1}\cdot\dots
\]
Se conocen fórmulas de la forma $\text{\textit{fracción}}\cdot \pi^n$ cuando $n$ es par pero se desconoce si existen para $n$ impar.
\end{block}}


\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Figuras}
\begin{frame}

\begin{block}{}
\begin{center}
\begin{huge}\sc Figuras\end{huge}
\end{center}

\end{block}

\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.75]{./images/tf.png}
\includegraphics[scale=1.0]{./images/mandelbrot.jpg}
\end{center}


\end{frame}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Números con figuras}

\begin{small}\begin{block}{Sumando impares}
\[
1+3=2^2,\quad
1+3+5=3^2,\quad
1+3+5+7=4^2,\quad
1+3+5+7+9=5^2
\]
\end{block}\end{small}

\uncover<2->{\begin{center}

\begin{tabular}{ccccc}
\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
&
\only<3->{\includegraphics[scale=0.25]{./images/blanca.png}}\only<-2>{\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}}
&
\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
&
\only<3->{\includegraphics[scale=0.25]{./images/blanca.png}}\only<-2>{\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}}
&
\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
\\
	\only<3->{\includegraphics[scale=0.25]{./images/blanca.png}}\only<-2>{\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}}
	&
	\only<3->{\includegraphics[scale=0.25]{./images/blanca.png}}\only<-2>{\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}}
	&
	\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
	&
	\only<3->{\includegraphics[scale=0.25]{./images/blanca.png}}\only<-2>{\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}}
	&
	\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
\\
\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
&
\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
&
\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
&
\only<3->{\includegraphics[scale=0.25]{./images/blanca.png}}\only<-2>{\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}}
&
\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
\\
	\only<3->{\includegraphics[scale=0.25]{./images/blanca.png}}\only<-2>{\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}}
	&
	\only<3->{\includegraphics[scale=0.25]{./images/blanca.png}}\only<-2>{\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}}
	&
	\only<3->{\includegraphics[scale=0.25]{./images/blanca.png}}\only<-2>{\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}}
	&
	\only<3->{\only<3->{\includegraphics[scale=0.25]{./images/blanca.png}}\only<-2>{\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}}}\only<-2>{\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}}
	&
	\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
\\
\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
&
\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
&
\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
&
\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
&
\includegraphics[scale=0.25]{./images/azul.png}
\end{tabular}
\uncover<3->{$\longrightarrow\qquad 1+3+5+7+9=5^2$}
\end{center}}

\uncover<4->{
\begin{block}{}
\[
1+2+3+5\dots+\text{enésimo impar}=n^2
\]
\end{block}
}
\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
%\frametitle{Triángulo de Sierpi\'{n}ski}
\frametitle{Arte ¿al azar?}

\begin{block}{Una ley sencilla en un triángulo}
\begin{enumerate}
\item 
Elige un vértice al azar
\item 
Halla el punto medio
\end{enumerate}
\end{block}

\

\

\begin{block}{}
¿Qué figura se obtiene al repetir este proceso muchas veces?
\end{block}

\

El proceso no es determinista, depende de elecciones, pero\dots
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
%\frametitle{Triángulo de Sierpi\'{n}ski}
\frametitle{Arte ¿al azar?}

%\begin{center}
\only<1>{$N=10\phantom{0000}$\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=0.5]{./images/Sier10.png}\end{tabular}}
\only<2>{$N=100\phantom{000}$\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=0.5]{./images/Sier100.png}\end{tabular}}
\only<3>{$N=1000\phantom{00}$\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=0.5]{./images/Sier1000.png}\end{tabular}}
\only<4>{$N=10000\phantom{0}$\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=0.5]{./images/Sier10000.png}\end{tabular}}
\only<5->{$N=100000\phantom{}$\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=0.5]{./images/Sier100000.png}\end{tabular}}
%\end{center}

\end{frame}












%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA      %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Y mucho más\dots}
\begin{frame}

\begin{block}{}
\begin{center}
\begin{huge}\sc Y mucho más\dots\end{huge}
\end{center}

\end{block}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{./images/mas.png}
\end{center}


\end{frame}







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{alertblock}{}
La belleza matemática no es sólo artística sino también útil. 
\end{alertblock}


\begin{block}{Galileo (1564--1642)}
\lq\lq
El universo [...] no puede entenderse si antes no se aprende a entender la lengua en la cual está escrito y conocer sus caracteres. Está escrito en la lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin los cuales es imposible entender humanamente ni una palabra. Sin ellos es agitarse vanamente en un oscuro laberinto.''
\end{block}

\begin{block}{E.P. Wigner (1902--1995) Premio Nobel de física en 1963}
\lq\lq
La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza el misterio y que no tiene explicación racional''.
\end{block}




\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{block}{E.P. Wigner (1902--1995) Premio Nobel de física en 1963}
\lq\lq
El milagro de lo apropiado que es el lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que ni entendemos ni merecemos. Deberíamos agradecerlo y esperar que permanezca válido en la investigación futura y que se extienda [\dots ] a amplias ramas del conocimiento''.
\end{block}




\begin{block}{Einstein (1879--1955)  Premio Nobel de física en 1921}
\lq\lq
¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad?''
\end{block}

\begin{block}{}
\lq\lq
He adquirido un enorme respeto por las matemáticas, cuyas partes más sutiles consideré hasta ahora, en mi ignorancia, como puro lujo''.
\end{block}


\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{La letra del NIF/DNI}

\begin{block}{}
\[
{\color{blue}41592654} \div 23\rightarrow \text{resto}=6\ \Rightarrow\ {\color{blue}\text{P}}
\]
\end{block}
 
\begin{block}{}
\begin{center}
\begin{small}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11
\\
\hline
T&R&W&A&G&M&P&Y&D&F&X&B
\\
\hline
\end{tabular}\end{small}
\end{center}
\end{block}

\begin{block}{}
\begin{center}
\begin{small}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22
\\
\hline
N&J&Z&S&Q&V&H&L&C&K&E
\\
\hline
\end{tabular}\end{small}
\end{center}
\end{block}


\begin{block}{Corrección de errores}
A partir de la letra se puede recuperar el valor de un dígito borroso:
\[
{\color{blue}415926\text{\hspace{-6.141pt}\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=0.4]{./images/borron.png}\end{tabular}\hspace{-6.141pt}}4\text{ P} }\ \Rightarrow\  {\color{blue}41592654\text{ P} }
\]
\end{block}


\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame[containsverbatim]{\frametitle{Programa en C\hfill \begin{small}(letra del NIF)\end{small}}
\begin{tiny}\begin{verbatim}
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
/*  Calcula la letra del NIF */
 
int main(int argc, char *argv[]){
    unsigned char a[23]="TRWAGMPYDFXBNJZSQVHLCKE";
    printf("Número=%s, Letra=%c\n",argv[1],a[ (atoi(argv[1]) %23) ]);
}
\end{verbatim}
\end{tiny}

\begin{block}{Matemáticas $\leftrightarrow$ Informática}
\begin{small}Si se te cierran los ojos con las integrales dobles y te dormiste con los polinomios de Taylor durante las matemáticas de la licenciatura, todavía puedes trabajar como progamador de juegos, pero es mejor que elijas tus algoritmos con cuidado porque van a hacer el trabajo por ti.

\textit{J.Byrd (desarrollador de Sega Dreamcast)}
\end{small}\end{block}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\begin{block}{Otros ejemplos de corrección de errores}
\begin{itemize}
\item
Códigos de barras
\item
Código bibliográfico ISBN
\item
CD's de música.
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{}
El método de corrección de errores en los CD's es muy complicado. Debe funcionar en tiempo real y debe corregir muchos errores porque la grabación no es perfecta.
\end{block}

\begin{center}
\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=0.45]{./images/cod.png}\end{tabular}
\qquad
\begin{footnotesize}\begin{tabular}{c}
$978123456789|7$
\\
$9+8+2+4+6+8=37$
\\
$3\times(7+1+3+5+7+9)=96$
\\
$37+96+7$ acaba en $0$
\end{tabular}\end{footnotesize}
\end{center}
\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{block}{Caminos al azar}
Si en una maraña de puntos conectados (un \textit{grafo}) dejamos 100 personas en cada punto que eligen caminos al azar, al cabo de algún tiempo ¿dónde estarán?
\end{block}


\begin{center}
\only<1>{\begin{tabular}{c}\fbox{\includegraphics[scale=0.4]{./images/grafo.png}}\end{tabular}}
\only<2>{\begin{tabular}{c}\fbox{\includegraphics[scale=0.4]{./images/grafo123.png}}\end{tabular}}
\only<3->{\begin{tabular}{c}\fbox{\includegraphics[scale=0.4]{./images/grafo.png}}\end{tabular}}
\end{center}

\uncover<3->{\begin{block}{}
Éste es esencialmente el método con el que funciona el algoritmo que ordena los resultados en el buscador de Google.
\end{block}}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frame[containsverbatim]{\frametitle{Programa en C\hfill \begin{small}(red aleatoria de un millón de nodos)\end{small}}

\begin{tiny}\tt
\begin{tabular}{l|l}
\verb?#define N 1000000?
&
\qquad\verb?#define E 10?
\\
\verb?#define ITER 80?
&
\qquad\verb?#define C 0.85?
\\
\verb?void redalea(unsigned int *ind){?
&
\qquad\verb?void inicia(double *x,double r){?
\\
\verb?        int i=N*E;?
&
\qquad\verb?        int i=N;?
\\
\verb?        while(i--)  *(ind++)=(rand()%N);?
&
\qquad\verb?        while(i--)  *(x++)=r;?
\\
\verb?}?
&
\qquad\verb?}?
\end{tabular}\end{tiny}


\begin{tiny}\begin{verbatim}
int main(){
        unsigned int ind[N*E]; /* matriz de índices */
        double x[N]; /* vector de importancia */
        double xn[N]; /* nuevo vector de importancia */
        int i,j,k; /* auxiliares */
        unsigned int t=time(NULL); /* tiempo */

        srand(t);
        redalea(ind); /* Crea red aleatoria */
        inicia(x,1.0/N); /* x=1/N */

        for(k=0; k<ITER; ++k){ /* Bucle principal */
                printf("iteraciones=%d, tiempo=%d\n",k, time(NULL)-t);
                inicia(xn,(1.0-C)/N); /* xn=(1-C)/N */
                for(i=0;i<N;++i) /* bucle cálculo de matriz por x */
                        for(j=0;j<E;++j)  xn[ind[i*E+j]]+=C*x[i]/E;
                for(i=0;i<N;++i) /* copia el resultado a x */  x[i]=xn[i];
        }
        return 0; 
}
\end{verbatim}\end{tiny}

}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{block}{La fuerza del análisis }
El análisis matemático permite analizar (descomponer) funciones. Los sonidos e imágenes se pueden representar con funciones y el análisis permite filtrar la información poco percibible y así comprimir mucho los ficheros de audio y vídeo (JPEG, MP3) 
\end{block}

\begin{center}
\begin{tabular}{c}\fbox{\includegraphics[scale=0.18]{./images/mibase.png}}\\ \begin{footnotesize}Funciones base \texttt{jpeg}\end{footnotesize}\end{tabular}
\quad
\begin{tabular}{c}{\includegraphics[scale=1.5]{./images/trompeta.png}}\\ \begin{footnotesize}Nota $\text{La}_4$ de trompeta\end{footnotesize}\end{tabular}
\end{center}


\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Referencias\qquad\ \qquad{\begin{small}\url{http://www.uam.es/fernando.chamizo}\end{small}}}


\begin{alertblock}{}
Los matemáticos muestran y demuestran. Aquí sólo nos hemos ocupado de la primera parte.
\end{alertblock}



\begin{block}{Para saber más:}
\begin{itemize}
\item
\textit{El paraíso de las matemáticas}
\url{www.matematicas.net/}
\item
F.J. Cilleruelo; A. Córdoba.\textit{La teoría de los números}. Mondadori, Madrid 1992.
\item
D. Flannery \textit{The Square Root of Two}. Springer 2005.
\item
F. González Maján
\url{www.xtec.es/~fgonzal2/}
\item
A. Pérez Sanz.
\url{platea.pntic.mec.es/aperez4/}
\item
I. Stewart.
\textit{Ingeniosos encuentros entre juegos y matemática}.
Gedisa 2000.
\item
I. Stewart.
\textit{De aquí al infinito}. Crítica 2004
Gedisa
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}







\end{document}

