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%fondo rojiblanco
}







\title[Cuando tu ordenador\dots]{Cuando tu ordenador te engaña}


\author[F. Chamizo]{Fernando Chamizo}
\date{\footnotesize\url{http://www.uam.es/fernando.chamizo}}
\institute{Actualización en Análisis Matemático
\\
\
\\
{\small 26 de abril de 2012}}

\begin{document}

\setbeamertemplate{headline}
{%
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%%%%%%%%%%%%
% SLIDE 0  %
%%%%%%%%%%%%
%Title
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%
% SLIDE 0+ %
%%%%%%%%%%%%
%Index
%\section*{\'{I}ndice}
\begin{frame}
\frametitle{\'{I}ndice}
%\tableofcontents[pausesections]
\tableofcontents
\end{frame}






%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{Introducción}
\begin{frame}
\frametitle{¿Análisis con el ordenador}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{Análisis}
Límites, incrementos continuos, cantidades que se hacen infinitamente grandes o infinitamente pequeñas\dots
\end{block}}

\

{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\begin{block}{Ordenador}
Cantidades discretas, capacidad de almacenamiento limitada, funcionamiento internamente digital\dots
\end{block}}

\

No obstante, muchos de los modelos computacionales empleados en ingeniería están basados en el análisis.

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{Gráficas caprichosas}
\begin{frame}
\frametitle{Gráficas caprichosas}

\begin{block}{La derivada \lq\lq de verdad''}
Es la velocidad instantánea o la pendiente de la recta tangente:
\[
f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
\end{block}

\begin{block}{La derivada \lq\lq aproximada''}
Es la velocidad media en tiempos pequeños o la pendiente de una recta secante en puntos muy próximos:
\[
\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\]
con $h=\Delta x$ pequeño.
\end{block}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Gráficas caprichosas}

\begin{block}{}
Cuanto menor sea $h$, mejor es la aproximación.
\end{block}

Ejemplo:  Con $f(x)=\sen(\pi x)$
\[
f'\big(\frac16\big)=\pi\frac{\sqrt{3}}{2}= 2.720699\dots,
\quad
\frac{f\big(\frac16+10^{-4}\big)-f\big(\frac16\big)}{10^{-4}}=2.720452\dots 
\]
\[
\phantom{f'\big(\frac16\big)=\pi\frac{\sqrt{3}}{2}= 2.720699\dots,}
\quad
\frac{f\big(\frac16+10^{-5}\big)-f\big(\frac16\big)}{10^{-5}}=2.720674\dots 
\]

Aparentemente, con $h= 10^{-n}$ conseguimos una aproximación del orden de $n$ cifras correctas.

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Gráficas caprichosas}

Pero si tomamos $h$ muy pequeño, alrededor de $10^{-15}$, empiezan a suceder cosas raras. 

\

\textbf{Derivada aproximada de  $f(x)=\sen(\pi x)$ en $[0,1]$:}

\

{\footnotesize
\fbox{Gráficas con \texttt{Sage}}}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics[scale=0.35]{./imap/dsin1.png}
&\quad &
\includegraphics[scale=0.35]{./imap/dsin2.png}
\\
\small
$h=2^{-46}= 1.42\cdot 10^{-14}$
&\quad &
\small
$h=2^{-48}= 3.55\cdot 10^{-15}$
\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Gráficas caprichosas}

\textbf{Derivada aproximada de  $f(x)=\sen(\pi x)$ en $[0,1]$:}

\

{\footnotesize
\fbox{Gráficas con \texttt{Sage}}}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics[scale=0.35]{./imap/dsin3.png}
&\quad &
\includegraphics[scale=0.35]{./imap/dsin4.png}
\\
\small
$h=2^{-50}= 8.88\cdot 10^{-16}$
&\quad &
\small
$h=2^{-52}= 2.22\cdot 10^{-16}$
\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Gráficas caprichosas}

\textbf{Derivada aproximada de  $f(x)=\sen(\pi x)$ en $[0,1]$:}

\

{\footnotesize
\fbox{Gráficas con \texttt{Sage}}}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics[scale=0.35]{./imap/dsin5.png}
&\quad &
\includegraphics[scale=0.35]{./imap/dsin6.png}
\\
\small
$h=2^{-54}= 5.55\cdot 10^{-17}$
&\quad &
\small
$h=2^{-56}= 1.38\cdot 10^{-17}$
\end{tabular}
\end{center}

{\footnotesize
Con otras funciones, ocurre algo similar. Incluso el tamaño de $h$ en que las cosas empiezan a ir mal parece ser universal.}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Gráficas caprichosas}


{\setbeamercolor{block title}{bg=Gold}
\begin{block}{{\color{masrojo}\textbf{La pregunta del alumno listillo (I)}}}
¿Por qué las gráficas de la derivada aproximada se vuelven locas?
\end{block}
}



\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.4]{./imap/listillo.png}
\end{tabular}
\end{center}



\end{frame}





%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{Racionalización irracional}
\begin{frame}
\frametitle{Racionalización irracional}

\begin{block}{Calcular $\pi$}
Un algoritmo para aproximar $\pi$ que proviene de Arquímedes, consiste en aproximar la circunferencia unidad por polígonos.
\end{block}



\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.4]{./imap/plot_arc.png}
\end{tabular}
\quad
\begin{tabular}{l}
Cuadrado:
\\
$a_1=1$
\\
$p_1=8$
\\[5pt]
Octógono:
\\
$a_2=\tan\big(\frac{\pi}{8}\big)=\sqrt{2}-1$
\\
$p_1=16\sqrt{2}-16=6.62\dots$
\\[5pt]
\hline
\\[-8pt]
$\text{Long. circ.}=2\pi= 6.28\dots$
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Racionalización irracional}

\vspace{-22pt}

\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\begin{tabular}{l}
$a_n=\text{mitad del lado del}$
\\
\hspace{20pt}$\text{ polígono de $2^{n+1}$ lados}$
\\[8pt]
\qquad \fbox{$2^{n+1}a_n\to \pi$}
\\[20pt]
\qquad $a_n=\tan\big(\frac{\pi}{2^{n+1}}\big)$
\end{tabular}
\hspace{-15pt}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.5]{./imap/plot_arc.png}
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{center}


Sólo tendrá sentido como algoritmo para aproximar $\pi$ si tenemos una fórmula para  $a_n$ que no dependa de $\pi$.

\end{frame}





%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Racionalización irracional}


\begin{block}{Una fórmula para $a_n$}
Escribamos
$\alpha=\pi/2^n$
\begin{eqnarray*}
a_n&=&\tan\frac{\alpha}{2}
=
\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}
=
\frac{1-\cos\alpha}{\sen\alpha}
\\
&=&
\frac{\frac{1}{\cos\alpha}-1}{\frac{\sen\alpha}{\cos\alpha}}
=
\frac{\sqrt{1+\tan^2\alpha}-1}{\tan\alpha}
\end{eqnarray*}
\end{block}



{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
\[
a_n=
\frac{\sqrt{1+a_{n-1}^2}-1}{a_{n-1}}
\]
\end{block}}

{\small Esta fórmula permite calcular $a_{n}$  de manera recurrente a partir de $a_1=1$.}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Racionalización irracional}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{MyDarkBlue}¿Dos? fórmulas}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
\begin{tabular}{l}
\\[0pt]
$\displaystyle a_n=
\frac{\sqrt{1+a_{n-1}^2}-1}{a_{n-1}}
$
\end{tabular}
\quad
&
\quad
\begin{tabular}{l}
\\[0pt]
$\displaystyle b_n=
\frac{b_{n-1}}{\sqrt{1+b_{n-1}^2}+1}$
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{center}
\end{block}}

\

Ambas fórmulas son idénticas escribiendo $a_n=b_n$ y racionalizando.
Por tanto partiendo de $a_1=b_1=1$ dan los mismos resultados.

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Racionalización irracional}

Haciendo un pequeño programa con \texttt{Sage} vemos que en el quinto término aparece una pequeña divergencia
prácticamente inapreciable.

\begin{center}
\tt\small
\begin{tabular}{|c|c|c|}
$n$ & $2^{n+1}a_n$ & 	$2^{n+1}b_n$  \\ \hline
1 & 4.00000000000000 & 4.00000000000000 \\ \hline
2 & 3.31370849898476 & 3.31370849898476 \\ \hline
3 & 3.18259787807453 & 3.18259787807453 \\ \hline
4 & 3.15172490742926 & 3.15172490742926 \\ \hline
5 & 3.14411838524587 & 3.14411838524590 \\ \hline
6 & 3.14222362994234 & 3.14222362994246 \\ \hline
7 & 3.14175036916970 & 3.14175036916897 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Racionalización irracional}

El problema es cómo va evolucionando.
\begin{center}
\tt\small
\begin{tabular}{|c|c|c|}
$n$ & $2^{n+1}a_n$ & 	$2^{n+1}b_n$  \\ \hline
18 & 3.14159252378847 & 3.14159265362739 \\ \hline
19 & 3.14160058362634 & 3.14159265359919 \\ \hline
20 & 3.14159252378847 & 3.14159265359214 \\ \hline
21 & 3.14144515887080 & 3.14159265359038 \\ \hline
22 & 3.14097079560249 & 3.14159265358994 \\ \hline
23 & 3.13398329388536 & 3.14159265358983 \\ \hline
24 & 3.11105678802532 & 3.14159265358980 \\ \hline
25 & 3.05362474788830 & 3.14159265358980 \\ \hline
26 & 2.61983729517922 & 3.14159265358979 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Racionalización irracional}

\begin{block}{}
Ni siquiera podemos continuar mucho más allá. Con \texttt{Sage} (con otro software o una calculadora pasaría algo
similar) el ordenador se niega a calcular $a_{29}$ alegando divisiones por cero. 
\end{block}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
Sin
embargo $b_n$ funciona bien y sigue dando $\pi$ con las 14 cifras decimales
correctas que muestra,  sin que se vea ningún fallo según avanza $n$.
\end{block}}


\begin{alertblock}{}
¿Por qué el primer método es malo y el segundo es bueno?
\end{alertblock}


\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Racionalización irracional}


{\setbeamercolor{block title}{bg=Gold}
\begin{block}{{\color{masrojo}\textbf{La pregunta del alumno listillo (II)}}}
¿Cómo es que ordenador da resultados bien distintos si las fórmulas son iguales?
\end{block}
}



\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.4]{./imap/listillo.png}
\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}





%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{El \lq\lq chiste'' de reduzca}
\begin{frame}
\frametitle{El \lq\lq chiste'' de reduzca}

\begin{block}{El \lq\lq chiste''}
Un conductor va por la
carretera y ve un cartel que avisa \lq\lq Reduzca a 100''\uncover<2->{, después otro que dice \lq\lq Reduzca a 80''} \uncover<3->{y así sucesivamente}\uncover<4->{, hasta llegar a un gran cartel que indica 
\textbf{Bienvenido a Reduzca}.}
\end{block}

\begin{center}
\only<1>{\includegraphics[scale=0.3]{./imap/reduzca1.png}}
\only<2>{\includegraphics[scale=0.3]{./imap/reduzca2.png}}
\only<3>{\includegraphics[scale=0.3]{./imap/reduzca3.png}}
\only<4>{\includegraphics[scale=0.3]{./imap/reduzca.png}}
\end{center}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{El \lq\lq chiste'' de reduzca}

\begin{block}{¿Cuánto tarda en llegar a Reduzca?}
 Hay 5 tramos de 20km. El primero se recorre a 100km/h, el segundo a 80km/h, hasta
el último que se recorre a 20km/h. 
\[
\Delta t=\frac{\Delta e}{v}
\ \Rightarrow\
T= \frac{20}{100}+
\frac{20}{80}+
\frac{20}{60}+
\frac{20}{40}+
\frac{20}{20}
= \frac{137}{60}=2\text{h}\; 17\text{m.}
\]
\end{block}

\

\begin{center}
{\includegraphics[scale=0.25]{./imap/reduzca.png}}
\end{center}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{El \lq\lq chiste'' de reduzca}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
\begin{center}
Poniendo más señales, se tardará más en llegar
\end{center}
\end{block}}

\begin{block}{¿Es posible tardar más de dos días en vez de más de dos horas?}
Con $N$ señales hay $N$ tramos de $100/N$km. El primero se recorre a 100km/h, el segundo a $(100-100/N)$km/h,
el tercero a $(100-2\cdot 100/N)$km/h; hasta el último que se recorre a
$\big(100-(N-1)100/N\big)$km/h, esto es, $100/N$km/h. 
\[
\frac{100/N}{100}+
\frac{100/N}{100-100/N}+
\frac{100/N}{100-200/N}+
\dots
\frac{100/N}{100/N}
> 48.
\]
\end{block}

{\footnotesize $\text{48h}=\text{días}$}
\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{El \lq\lq chiste'' de reduzca}

\begin{block}{¿Es posible tardar más de dos días?}
Para $N$ del orden de decenas de miles, el incremento se hace cada
vez menor. ¿Quizá el tiempo converja a algún valor que no alcanza a~48?

\begin{center}
\footnotesize\tt
\begin{tabular}{ccc}
\begin{tabular}{|l|l|l|}
$N$ & Suma & $\Delta$
\\
\hline
100000 & 12.0901 & \dots\dots
\\
\hline
200000 & 12.7832 &
0.6931
\\
\hline
300000 & 13.1887 &
0.4054
\\
\hline
400000 & 13.4764 &
0.2876
\\
\hline
500000 & 13.6995 &
0.2231
\\
\hline
\end{tabular}
&\ &
\begin{tabular}{|l|l|l|}
$N$ & Suma & $\Delta$
\\
\hline
600000 & 13.8819 &
0.1823
\\
\hline
700000 & 14.0360 &
0.1541
\\
\hline
800000 & 14.1695 &
0.1335
\\
\hline
900000 & 14.2873 &
0.1177
\\
\hline
1000000 & 14.3927 &
0.1053
\\
\hline
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{center}
\end{block}


\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{El \lq\lq chiste'' de reduzca}


{\setbeamercolor{block title}{bg=Gold}
\begin{block}{{\color{masrojo}\textbf{La pregunta del alumno listillo (III)}}}
¿Está acotado el tiempo de llegada?
\end{block}
}



\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.4]{./imap/listillo.png}
\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{Circunferencias no circulares}
\begin{frame}
\frametitle{Circunferencias no circulares}


\begin{center}
{\small\fbox{\begin{tabular}{c}
Ecuaciones de \\ la mecánica
\end{tabular}} $\leftrightarrow$
\fbox{\begin{tabular}{c}
Relaciones entre funciones (posiciones \\ y momentos) y sus derivadas
\end{tabular}}}
\end{center}

{\small El ejemplo más famoso es el movimiento de los planetas (Newton)}

\

{\setbeamercolor{block title}{bg=Gris}
\begin{block}{Problema práctico:}
Muchas veces estas ecuaciones no tienen soluciones explícitas. ¿Cómo se resuelven numéricamente con el ordenador?
\end{block}}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Circunferencias no circulares}



\begin{block}{Un modelo sencillo}
Consideramos el movimiento de una partícula $\big(x(t),y(t)\big)$ regido por:
\[
\begin{cases}
 x'=-y&
\\
y'= x&
\end{cases}
\qquad\text{partiendo de }\quad \big(x(0),y(0)\big)=(1,0)
\]
La solución es  $x(t)=\cos t$,
$y(t)=\sen t$.
\end{block}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Circunferencias no circulares}



\begin{block}{Un método sencillo (el \textit{método de Euler})}
Usamos 
$x'(t) \approx \dfrac{x(t+h)-x(t)}h$,
$y'(t) \approx \dfrac{y(t+h)-y(t)}h$.

Nuestro problema se convierte en las ecuaciones aproximadas
\[
\begin{cases}
 x(t+h)=x(t)-hy(t)&
\\
 y(t+h)=y(t)+hx(t)&
\end{cases}
\]
\end{block}

\begin{block}{}
A partir de  $\big(x(0),y(0)\big)=(1,0)$ se aproxima $\big(x(h),y(h)\big)$ y después
$\big(x(2h),y(2h)\big)$ y así sucesivamente. Uniendo los puntos, se tiene una aproximación de la solución.
\end{block}

{\small $h\to 0$ $\Rightarrow$ solución exacta}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Circunferencias no circulares}

\begin{block}{Análisis del error}
Taylor $\rightarrow$ error de orden $h^2$ en cada paso

$[0,T]$ requiere $T/h$ pasos  $\rightarrow$  error total de orden $hT$.
\end{block}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics[scale=0.32]{./imap/euler1.png}
&\ &
\includegraphics[scale=0.32]{./imap/euler2.png}
\\
\small
$h=0.001$, $t\in[0,10\pi]$
&\ &
\small
$h=1/31$, $t\in[0,10\pi]$
\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Circunferencias no circulares}

\begin{block}{Otro problema con solución $x(t)=\cos t$,
$y(t)=\sen t$}
\vspace{-9pt}
\[
\begin{cases}
 x'=-y+\frac 12x(x^2+y^2-1)&
\\
y'= x+\frac 12y(x^2+y^2-1)&
\end{cases}
\qquad\text{con }\quad \big(x(0),y(0)\big)=(1,0)
\]
\end{block}

\vspace{-20pt}
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.36]{./imap/euler3.png}
\end{tabular}
&\hspace{-20pt} &
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.42]{./imap/euler4.png}
\end{tabular}
\\
\small
$h=0.001$, $t\in[0,2\pi]$
&\hspace{-20pt} &
\small
$h=0.001$, $t\in[0,2\pi]$
\\
\small
&\hspace{-20pt} &
\small
$1/2\leftrightarrow 0.5599$
\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Circunferencias no circulares}


{\setbeamercolor{block title}{bg=Gold}
\begin{block}{{\color{masrojo}\textbf{La pregunta del alumno listillo (IV)}}}
¿Por qué el método funciona en unos problemas y no en otros?
\end{block}
}



\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.4]{./imap/listillo.png}
\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{El $\epsilon$-máquina y sumas no reordenables}
\begin{frame}
\frametitle{El $\epsilon$-máquina y sumas no reordenables}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{black}$\epsilon$-máquina}
Es el máximo \underline{error relativo} que el ordenador puede detectar. 
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
\small
En doble precisión en C/C++ es $2^{-53}\approx 10^{-16}$.
\end{block}}

\begin{center}
\footnotesize
{\setlength{\fboxrule}{2pt}\setlength{\fboxsep}{1pt}\fbox{\begin{tabular}{l}
\textbf{¿Cómo se almacena internamente $-1.3521606\cdot
10^{30}
%=-\frac{2^{104}}{15}
=-\frac{16}{15}2^{100}$?}
\\[8pt]
\textsf{Signo:} $-$ $\to$ 1
\\
\textsf{Exponente:} 100 $\to$ 1100100 en binario
\\
\textsf{Mantisa:} $16/15$ $\to$ $1.010101{\dots}$ en binario
\\[9pt]
\setlength{\fboxrule}{0.5pt}\setlength{\fboxsep}{2pt}
$
\xrightarrow[\text{1 bit: signo}]{\boxed{1}}
\quad
\xrightarrow[\text{11 bits: exponente}]{\boxed{0}\boxed{0}
\ \dots\ \dots
\boxed{1}\boxed{1}\boxed{0}\boxed{0}\boxed{1}\boxed{0}\boxed{0}}
\quad
\xrightarrow[\text{52 bits: mantisa}]{\boxed{0}\boxed{1}\boxed{0}\boxed{1}
\ \dots\ \dots
\boxed{0}\boxed{1}\boxed{0}\boxed{1}}
$ 
\end{tabular}}}
\end{center}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{El $\epsilon$-máquina y sumas no reordenables}

\vspace{-15pt}

{\setbeamercolor{block title}{bg=Pink}
\begin{block}{}
$\epsilon$ = $\epsilon$-máquina
\qquad\ \qquad $\color{masrojo}\boxed{1+\epsilon=1}$
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\begin{block}{Las sumas (y productos) computacionales no se pueden reordenar}
{\small $\text{2.01+0.00003+0.00004+0.00004}\ne \text{0.00003+0.00004+0.00004+2.01}$

Con $\epsilon=5\cdot 10^{-4}$}
\begin{center}
\small
\fbox{\begin{tabular}{cl}
&2.01\\
+&0.00003\\
=&2.01\\
+&0.00004\\
=&2.01\\
+&0.00004\\
=&\fbox{2.01}
\end{tabular}}
\qquad\ \qquad
\fbox{\begin{tabular}{cl}
&0.00003\\
+&0.00004\\
=&0.00007\\
+&0.00004\\
=&0.00011\\
+&2.01\\
=&\fbox{2.0101}
\end{tabular}}
\end{center}
\end{block}}

\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{El $\epsilon$-máquina y sumas no reordenables}


\begin{block}{Un ejemplo}
Queremos aproximar $\pi^4$ usando 100000 términos en 
\[
 {\pi^4}=\smash{\sum_{m=1}^\infty \frac{90}{m^4}}.
\]
\textbf{Suma directa:}
\[
\frac{1}{1^4}+
\frac{1}{2^4}+
\frac{1}{3^4}+
\dots +
\frac{1}{100000^4}
\ \to\ \text{error}= \text{1.93}\cdot 10^{-11}
\]
\textbf{Suma inversa:}
\[
\frac{1}{100000^4}+
\frac{1}{99999^4}+
\dots +
\frac{1}{1^4}
\ \to\ \text{error}= \text{4.26}\cdot 10^{-14}
\]
Con el orden inverso al habitual, el error es
400 veces menor. 
\end{block}

\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{El $\epsilon$-máquina y sumas no reordenables}


\begin{block}{Ideas $\epsilon=2^{-53}\approx 10^{-16}$}
Sumar un número que tiene la coma 16 lugares más a la izquierda no tiene ningún efecto 
\vspace{-7pt}
\[
x,\qquad y=\epsilon x,\qquad z=x(1+\epsilon)\ \Rightarrow\ 
x+y=x,\quad z-x=0
\]
\end{block}

\begin{alertblock}{Con el ordenador}
\begin{itemize}
\item
Es mejor sumar números de tamaños comparables
\item
Evitar restar números muy próximos (en tamaño relativo)
\end{itemize}
\end{alertblock}



\begin{block}{}
No se pueden hallar con seguridad incrementos de una cantidad que corresponden a un error relativo $\epsilon$. En particular el cociente incremental deja de aproximar a la derivada a esa escala.
\end{block}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{Más cuentas, menos precisión}
\begin{frame}
\frametitle{Más cuentas, menos precisión}

Recordemos que teníamos dos algoritmos idénticos:

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
\begin{tabular}{l}
$a_1=1$
\\[5pt]
$\displaystyle a_n=
\frac{\sqrt{1+a_{n-1}^2}-1}{a_{n-1}}
$
\end{tabular}
\quad
&
\quad
\begin{tabular}{l}
$b_1=1$
\\[5pt]
$\displaystyle b_n=
\frac{b_{n-1}}{\sqrt{1+b_{n-1}^2}+1}$
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{center}
\end{block}}

Según la teoría, $2^{n+1}a_n$ y $2^{n+1}b_n$ tienden a $\pi$, pero numéricamente sólo ocurría con el segundo.  


{\setbeamercolor{block title}{bg=Cyan}
\begin{block}{}
\begin{center}
\tt\footnotesize
\begin{tabular}{|c|c|c|}
$n$ & $2^{n+1}a_n$ & 	$2^{n+1}b_n$  \\ \hline
22 & 3.14097079560249 & 3.14159265358994 \\ \hline
23 & 3.13398329388536 & 3.14159265358983 \\ \hline
24 & 3.11105678802532 & 3.14159265358980 \\ \hline
25 & 3.05362474788830 & 3.14159265358980 \\ \hline
26 & 2.61983729517922 & 3.14159265358979 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{block}}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Más cuentas, menos precisión}

\begin{block}{}
$\epsilon$=$\epsilon$-máquina
\ $\Rightarrow$\  $(1+\epsilon)/\epsilon-1/\epsilon=0$ para el ordenador
\end{block}

\begin{block}{}
{\color{masrojo}$(1+\delta)/\delta-1/\delta=\text{indeterminado}$ si $\delta$ es comparable a
$\epsilon$}

\vspace{6pt}

{\sl\small Por ejemplo, $\delta\approx 2\epsilon$ $\Rightarrow$  $1+\delta$ y $1+\delta\pm \delta/2$ indistinguibles
para el ordenador $\Rightarrow$ podría tenerse $(1+\delta)/\delta-1/\delta=3/2$ ó $1/2$}
\end{block}


\begin{block}{}
{\color{masrojo}$(1+\delta)/\delta+1/\delta=2/\delta$ si $\delta$ es comparable a
$\epsilon$}

\vspace{6pt}

El error relativo es comparable a $\epsilon$  $\Rightarrow$ inapreciable
\end{block}

\end{frame}

%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Más cuentas, menos precisión}

\vspace{-9pt}

\begin{alertblock}{Primer algoritmo}
$\sqrt{1+a_{n-1}^2}-1\approx (1+\delta)-\delta$ con $\delta =a_{n-1}^2/2$

\qquad Si $\delta$ se acerca a $\epsilon$ hay problemas
\end{alertblock}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
\begin{center}
\tt\footnotesize
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
$n$ & $2^{n+1}a_n$ & 	$a_{n-1}$		& 	$a_{n-1}^2/2$  \\ \hline
22 & 3.1409707956 & 7.4897889110e-7 & 2.8048468965e-13 \\ \hline
23 & 3.1339832938 & 3.7443289704e-7 & 7.0099997194e-14 \\ \hline
24 & 3.1110567880 & 1.8679996096e-7 & 1.7447112708e-14 \\ \hline
25 & 3.0536247478 & 9.2716717363e-8 & 4.2981948392e-15 \\ \hline
26 & 2.6198372951 & 4.5502554593e-8 & 1.0352412372e-15 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{MyDarkBlue}Segundo algoritmo}
No hay problema al sumar números comparables
\end{block}}

\end{frame}

%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{¿Cómo se inventaron los logaritmos neperianos?}
\begin{frame}
\frametitle{¿Cómo se inventaron los logaritmos neperianos?}

\begin{block}{J. Neper 1550-1617

Descripción de las leyes maravillosas de los logaritmos (1614)}

\begin{tabular}{lcr}
\begin{tabular}{l}
\includegraphics[scale=0.25]{./imap/mirifi_l.png}
\end{tabular}
&&\hspace{-35pt}
\begin{tabular}{p{5.9cm}}
\footnotesize
{\bf 6. Def.}
Logarithmus ergo cujusque sinus, est numerus quam proxime definiens lineam,
quae aequaliter crevit, interea, dum sinus totius, linea proportionaliter in sinum illum
decrevit, existente utroque motu synchrono, atque initio \ae{}quiveloce.

\hrulefill

\footnotesize
Por tanto, el Logaritmo de cualquier seno es el número que con aproximación define la línea que se 
\textit{incrementa igualmente} al mismo tiempo que la línea para el \textit{seno completo}
\textit{decrece proporcionalmente} en dicho seno, siendo ambos movimientos síncronos y con la misma
velocidad
inicial.
\end{tabular}
\end{tabular}

\end{block}


\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Cómo se inventaron los logaritmos neperianos?}

\begin{block}{¿Qué significa esto?}
Neper definió el logaritmo neperiano considerando el chiste de  reduzca con infinitas señales, una en cada punto. Si la distancia inicial a Reduzca es~1 entonces el logaritmo neperiano de la distancia del coche a Reduzca es en valor absoluto igual al
tiempo. 
\end{block}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
\[
\ln x=-\text{tiempo que tarda el coche de $1$ a $x$}
\] 
\end{block}}



\begin{center}
{\includegraphics[scale=0.25]{./imap/reduzcac.png}}
\end{center}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Cómo se inventaron los logaritmos neperianos?}

\begin{block}{Notación original de Neper}
\begin{itemize}
\item
Tablas para con 7 cifras $\to$ distancia inicial = $10^7$ (\textit{seno completo})
\item
Tablas astronómicas para navegación $\to$ logaritmos de razones trigonométricas
\item
Números positivos $\to$ cambio de signo
\end{itemize}
\end{block}



{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
$\ln_{\text{orig}} x$ = logaritmo neperiano de Neper

$\ln_{\text{act}} x$ = logaritmo neperiano actual
\[
 \ln_{\text{orig}} x= -10^7\ln_{\text{act}}\frac{x}{10^7}
\]
\end{block}}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Cómo se inventaron los logaritmos neperianos?}

\begin{block}{Notación original de Neper}
\begin{itemize}
\item
\textit{incrementarse igualmente} = paso uniforme del tiempo, representado en una recta con divisiones equidistribuidas. 
\item
\textit{decrecer
proporcionalmente} = seguir la trayectoria del coche, representado con divisiones que se van
juntando por la disminución de la velocidad. 
\end{itemize}
\end{block}

Dibujo original de Neper:

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
\includegraphics[scale=0.5]{./imap/neper_l.png}
\end{tabular}
\end{center}

{\footnotesize Posiciones al cronometrar un coche normal y el coche
de Reduzca}

\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Cómo se inventaron los logaritmos neperianos?}

\begin{block}{¿Cuántas señales hay que poner para tardar más de dos días?}
$N=\text{número de señales}$, \qquad
$T=\text{tiempo empleado en llegar}$


\begin{enumerate}
\item
Más señales $\Rightarrow$ más tiempo 
\item 
Neper
$\Rightarrow$ con infinitas señales se llega a $1/N$ (en cientos de kilómetros) en $-\ln(1/N)$ horas 
\item
El último tramo se recorre en una hora
\end{enumerate}
\end{block}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
\[
 T=1+ T_u<1+\ln N
\qquad\Longrightarrow\qquad
N>e^{T-1}.
\]
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
Si $T>48$ entonces $N>2.5\cdot 10^{20}$ un número de operaciones inasequible para un ordenador.
\end{block}}


\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Cómo se inventaron los logaritmos neperianos?}


\begin{block}{Una cota superior para $N$}
$N=\text{número de señales}$, \qquad
$T=\text{tiempo empleado en llegar}$

Simplificando la fórmula original
\[
T=  \frac{1}{N}+
 \frac{1}{N-1}+
 \frac{1}{N-2}+
\dots+
 \frac{1}{3}+
 \frac{1}{2}+
 \frac{1}{1}.
\]
\end{block}


\begin{block}{}
Comparando sumas (superiores) con integrales 
\[
T> \int_1^{N+1}x^{-1}dx=\ln(N+1)
\]
entonces $T>48$ es válido cualquier  $N$ con $N>e^{48}-1$.
\end{block}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{Equilibrio inestable}
\begin{frame}
\frametitle{Equilibrio inestable}


\begin{block}{Dos problemas con solución $x(t)=\cos t$,
$y(t)=\sen t$}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc|cc}
$\begin{cases}
 x'=-y&
\\
y'= x&
\end{cases}$
&\qquad
&\qquad &
$\begin{cases}
 x'=-y+\frac 12x(x^2+y^2-1)&
\\
y'= x+\frac 12y(x^2+y^2-1)&
\end{cases}$
\end{tabular}
\end{center}
bajo la condición inicial $\big(x(0),y(0)\big)=(1,0)$.
\end{block}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
El primero se comporta bien con la aproximación 
\[
x'(t) \approx \dfrac{x(t+h)-x(t)}h,\qquad
y'(t) \approx \dfrac{y(t+h)-y(t)}h
\]
y el segundo no.
\end{block}}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Equilibrio inestable}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
$\big(x(t),y(t)\big)$ = posición de la partícula

$\big(x'(t),y'(t)\big)$ = dirección en la que se mueve
\end{block}}


\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics[scale=0.38]{./imap/phase_p1.png}
&\qquad&
\includegraphics[scale=0.38]{./imap/phase_p2.png}
\\
\small 
Primer problema
&\qquad&
\small 
Segundo problema
\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Equilibrio inestable}

\begin{block}{}
Cualquier leve error que saque a la partícula de la circunferencia unidad, hará que se dirija al infinito. 
\end{block}


\begin{block}{Solución analítica (problema I)}
Con coordenadas polares,  $x(t)=r(t)\cos\alpha(t)$, 
$y(t)=r(t)\sen\alpha(t)$
\[
 \begin{cases}
  r'\cos\alpha-r\alpha'\sen\alpha = -r\sen \alpha &
\\
  r'\sen\alpha+r\alpha'\cos\alpha = r\cos \alpha &
 \end{cases}
\]
\end{block}


\begin{block}{}
Multiplicando por $\cos\alpha$ y $\sen\alpha$ y sumando:
\vspace{-10pt}
\[
r'=0\ \Rightarrow\ r=\text{cte.}
\]
Las trayectorias son siempre circunferencias.
\end{block}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Equilibrio inestable}


\begin{block}{Solución analítica (problema II)}
\[
 \begin{cases}
  r'\cos\alpha-r\alpha'\sen\alpha = -r\sen \alpha+\frac 12 r(r^2-1)\cos \alpha &
\\
  r'\sen\alpha+r\alpha'\cos\alpha = r\cos \alpha+\frac 12 r(r^2-1)\sen \alpha &
 \end{cases}
\]
\end{block}


\begin{block}{}
Multiplicando por $\cos\alpha$ y $\sen\alpha$ y sumando:
\vspace{-10pt}
\[
r'=\frac 12 r(r^2-1) \ \xrightarrow{\quad\text{ cálculos }\quad} \ 
 r(t)=\frac{1}{\sqrt{1-\lambda_0e^t}}
\]
\end{block}

\begin{alertblock}{}
$r(0)=1$ $\Rightarrow$ $\lambda_0=0$ $\Rightarrow$ $r(t)=1$

$r(0)=1+\delta$ $\Rightarrow$ $\lambda_0>0$ $\Rightarrow$ $r(t)\to\infty$
si $t\to\ln(1/\lambda_0)$

\

\underline{Ej}: $r(0)=1+10^{-6}$  $\Rightarrow$ $\lambda_0\approx 2\cdot 10^{-6}$
$\Rightarrow$ $r(13.12\dots)=\infty$
\end{alertblock}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{¿Remedando a Arquímedes?}
\begin{frame}
\frametitle{¿Remedando a Arquímedes?}

\begin{block}{}
Simplificamos el método de Arquímedes para aproximar la longitud de la circunferencia unidad, $2\pi$, considerando la línea poligonal con segmentos contenidos en $x=nh$, $y=nh$, $n\in \Z$, lo más
próxima
posible al exterior de la circunferencia.
\end{block}
\vspace{-8pt}
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics[scale=0.37]{./imap/ccircle1.png}
&\quad&
\includegraphics[scale=0.37]{./imap/ccircle2.png}
\\[-8pt]
$h=1/5$ &\quad& $h=1/10$ 
\end{tabular}
\end{center}
 
\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Remedando a Arquímedes?}

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics[scale=0.37]{./imap/ccircle3.png}
&\quad&
\includegraphics[scale=0.37]{./imap/ccircle4.png}
\\[-8pt]
$h=1/15$ &\quad& $h=1/20$ 
\end{tabular}
\end{center}
 
\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Remedando a Arquímedes?}

\begin{block}{}
Cuando $h\to 0^+$ la línea poligonal se acerca indefinidamente a la circunferencia.
\end{block}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
Con un programa podemos comprobar que para $h=1/100$ la longitud de la
línea poligonal es~$8$, también lo es para $h=1/1000$ y para una millonésima.
\end{block}}

\begin{alertblock}{}
¿Debemos entonces concluir que $2\pi =8$ y entonces
\[
\boxed{\pi =4}?
\]
\end{alertblock}
 
\end{frame}

\end{document}



