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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	SPANISH
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	MACROS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 
\newcommand{\F}{\mathbb{F}} 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	COLORES
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definecolor{MyDarkBlue}{rgb}{0,0.08,0.45}
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\definecolor{masrojo}{rgb}{0.7,0,0}
%  \colorlet{darkred}{red!80!black}
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\definecolor{subblue}{rgb}{0.27, 0.51, 0.71} 


\mode<presentation>{
%\usetheme[numbers]{Warsaw} %Rebordes y n\'{u}meros
\usetheme{Frankfurt} %Rebordes y n\'{u}meros indice con puntos
%\usecolortheme{seahorse} % Rebordes malvas
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%\usefonttheme[onlylarge]{structuresmallcapsserif} %\sc en t\'{\i}tulos
%\usefonttheme[onlysmall]{structurebold} % t\'{\i}tulo de arriba en negrita ??
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%\setbeamercolor{title}{fg=red!80!black,bg=red!20!white} %t\'{\i}tulo en rojo con algo de negro y
%fondo rojiblanco
}







\title[\insertframenumber\quad Números y aplicaciones]{Números y aplicaciones}


\author[F. Chamizo]{Fernando Chamizo}
\date{\footnotesize\url{http://www.uam.es/fernando.chamizo}}
\institute{\textsc{\large Ciencia con Entusiasmo}
\\
\
\\
\small 23 de mayo de 2012
\
\\
Facultad de Ciencias
\\
Universidad Autónoma de Madrid
}

\begin{document}

\setbeamertemplate{headline}
{%
\begin{beamercolorbox}{section in head/foot}
%%\alert{\ \insertframenumber\ de \inserttotalframenumber}
\ \vspace{6.5pt}\par \insertnavigation{\paperwidth}\vspace{2.5pt}
\end{beamercolorbox}%
}





%\end{document}





%%%%%%%%%%%%
% SLIDE 0  %
%%%%%%%%%%%%
%Title
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%
% SLIDE 0+ %
%%%%%%%%%%%%
%%Index
%%\section*{\'{I}ndice}
%\begin{frame}
%\frametitle{\'{I}ndice}
%%\tableofcontents[pausesections]
%\tableofcontents
%\end{frame}






%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{Matemáticas}
\begin{frame}
\frametitle{Matemáticas, Ciencia y sociedad}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
\begin{center}
Las matemáticas son una parte importante de la Ciencia
\end{center}\end{block}}


\begin{itemize}\LARGE
\item<2-| alert@2-> ¡Y la biología también!
\item<3-| alert@3-> ¡Y la física también!
\item<4-| alert@4-> ¡Y la química también!
\end{itemize}

\uncover<5->{Pero\dots

{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\begin{block}{}
\begin{itemize}
\item 
Hay comparativamente poca divulgación en matemáticas
\item
Captan poca atención del público y los medios
\end{itemize}
\end{block}}
}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Qué son las Matemáticas?}


{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\begin{block}{}
De hecho las matemáticas son bastante desconocidas en comparación con otras ciencias, incluso por
personas de nivel cultural alto.
\end{block}}


%\renewcommand{\CancelColor}{\color{red}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
Definir las matemáticas es demasiado ambicioso pero siempre podemos mostrar ejemplos
sencillos y decir algunas palabras bonitas. Algunas de las que se vendrían a la cabeza de muchos
matemáticos son:

\begin{center}
\only<1>{\hspace{23pt}}\sl \large\color{blue} \uncover<1->{belleza,} \uncover<1->{simetría,}
\uncover<1->{generalidad,} \uncover<1->{creatividad,}
\only<1>{rigor}\uncover<2->{\xcancel{rigor}
certeza.} 
\end{center}
\end{block}}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Un lamento muy común}



{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
La mayor parte de los estudiantes de Ciencias  y científicos profesionales están más expuestos a los
aspectos utilitarios de las matemáticas mientras que la parte estética, que los matemáticos
consideran esencial, pasa inadvertida.
\end{block}}

\

\begin{footnotesize}
{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\begin{block}{\color{black}R. Guralnick en el prólogo de \textit{A Concise Introduction to Pure
Mathematics} de
M. Liebeck}\color{blue}
One of the great difficulties in teaching undergraduate mathematics at universities in the United
States is the great gap between teaching students a set of algorithms (which is very often the bulk
of what is learned in calculus) and convincing students of the power, beauty and fun of the the
basic concepts in mathematics.
\end{block}}
\end{footnotesize}

\end{frame}





%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Qué es un teorema?}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
\begin{center}
\color{blue}Un teorema es una verdad matemática que sabemos demostrar
\end{center}\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\small
Un teorema viene normalmente precedido por alguna experimentación (aunque sea abstracta) y una
conjetura.



Por ejemplo, jugando con los números nos podemos percatar de que la suma de los $n$ primeros
números impares es el cuadrado de $n$

\

\begin{footnotesize}\begin{tabular}{l}
$1+3=2^2$
\\
$1+3+5=3^2$
\\
$1+3+5+7=4^2$
\\
$1+3+5+7+9=5^2$
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}{l}
$1+3+5+7+9+11=6^2$
\\
$1+3+5+7+9+11+13=7^2$
\\
$1+3+5+7+9+11+13+15=8^2$
\\
$1+3+5+7+9+11+13+15+17=9^2$
\end{tabular}
\end{footnotesize}

\end{block}}


\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{Mini-teorema}
Para cualquier entero positivo $n$ se cumple
\[
1+3+5\dots+\text{enésimo impar}=n^2
\]

\end{block}


\uncover<2->{
\textbf{Mini-demostración:}
\begin{center}

\begin{tabular}{cccccl}
\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
&
\only<3->{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/blanca.png}}%
\only<-2>{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}}
&
\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
&
\only<3->{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/blanca.png}}%
\only<-2>{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}}
&
\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
& \\
\only<3->{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/blanca.png}}%
\only<-2>{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}}
	&
\only<3->{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/blanca.png}}%
\only<-2>{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}}
	&
	\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
	&
	\only<3->{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/blanca.png}}%
\only<-2>{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}}
	&
	\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
& \\
\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
&
\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
&
\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
&
\only<3->{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/blanca.png}}%
\only<-2>{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}}
&
\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
& \uncover<3->{$\longrightarrow\qquad 1+3+5+7+9=5^2$}
\\
	\only<3->{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/blanca.png}}%
\only<-2>{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}}
	&
	\only<3->{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/blanca.png}}%
\only<-2>{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}}
	&
	\only<3->{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/blanca.png}}%
\only<-2>{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}}
	&
	\only<3->{\only<3->{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/blanca.png}}%
\only<-2>{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}}}%
\only<-2>{\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}}
	&
	\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
& \\
\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
&
\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
&
\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
&
\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
&
\includegraphics[scale=0.173]{./imag/azul.png}
& 
\\[-5pt]
&&&&&
{\large \hspace{-12pt}$\ddots$\uncover<4->{\ $\rightarrow\ 1+3+\dots+(2n-1)=n^2$}}
\end{tabular}
\end{center}}

\end{frame}





%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Un ejemplo más profundo}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
La belleza de un teorema se asocia muchas veces en su capacidad para mostrar relaciones inesperadas.
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{\color{blue}Aproximación de razones trigonométricas por polinomios (Taylor)}
\begin{eqnarray*}
\sen x &=& x-\frac{x^3}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{x^5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}
+\dots\text{\quad (fácil)}
\\
\cos x &=& x-\frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}
+\dots\text{\quad (fácil)}
\\[7pt]
\tan x &=& \ x\ +\ \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\dots\text{\quad (números
raros)}
\\
&& \uncover<2->{\color{masrojo}c_2 x+c_4 x^3+c_6x^5+c_8x^7+\dots}
\end{eqnarray*}
\end{block}}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Un ejemplo más profundo}

\vspace{-20pt}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\begin{eqnarray*}
\tan x &=& \ x\ +\ \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\dots\text{\quad (números
raros)}
\\
&& {c_2 x+c_4 x^3+c_6x^5+c_8x^7+\dots}
\end{eqnarray*}
\end{block}}

\begin{block}{Teorema\hfill ($n=\text{par}$)}
\begin{tabular}{lp{8cm}}
$\displaystyle{\frac{2}{c_n}\Big(\frac{2}{\pi}\Big)^n}$
& es la probabilidad de que $n$ números impares escogidos al azar no tengan un divisor común.
\end{tabular}
\end{block}

\uncover<2->{\begin{itemize}
\item 
Aproximación por polinomios $\longrightarrow$ Análisis
\item 
Divisores $\longrightarrow$ Aritmética
\item 
$\pi$ $\longrightarrow$ Geometría
\item 
Azar $\longrightarrow$ Probabilidad
\end{itemize}}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Fabrique su propio teorema}

\begin{block}{Ejercicio:}
Enunciar y probar un teorema que explique por qué las potencias de $2+\sqrt{3}$ están muy cerca de
ser un
entero:
\end{block}

\

\begin{tabular}{ccr}
\uncover<2->{$(2+\sqrt{3})^{4}$ & $=$ & $
                193.\alert<6->{99}48452238571284375 $} \\
\uncover<3->{$(2+\sqrt{3})^{8}$ & $=$ & $
              37633.\alert<6->{9999}734282829168821 $} \\
\uncover<4->{$(2+\sqrt{3})^{12}$ & $=$ & $
            7300801.\alert<6->{999999}8630287467048 $} \\
\uncover<5->{$(2+\sqrt{3})^{16}$ & $=$ & $
         1416317953.\alert<6->{999999999}2939438512 $} \\
\uncover<5->{$(2+\sqrt{3})^{20}$ & $=$ & $
       274758382273.\alert<6->{99999999999}63604386 $} \\
\uncover<5->{$(2+\sqrt{3})^{24}$ & $=$ & $
     53301709843201.\alert<6->{9999999999999}812388 $} \\
\uncover<5->{$(2+\sqrt{3})^{28}$ & $=$ & $
  10340256951198913.\alert<6->{9999999999999999}032 $} \\
\uncover<5->{$(2+\sqrt{3})^{32}$ & $=$ & $
2005956546822746113.\alert<6->{999999999999999999}5 $}
\end{tabular}


\end{frame}






%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{center}
{\huge  ¿Son las matemáticas sólo un divertimento para matemáticos?}
\end{center}
\

\

\begin{center}
{\Huge  ¿De verdad  hay aplicaciones?}
\end{center}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{en la Naturaleza}
\begin{frame}
\frametitle{Matemáticas en la naturaleza (física)}


\begin{block}{Einstein (1879--1955)  Premio Nobel de Física en 1921}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.22]{./imag/einstein.jpg}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.8cm}}
\lq\lq
¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano
independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad?''
	\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}


\begin{block}{E.P. Wigner (1902--1995) Premio Nobel de Física en 1963}
\begin{tabular}{cl}
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.2]{./imag/wigner.jpg}
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{p{7.0cm}}
\lq\lq
La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza el misterio y que
no tiene explicación racional''.
	\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}

\vspace{-6pt}
\begin{small}\begin{block}{}
\lq\lq El milagro de lo apropiado que es el lenguaje de las matemáticas para 
la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que 
ni entendemos ni merecemos''.
\end{block}\end{small}


\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{Las ecuaciones de Maxwell}
$\vec{E}=$campo eléctrico, 
$\vec{B}=$campo magnético 
\begin{eqnarray*}
\text{div\;} \vec{E}=\epsilon^{-1}\rho
&\qquad &
\text{div\;} \vec{B}=0
\\
\text{rot\;} \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
&\qquad &
\text{rot\;} \vec{B}=\mu_0\vec{\j}+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
\end{eqnarray*}
donde $\epsilon_0$, $\mu_0$, son ciertas constantes y $\rho$ y $\vec{\j}$ son las densidades de
carga y corrientes (son nulas en el \lq\lq vacío'').
\end{block}}

\footnotesize
Si $\vec{F}=(F_1,F_2,F_3)$ es un campo vectorial, entonces
\[
\text{div\;}\vec{F}
=
\frac{\partial F_1}{\partial x}
+\frac{\partial F_2}{\partial y}
+\frac{\partial F_3}{\partial z}
\]

\[
\text{rot\;}\vec{F}
=
\Big(
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\ 
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\ 
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}
\Big)
\]


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\textbf{Prueba de que son ciertas:} 
\uncover<2->{Encender la televisión.}


\uncover<3->{\textbf{Prueba de que son importantes:} 
Encender la televisión.}

\uncover<4->{
{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
Los experimentos que llevaron a las ecuaciones de Maxwell no tienen mucho que ver con su aspecto.
Estas ecuaciones nos dan una forma cómoda (!!!) de razonar matemáticamente con los fenómenos
electromagnéticos. De ellas se deduce por ejemplo que hay ondas electromagnéticas que viajan a unos
300000km/s.

Maxwell lo hizo antes de que se generasen las primeras ondas de radio y conjeturó que la luz era una
onda electromagnética.
\end{block}}

\

Ecuaciones de Maxwell $\xrightarrow{\text{Mini-teorema (cálculo)}}$ Ecuación de ondas

\

Forma integral $\xrightarrow{\text{Teorema de Stokes}}$ Forma diferencial 

}
\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{\color{black}\bf Un ejemplo más conocido:}
Datos experimentales $\xrightarrow{\quad\text{\qquad}\quad}$ 
\begin{tabular}{l}
Las órbitas de los planetas 
\\ 
parecen ser elípticas
\end{tabular}


Modelo $\xrightarrow{\quad\text{\qquad}\quad}$ Fuerza gravitatoria$=-GMm/r^2$

\vspace{5pt}
Fuerza$=-GMm/r^2$ $\xrightarrow{\quad\text{Teorema}\quad}$ Órbitas elípticas
\end{block}}

\pause

\begin{block}{}
\sl\small
El universo [...] no puede entenderse si antes no se aprende a entender la lengua en la cual está
escrito y conocer sus caracteres. Está escrito en la lengua matemática y sus caracteres son
triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin los cuales es imposible entender humanamente
ni una palabra. Sin ellos es agitarse vanamente en un oscuro laberinto.''

\hfill\textsc{Galileo Galilei}
\end{block}
\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{en el bolsillo}
\begin{frame}
\frametitle{Matemáticas en nuestro bolsillo}

\begin{block}{}
En la sociedad de la información  necesitan incorporar algoritmos que lleven a cabo 
detección de errores y, si fuera posible, su corrección.
\end{block}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}

\begin{tabular}{lp{8cm}}
\raise-20pt\hbox{\begin{tabular}{l}
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/CD.png}
\end{tabular}}
&
Los mejores ejemplos cotidianos son los CD y los DVD en los que la corrección de errores se lleva a
cabo continuamente y en tiempo real con algoritmos muy complicados.
\end{tabular}

\footnotesize\color{blue}
 CD $\longrightarrow$\ RS(32,28),  RS(28,24)\hfill
 DVD $\longrightarrow$\ RS(208,192),  RS(182,172)
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
También hay otros ejemplos \lq\lq de bolsillo''. menos poderosos.
\end{block}}


\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\frametitle{La letra del DNI/NIF}


\begin{tabular}{lc}
{\footnotesize Correspondencia} &

\begin{tiny}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11
\\
\hline
T&R&W&A&G&M&P&Y&D&F&X&B
\\
\hline
\end{tabular}\end{tiny}

\\[4pt]

{\footnotesize Números-caracteres} &
\begin{tiny}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22
\\
\hline
N&J&Z&S&Q&V&H&L&C&K&E
\\
\hline
\end{tabular}\end{tiny}

\end{tabular}


\begin{block}{}
La letra del DNI/NIF se obtiene consultando en la tabla anterior el resto del número al dividir
entre 23.
\[
\text{\bf Ejemplo:\quad}{\color{blue}41592654} \div 23\rightarrow \text{resto}=6\ \Rightarrow\
{\color{blue}\text{P}}
\]
\end{block}
 

\pause


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Con esta información redundante, se pueden detectar errores pero no corregirlos. 
Pero se puede recuperar el valor de un dígito ilegible:
\[
{\color{blue}415926\text{\hspace{-6.141pt}\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=0.3]{%
./imag/borron.png}\end{tabular}\hspace{-6.141pt}}4\text{ P} }\ \Rightarrow\ 
{\color{blue}41592654\text{ P} }
\]
\end{block}}


\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\frametitle{El Código Cuenta Cliente}



\begin{block}{¿Es posible posible hacer una transferencia por error?}
Sí, pero es difícil. En un cajero automático debemos teclear 20 dígitos del Código Cuenta Cliente
(CCC). Los 8 primeros indican la entidad y la sucursal y los 10 últimos el número de cuenta:
 

\begin{footnotesize}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hspace{-5pt}$e_1$&\hspace{-5pt}$e_2$&\hspace{-5pt}$e_3$\hspace{-5pt}&\hspace{-5pt}$e_4$
\\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hspace{-5pt}$s_1$&\hspace{-5pt}$s_2$&\hspace{-5pt}$s_3$\hspace{-5pt}&\hspace{-5pt}$s_4$
\\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hspace{-5pt}$d_1$&\hspace{-5pt}$d_2$
\\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hspace{-5pt}$c_1$&\hspace{-5pt}$c_2$&\hspace{-5pt}$c_3$\hspace{-5pt}&\hspace{-5pt}$c_4$
&\hspace{-5pt}$c_5$&\hspace{-5pt}$c_6$&\hspace{-5pt}$c_7$\hspace{-5pt}&\hspace{-5pt}$c_8$
&\hspace{-5pt}$c_9$&\hspace{-5pt}$c_{10}$
\\
\hline
\end{tabular}
\end{footnotesize}
\end{block}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Los dígitos centrales $d_1$, $d_2$, son los \emph{dígitos de control} que sirven para verificar los
datos y deben satisfacer que 11 divida a 
\vspace{-10pt}
\[
 d_1+2^2e_1+2^3e_2+\dots +2^9s_4
\ \text{ y }\ 
d_2+2^0c_1+2^1c_2+\dots +2^9c_9.
\]

\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Tecleando al azar hay una probabilidad entre 100 de que demos con unos números que sean válidos.
\end{block}}


\end{frame}






%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}



{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{black}El ISBN de 13 cifras (EAN 13) 
\hfill\color{masrojo}(último dígito de control)}
\begin{center}
\begin{tabular}{c}\includegraphics[scale=0.45]{./imag/cod.png}\end{tabular}
\ 
\begin{footnotesize}\begin{tabular}{l}
\qquad\ \qquad\  $978123456789|7$
\\
\fbox{impares}\quad $9+8+2+4+6+8=37$
\\
\fbox{$3\cdot$pares}\quad $3\times(7+1+3+5+7+9)=96$
\\
\fbox{suma+$d$}\quad $37+96+7$ es divisible por $10$
\end{tabular}\end{footnotesize}
\end{center}
\end{block}}

\uncover<2->{

\begin{block}{Corregir errores}
Si cada bit lo enviamos 3 veces y hay a lo más un error en la transmisión, lo sabremos
detectar y corregir
\[
1011
 \xrightarrow{\text{codificación}}
111\; 000\; 111\; 111\; 
 \xrightarrow{\text{canal defectuoso}}
111\; 000\; 1\alert<3>{\only<2>{0}\only<3>{1}}1\; 111\; 
\]
\end{block}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Parece que esto es óptimo, pero hay una forma de codificar 4 bits en 7 que permite
detectar y corregir un error.
\end{block}}

}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{en el ordenador}
\begin{frame}
\frametitle{Matemáticas en el ordenador}

\vspace{-5pt}

\begin{block}{Análisis de Fourier}
Las ondas periódicas son superposiciones de tonos puros.
\end{block}

\vspace{-6pt}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\begin{tabular}{c}
{\includegraphics[scale=0.1]{./imag/onda.png}}
\end{tabular}
\hspace{-20pt}
\begin{tabular}{c}
$
\displaystyle
=
\sum_{n=0}^\infty a_n\cos(nx)
+
\sum_{n=1}^\infty b_n\sen(nx)
$
\end{tabular}
\begin{tabular}{c}
{\includegraphics[scale=0.1]{./imag/puro.png}}
\end{tabular}
\end{block}}


\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
	\begin{tabular}{c}
	{\includegraphics[scale=0.16]{./imag/func.png}}
	\\[-5pt]
	\begin{footnotesize}$f:[a,b]\longrightarrow\R$\end{footnotesize}
	\end{tabular}
	&
	\begin{tabular}{c}
	$\longrightarrow$
	\end{tabular}
	&
	\begin{tabular}{c}
	{\includegraphics[scale=0.16]{./imag/func2.png}}
	\\[-5pt]
	\begin{footnotesize}Onda periódica\end{footnotesize}	
	\end{tabular}
\\[27pt]
\hline
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.27]{./imag/rect.png}
	\end{tabular}
	&
	\begin{tabular}{c}
	$\longrightarrow$
	\end{tabular}
	&
	\begin{tabular}{c}
	\includegraphics[scale=0.27]{./imag/toro.png}
	\end{tabular}\qquad (2D)
\end{tabular}
\end{center}



\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\begin{tabular}{c}
{\includegraphics[scale=0.0712]{./imag/gbas7.png}}
\end{tabular}
\begin{tabular}{p{220pt}}
En el mundo digital se utilizan tonos puros discretizados
para analizar señales de audio (1D) o de vídeo (2D)
\end{tabular}
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{Las frecuencias muy altas son indistinguibles}
\includegraphics[scale=0.175]{./imag/tablero0.png}\
\includegraphics[scale=0.175]{./imag/tablero1.png}\
\includegraphics[scale=0.175]{./imag/tablero2.png}\
\includegraphics[scale=0.175]{./imag/tablero3.png}\
\includegraphics[scale=0.175]{./imag/tablero4.png}
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}\footnotesize
En audio, según muestran los experimentos psicoacústicos, además los sonidos de volumen alto
ocultan los siguientes más bajos y los tonos
bajos ocultan los siguientes tonos altos. De aquí que el formato MP3 sea matemáticamente complejo.
\end{block}}



\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{¿Qué contiene un fichero \texttt{.jpg}?}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}\small
Una foto (imagen) se subdivide en trozos pequeños ($8\times 8$ pixels) que se analizan en
frecuencias. La componente en las frecuencias más grandes se consideran \lq\lq con menos
decimales'', exactamente se
guarda, sin decimales,   

\noindent
\hspace{-5pt}\begin{tabular}{p{100pt}}
la componente
de la frecuencia $(f_x,f_y)$ dividida por el elemento correspondiente de
esta tabla: la llamada {\color{blue}matriz de cuantificación}.
\end{tabular}
\fbox{\tiny
\begin{tabular}{l|llllllll}
$\scriptstyle
f_x\backslash f_y\hspace{-5pt}$
&\textbf{0}&\textbf{1}&\textbf{2}&\textbf{3}&\textbf{4}&\textbf{5}&\textbf{6}
&\textbf{7}
\\
\hline
\textbf{0}&{16}&
                                     11&
                                       10&
                                         16&
                                           24&
                                              40&
                                                 51&
                                                    61
\\ \textbf{1}&
                                   12&
                                     12&
                                       14&
                                         19&
                                           26&
                                              58&
                                                 60&
                                                    55
\\ \textbf{2}&
                                   14&
                                     13&
                                       16&
                                         24&
                                           40&
                                              57&
                                                 69&
                                                    56
\\ \textbf{3}&
                                   14&
                                     17&
                                       22&
                                         29&
                                           51&
                                              87&
                                                 80&
                                                    62
\\  \textbf{4}&                                18&
                                     22&
                                       37&
                                         56&
                                           68&
                                              109&
                                                 103&
                                                    77
\\ \textbf{5}&
                                   24&
                                     35&
                                       55&
                                         64&
                                           81&
                                              104&
                                                 113&
                                                    92
\\ \textbf{6}&
                                   49&
                                     64&
                                       78&
                                         87&
                                           103&
                                              121&
                                                 120&
                                                    101
\\ \textbf{7}&
                                   72&
                                     92&
                                       95&
                                         98&
                                           112&
                                              100&
                                                 103&
                                                    99
\end{tabular}}
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}\small
Típicamente cada trozo de foto no tiene grandes variaciones y por tanto las frecuencias grandes
desaparecen casi por completo. Entonces se tiene un fichero con un montón de ceros que es fácil de
comprimir. El resultado es el \texttt{.jpg}.
\end{block}}



\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Los bordes crean frecuencias altas con grandes coeficientes, lo que combinado a la subdivisión en
trozo da lugar a algunos fenómenos curiosos. Las imágenes siguientes son todas de $72\times
72$\;pixels:

\vspace{8pt}

\fbox{\begin{tabular}{l}
\begin{tabular}{c}\small
\includegraphics[scale=0.5]{./imag/tab_72_8.jpg}\
\end{tabular}
$\longrightarrow$ Cuadrados $8\times 8$ $\longrightarrow$ Tamaño= 403 bytes
\\
\begin{tabular}{c}\small
\includegraphics[scale=0.5]{./imag/tab_72_9.jpg}\
\end{tabular}
$\longrightarrow$ Cuadrados $9\times 9$ $\longrightarrow$ Tamaño= 2816 bytes
\\
\begin{tabular}{c}\small
\includegraphics[scale=0.5]{./imag/circle_72.jpg}\
\end{tabular}
$\longrightarrow$ Círculo nítido $\longrightarrow$  Tamaño= 1309 bytes
\\
\begin{tabular}{c}\small
\includegraphics[scale=0.5]{./imag/circled_72.jpg}\
\end{tabular}
$\longrightarrow$ Círculo difuso $\longrightarrow$  Tamaño= 1005 bytes
\end{tabular}}

\end{frame}

%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Paseos aleatorios}

\begin{block}{}\small
Si en una maraña de puntos conectados (un \textit{grafo}) dejamos 100 personas que
eligen caminos al azar, al cabo de algún tiempo ¿dónde estarán?
\end{block}


\begin{center}
\only<1>{\begin{tabular}{c}\fbox{\includegraphics[scale=0.4]{./imag/grafo.png}}\end{tabular}}
\only<2>{\begin{tabular}{c}\fbox{\includegraphics[scale=0.4]{./imag/grafo123.png}}\end{tabular}}
\only<3->{\begin{tabular}{c}\fbox{\includegraphics[scale=0.4]{./imag/grafo.png}}\end{tabular}}
\end{center}

\uncover<3->{{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}\small
Éste es esencialmente el método con el que funciona el algoritmo que ordena los resultados en el
buscador de Google (Page Rank Algorithm).
\end{block}}}

\end{frame}





%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\section{Bibliografía}
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{black}\textbf{Bibliografía para aprender más:}}
\begin{itemize}\setlength{\itemsep}{1pt}
\item
J. Cilleruelo, A. Córdoba. \textit{Los números}. CSIC 2010.
\item
T. Gowers.
\textit{Matemáticas una breve introducción}. Alianza Editorial 2008.
\item
G.H. Hardy.
\textit{Apología de un matemático}.  Nivola 1999.
\item
S. Lang.
\textit{El placer estético de las matemáticas}. 
Alianza Universidad 1992.
 \item 
M. Liebeck. A concise introduction to pure mathematics.  Chapman \& Hall/CRC Mathematics. CRC Press,
Boca Raton, FL, 2011.
\item
I. Stewart.
\textit{De aquí al infinito}. Crítica 1998.
\item
I. Stewart.
\textit{Locos por las matemáticas}.  Crítica 2006.
\item
I. Stewart.
\textit{Cartas a una joven matemática}.  Crítica 2006.
\end{itemize}
\end{block}
}

\begin{footnotesize}\color{black}Hay copia de esta presentación en
\url{http://www.uam.es/fernando.chamizo}\end{footnotesize}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{La solución al ejercicio}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\[
\begin{cases}
(2+\sqrt{3})^n=A+B\sqrt{3}& \text{con $A$ y $B$ enteros}
\\
(2-\sqrt{3})^n=A-B\sqrt{3}
\end{cases}
\]
Sumando ambas ecuaciones
\[
(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n =2A.
\]
Se tiene $2-\sqrt{3}=0\text{.}2679\dots$ (aproximadamente a una cuarta parte). Entonces
$(2-\sqrt{3})^n$ se acerca rápidamente a cero cuando $n$ crece y
\[
(2+\sqrt{3})^n  =2A- (0\text{.}2679\dots)^n=2A-0\text{.}00\dots
\]
\end{block}
}

\end{frame}







\end{document}



