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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\mode<presentation>{
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\usetheme{Frankfurt} %Rebordes y n\'{u}meros indice con puntos
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}







\title{\bf Números naturales, primos y parientes más lejanos} 

\author{Fernando Chamizo Lorente}
\date{}
\institute{Universidad Aut\'{o}noma de Madrid \\ {\tiny http://www.uam.es/fernando.chamizo}
\\
\
\\
{\small 8 de noviembre 2007}
\\
\
\\
\begin{large}{\bf Universidad de Murcia}\end{large}}

\begin{document}

\setbeamertemplate{headline}
{%
%\begin{beamercolorbox}{}
\begin{beamercolorbox}{section in head/foot}
%\alert{\ \insertframenumber\ de \inserttotalframenumber}
\ \vskip6.5pt\par \insertnavigation{\paperwidth}\vskip2pt
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}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 0  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Esto simplemente crea la página del título
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 1.0  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Parte 1}
\begin{frame}
\frametitle{\includegraphics[scale=0.6]{./images/parte1.png}}
%\frametitle{Divide y te sorprenderás}

Si $n\nmid m$ y $2,5\nmid n$ entonces $m/n$ es un decimal periódico puro
\[
\frac23=0'\alert{6}6666\dots
\quad
\frac{24}{11}=2'\alert{18}181\dots
\quad
\frac{23}{21}=1'\alert{09523}09\dots
\]

\uncover<2->{Con el denominador $7$ ocurre algo extraño:
\begin{center}
\begin{tabular}{lll}
$\frac17=0'\alert{142857}14\dots$
&
$\frac27=0'\alert{285714}28\dots$
&
$\frac37=0'\alert{428571}42\dots$ 
\\
& &
\\
$\frac47=0'\alert{571428}57\dots$
&
$\frac57=0'\alert{285714}28\dots$
&
$\frac67=0'\alert{857142}85\dots$
\end{tabular}
\end{center}

¡El mismo periodo reordenado cíclicamente!
}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 1.1  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
Dividiendo como en los viejos tiempos:
\begin{center}
\begin{tabular}{llllllll}
{\textbf{1}}&0& & & & & & $|$\kern-1.5pt\underline{\ 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
\\
&\alert{3}&0& & & & & \ 0'142857
\\
& &\alert{2}&0& & & & 
\\
& & &\alert{6}&0& & & 
\\
& & & &\alert{4}&0& & 
\\
& & & & &\alert{5}&0& 
\\
& & & & & &\alert{1}&
\end{tabular}
\end{center}
\uncover<2->{
Los restos parciales sólo pueden ser 1,2,3,4,5,6 ¡Salen todos!

Al dividir $m/7$ siempre nos enganchamos a un punto de la cadena de restos.
}
\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 1.2  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
Al dividir entre $n$ hay $n-1$ posibles restos parciales.

{\begin{block}{}
\textbf{Microteorema:} La longitud del periodo de $m/n$ es a lo más $n-1$.
\end{block}}

\uncover<2->{\begin{block}{}
\textbf{Miniteorema:} Cuando $m$ varía, los periodos de $m/n$ son permutaciones del de $1/n$ $\Leftrightarrow$ La longitud del periodo es $n-1$.
\end{block}}

\uncover<3->{
¿Hay más ejemplos?
Sí: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109,\dots
\begin{eqnarray*}
\frac 1{17}=0'0588235294117647\dots&
\\
\frac 2{17}=0'1176470588235294\dots&
\end{eqnarray*}
(¿Qué tiene de especial la lista anterior?)
}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 1.3  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\begin{block}{Euler 1758}
\textbf{Teorema:} Sean $a$ y $n$ coprimos y $\phi(n)=n\prod_{p|n}(1-1/p)$, entonces $a^{\phi(n)}$ deja resto $1$ al ser dividido por $n$.
\end{block}

\underline{Ejemplo}: Si $3,5\nmid a$ entonces $15$ divide a $a^8-1$.

\

\qquad $k$-ésimo resto parcial en $1/n$ $=$ resto al dividir $10^k$  entre $n$.


\begin{block}{}
\textbf{Corolario:} 
La longitud del periodo de $1/n$ es un divisor de $\phi(n)$.
\end{block}

\begin{small}$n=p$ $\Rightarrow$ $\phi(n)=n-1$,
\quad $n=p_1p_2$ $\Rightarrow$ $\phi(n)=(p_1-1)(p_2-1)<n-1$\end{small}


\begin{block}{}
\textbf{Corolario:} 
Si la longitud del periodo de $n-1$ entonces $n$ es primo. En particular los \lq\lq números cíclicos'' sólo aparecen para denominadores primos.
\end{block}


\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 1.4 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{Epílogo histórico}{\begin{tabular}{l}
Conjetura
 \\ 
de Artin
\end{tabular}}
$\longleftrightarrow$
{\begin{tabular}{l}
La probabilidad de que un primo tenga esta
 \\ 
propiedad es \begin{scriptsize}$\prod\big(1-1/(p(p-1))\big)=0'373955836\dots$\end{scriptsize}
\end{tabular}}
\end{block}

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
Antigüedad
 \\ 
(?)
\\ 
Divisiones
\end{tabular}
$\kern-15pt\rightarrow$
\begin{tabular}{l}
s. XVII
 \\ 
Fermat
\\ 
$p|a^{p-1}-1$
\end{tabular}
$\kern-15pt\rightarrow$
\begin{tabular}{l}
s. XVIII
 \\ 
Euler
\\ 
$n|a^{\phi(n)}-1$
\end{tabular}
$\kern-15pt\rightarrow$
\begin{tabular}{l}
s. XIX
 \\ 
Gauss
\\ 
$(\Z/n\Z)^*$
\end{tabular}
$\kern-15pt\rightarrow$
\begin{tabular}{l}
s. XX
 \\ 
Artin
\\ 
Conjetura
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.225]{./images/matem.jpg}
\end{center}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 2.0  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Parte 2}
\begin{frame}
\frametitle{\includegraphics[scale=0.6]{./images/parte2.png}}
%\frametitle{Cuadrados en forma}
Formas cuadráticas (binarias): $Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$, $a,b\in\Z$.

\begin{center}
Euler
$\stackrel{\text{diag.}}{\longrightarrow}$
$Ax^2+By^2$
$\stackrel{A\cdot}{\longrightarrow}$
$x^2+Cy^2$
\end{center}

Suponemos además que no hay factores comunes de los dos sumandos:

$x,y$ coprimos,\qquad $x,C$ coprimos.
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 2.1  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
Euler descubrió experimentalmente en 1748 que los primos en la descomposición de  $x^2+Cy^2$ no son arbitrarios.

Por ejemplo:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
Forma & Factores primos 
\\ 
\hline
$x^2+y^2$ & $p=2$, $p=4n+1$ 
\\ 
\hline
$x^2+2y^2$ & $p=8n+1$, $p=8n+3$ 
\\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
y resultados similares para el resto de las formas.

\uncover<2->{Nos centraremos sólo en $x^2+y^2$.


\underline{Ejemplos}:

\begin{center}
$3^2+5^2=34=2\cdot 17,$
\qquad
$1^2+8^2=65=5\cdot 13,$
\\
$200^2+201^2=80401=37\cdot 41\cdot 53$,
\\
$1000^2+2007^2=5028049=13\cdot 29\cdot 13337$.
\end{center}
}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 2.2  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{block}{}
\textbf{Teorema:} Si $p|x^2+y^2$ ($x,y$ coprimos) entonces $p=2$ o $p=4n+1$.
\end{block}

\begin{block}{}
\textbf{Corolario:} Hay infinitos primos de la forma $4n+1$.
\end{block}

\underline{Demostración}:
Si sólo existieran $p_1,p_2,\dots,p_r$ entonces $(p_1p_2\dots p_r)^2+2^2$ no tendría divisores primos.\qed

\begin{block}{}
\textbf{Corolario:} $4k+3$ no divide a $l^2+1$.
\end{block}

\underline{Demostración}:
$4k+3$ tiene  algún factor primo de la forma $4n+3$.\qed


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 2.3  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


Con paciencia se pueden hacer cálculos que demuestren casos particulares. Por ejemplo $3\nmid l^2+1$ porque si $l=3m$, $l=3m+1$ ó $l=3m+2$ se llegaría a que $3$ divide a $9m^2+1$, $3m(3m+2)+2$ ó $3m(3m+4)+5$, respectivamente y todos estos casos conducen a una contradicción.

\uncover<2->{¿Cómo se deduce el teorema en general?

\underline{Demostración del teorema}: (recordando que $p|a^{p-1}-1$ si $p\nmid a$)

Si $2\ne p| x^2+y^2$ se tiene
\begin{eqnarray*}
-y^2=x^2-l_1p &\Rightarrow& (-1)^{(p-1)/2}y^{p-1}=x^{p-1}+l_2p
\\
&\Rightarrow& (-1)^{(p-1)/2}-1= l_3p
\end{eqnarray*}
y esto sólo puede ocurrir si $l_3=0$ y $(p-1)/2$ es par.
\qed
}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 3.0  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Parte 3}
\begin{frame}
\frametitle{\includegraphics[scale=0.6]{./images/parte3.png}}
%\frametitle{Los primos crecen}

Hay infinitos primos (Euclides c. 300 a.d.C.) pero ¿cómo crecen de rápido? ¿como los cuadrados? ¿como $n^{3/2}$? ¿como $10n$?

\begin{block}{Euler 1744}
\begin{eqnarray*}
\sum_{2\nmid n}\frac{1}{n^s}&=&
\sum\frac{1}{n^s}-\sum\frac{1}{(2n)^s}
=\big(1-\frac{1}{2^s}\big)\sum\frac{1}{n^s}
\\
\sum_{2,3\nmid n}\frac{1}{n^s}&=&
\big(1-\frac{1}{3^s}\big)\big(1-\frac{1}{2^s}\big)\sum\frac{1}{n^s}
\\
\dots\  &=&\dots\ \dots\ \dots\ \dots\ \dots
\\
\frac{1}{1^s}&=&
\prod_p\big(1-\frac{1}{p^s}\big)\cdot \sum_n\frac{1}{n^s}
\end{eqnarray*}
\end{block}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 3.1  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}



\begin{alertblock}{Identidad de Euler}
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=\prod_p\big(1-{p^{-s}}\big)^{-1} 
\]
\end{alertblock}

Tomando $s\to 1^+$ y usando $\sum_{n=1}^N\frac 1n\sim \int_1^N\frac 1x\; dx=\log N\to\infty$ se obtiene
\[
\infty=\prod_p\big(1-{p^{-1}}\big)^{-1}
\]
Una prueba ¡analítica! de la infinitud de los primos.

\

La identidad de Euler da más información: los primos no pueden crecer como $n^2$ ni como $n^\alpha$ con $\alpha>1$; si fuera así  se llegaría a una contradicción cuando $s\to 1^+$.

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 3.2  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Con algunas trampitas podemos sospechar el verdadero orden de crecimiento de los primos.

\

Usando que $\log(1-x)^{-1}\sim x$ para $x$ pequeño; cuando $s\approx 1$
\begin{eqnarray*}
& &
\sum \frac{1}{p^s}\sim\log\prod_p\big(1-{p^{-s}}\big)^{-1}=\log\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}
\\
&\stackrel{\text{??}}{\Rightarrow}&
\sum_{p\le N}\frac 1p\sim \log \sum_{n\le N}\frac 1n\Rightarrow
\sum_{p\le N}\frac 1p\sim \log\log N
\end{eqnarray*}
(según Euler $\sum \frac 1p=\log\log \infty$). 

Esto sugiere que si $p_n\sim f(n)$ entonces
$\int_1^N\frac{1}{f(n)}\;dn=\log\log N$. Derivando se deduce $f(n)=n\log n$.

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 3.3  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{block}{Epílogo histórico}

(1859) Riemann $\longrightarrow$
\begin{tabular}{l}
Esquema de la relación con la 
\\
variable compleja
\end{tabular}

\hrule

{\begin{tabular}{l}
(1896) Hadamard y
 \\ 
de la Vallée Poussin
\end{tabular}}
$\longrightarrow$
$\lim\dfrac{p_n}{n\log n}=1$ (con variable compleja)

\hrule

{\begin{tabular}{l}
(1949) Erd\H os y
 \\ 
Selberg
\end{tabular}}
$\longrightarrow$
Prueba \lq\lq elemental''

\end{block}

\

Gracias a la extensión del trabajo de Riemann sabemos que el error al aproximar el número de primos menores que $N$ por cierta función se minimiza si y sólo si los ceros complejos de una extensión de $\sum 1/n^s$ están en fila india (en la recta $\Re z=1/2$). Ésta es la \textbf{Hipótesis de Riemann}.

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 4.0  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Parte 4}
\begin{frame}
\frametitle{\includegraphics[scale=0.6]{./images/parte4.png}}
%\frametitle{Un triángulo de dos}
Los fractales son famosos en el mundo entero

% Las alturas de las imágenes son 225,215 y 151
\begin{center}
\begin{tabular}{lll}
\includegraphics[scale=0.35]{./images/koch.png}
 & 
\includegraphics[scale=0.5]{./images/mandelbrot.jpg}
& 
\includegraphics[scale=0.4]{./images/romanescu.jpg}
\end{tabular}
\end{center}
\uncover<2->{e incluso fuera del mundo \dots
\begin{center}
\begin{tabular}{lll}
\includegraphics[scale=0.228]{./images/ckoch.jpg}
 & 
\includegraphics[scale=0.9832]{./images/cmandelbrot.jpg}
& 
\includegraphics[scale=1.4]{./images/csierpinski.jpg}
\end{tabular}
\end{center}
}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 4.1  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
Uno de los primeros y más sencillos fractales es el triángulo de Sierpi\'{n}ski
\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
\includegraphics[scale=0.4]{./images/t0.png}
 & 
\includegraphics[scale=0.4]{./images/t1.png}
& 
\includegraphics[scale=0.4]{./images/t2.png}
& 
\dots
&
\includegraphics[scale=0.4]{./images/tf.png}
\\
$T_0$
&
$T_1$
&
$T_2$
&
\quad
&
$T_\infty$
\end{tabular}
\end{center}
$T_{n+1}$ está formado por 3 copias semejantes a $T_n$.
\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 4.2  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
$n=8$ & \uncover<3->{$n=16$}
\\
\only<1>{\includegraphics[scale=0.4]{./images/pasc.png}}
\only<2->{\includegraphics[scale=0.4]{./images/sierpasc.png}}
&
\uncover<3->{\includegraphics[scale=0.4]{./images/sier16.png}}
\end{tabular}
\end{center}

\uncover<4->{Reglas de adición:
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
$P+P=P$
&
$P+I=I$
&
$I+P=I$
&
$I+I=P$
\\
\includegraphics[scale=0.513]{./images/PPP.png}
&
\includegraphics[scale=0.513]{./images/PII.png}
&
\includegraphics[scale=0.513]{./images/IPI.png}
&
\includegraphics[scale=0.513]{./images/IIP.png}
\end{tabular}
\end{center}
}
\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 4.3  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

La prueba es por inducción (iteración): Al pegar tres bloques triangulares de lado $2^n$ y borde impar se obtiene un triángulo coherente con las leyes de adición. 

%\begin{center}
\includegraphics[scale=0.28]{./images/construc.png}
%\end{center}

El triángulo discontinuo, claramente contiene sólo  elementos pares.
\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 4.4  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\textit{Cartesianizando} el triángulo de Pascal: $\binom{n}m\longrightarrow\ (m,n-m)$.

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/cuad0.png}
&
\includegraphics[scale=0.3]{./images/cuad1.png}
&
\includegraphics[scale=0.3]{./images/cuad2.png}
\\
\begin{tiny}$T_0=\{(0,0),(1,0),(0,1)\}$,\end{tiny}
&
\begin{tiny}$T_1=\{(0,0),(2,0),(0,2)\}+T_0$,\end{tiny}
&
\begin{tiny}$T_2=\{(0,0),(4,0),(0,4)\}+T_1$\end{tiny}
\end{tabular}
\end{center}
En general \begin{scriptsize}$T_{n}=\{(0,0),(2^n,0),(0,2^n)\}+T_{n-1}$\end{scriptsize}. 

Esto es lo mismo que decir que cuando se escriben $x$ e $y$ en base dos, nunca aparece dos unos en el mismo lugar (al sumarlos no hay nunca llevadas). 

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 4.5  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\underline{Ejemplo}:
¿Es $\binom{239}{169}$ par o impar?

\begin{center}

\begin{tabular}{l}
$n=239$
\\ 
$m=169$
\end{tabular}
$\longrightarrow$
\begin{tabular}{l}
$x=169$
\\ 
$y=70$
\end{tabular}
$\longrightarrow$
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
1&0&1&0&1&0&0&1
\\ 
\hline
0&1&0&0&0&1&1&0
\\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}
No hay llevadas al sumar $\Rightarrow$ es impar.

\


\begin{block}{Corolario}
$\binom{2^n-1}{k}$ es siempre impar,\qquad $\binom{2n}{n}$ es siempre par ($n>0$).
\end{block}



\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA FIN  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Justificaciones para el siglo XVIII ¿o el XXI?

\begin{block}{L. Euler~1748}
\begin{quote}
\begin{small}
Por tanto, incluso si una proposición ya sea cierta o falsa parece que  no redunda en ninguna utilidad para nosotros, todavía el método mismo por el cual se establece la certeza o falsedad usualmente abre el camino para que entendamos otras verdades más útiles. Por esta razón, creo firmemente que no he desperdiciado mi trabajo y mi esfuerzo en investigar estas propiedades que contienen notables propiedades sobre los divisores de los números. Esta teoría de los divisores no es de uso vano sino que alguna vez podría mostrar alguna utilidad no despreciable en análisis. 
\end{small}
\end{quote}
\end{block}

\end{frame}


\end{document}

