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%SETS OF NUMBERS
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%%%%%   PROCLAIM
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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#1{:}}\quad\mdseries\ignorespaces}
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\begin{document}



\fbox{
\begin{tabular}{c}
\begin{LARGE}\bf Morfismos y matrices de periodos\end{LARGE} \\ 
\\
\begin{Large} Fernando Chamizo\qquad 31 de enero de 2006\end{Large}\\ 
\end{tabular} 
}


\


\

\

\

\begin{LARGE}\textbf{1. El problema}
\end{LARGE}

\

\begin{Large}\sf $S,\;S'=$ superficies de Riemann compactas\end{Large}

\


\begin{center}
\scalebox{0.55}{\includegraphics{./images/morfismo.eps}}
\end{center}

\begin{center}
\begin{Large}$\mathcal{N}(S,S')=\#\{f: S\longrightarrow S'\text{ morfismo}\}$
\end{Large}
\end{center}

\

\


\begin{Large}\begin{itemize}
\item 
\textbf{de Franchis} (1913) \quad 
$\mathcal{N}(S,S')<\infty$, 

$\sum_{S'}\mathcal{N}(S,S')<\infty$
\item 
\textbf{Kani} (1986) \quad 
$\sum_{S'}\mathcal{N}(S,S')\not < $  polinomio$(g)$


\item 
\textbf{Martens} (1988) \quad 
$\log \mathcal{N}(S,S')\le {4g^2}$
\item 
\textbf{Tanabe} (1999) \quad 
$\log \mathcal{N}(S,S')\le 2g\log g +\dots$
\end{itemize} 
\end{Large}

\newpage


\begin{LARGE}\textbf{2. El teorema}
\end{LARGE}

\

\begin{Large}{\sf \qquad\ \quad\underline{Versión intuitiva}: Si hay muchísimos morfismos, 

\vskip.3cm

la matriz de periodos de $S$ debe ser grande.}\end{Large}

\

\

\

\begin{Large}$\Omega_c=(I,\; A+iB)$
\qquad \sf forma compleja (habitual)
\end{Large}

\

\

\

\begin{Large}$\Omega_r=
\begin{pmatrix}
I&A
\\
O&B
\end{pmatrix}
$
\qquad \ \quad \sf forma real
\end{Large}


\

\

\

\begin{Large}$M=\dfrac13+\|\Omega_r^{-1}+\Omega_r^{t}\|+
\|\Omega_r^{-1}\Omega_r^{t}\|$
\end{Large}


\


\

\begin{large}(donde $\| A\|=\sup_{\|\vec{x}\|=1}\|A\vec{x}\|$)\end{large}



\

\

\

\begin{Large}{\bf Teorema:}
\[
\mathcal{N}(S,S')<\pi^{-1/2}(2g)^{3/2}(12eM\sqrt{2})^g
\]
\end{Large}




\

\



\begin{Large}\underline{Obs.}: $a_{ij},b_{ij}<$cte $\rightsquigarrow$ 
$M\approx\sqrt{g}$ $\rightsquigarrow$

\

\qquad $\log \mathcal{N}(S,S')\le g\log g +\dots$
\end{Large}

\newpage


\begin{LARGE}\textbf{3. La demostración}
\end{LARGE}

\

\begin{Large}
\begin{tabular}{ccc}
$f:S\longrightarrow S'$ $\Rightarrow$ 
& 
$\widetilde{f}:J(S)\longrightarrow J(S')$ & 
\\ 
& &  (retículos)
\\
\ & $f^*:\mathcal{H}(S')\longrightarrow \mathcal{H}(S)$ &  \\ 
\end{tabular} 
\end{Large}




\

\



\begin{Large}$\{\omega_1,\dots,\omega_{2g}\}$ {\sf base de diferenciales armónicas dual de la canónica de $H_1(S,\Z)$}.\end{Large}




\


\begin{center}
\begin{Large}$[\omega_i,\omega_j]=\int \omega_j\wedge *\omega_i$
\qquad
$[[\omega]]=[\omega,\omega ]^{1/2}$\end{Large}
\end{center}

\

\



\begin{center}
\begin{Large}$F:\Z^{2g'}\longrightarrow\Z^{2g}$\end{Large}
\end{center}

\begin{center}
\begin{Large}$\text{deg}(f)=d\ \Rightarrow\ [[F(\vec{x})]]=\sqrt{d}\;[[\vec{x}]]'$\end{Large}
\end{center}


\

\

\


\hfill \begin{large}Vol$(B)$=Vol$($bola unidad$)={\pi^g}/{g!}$\end{large}


\begin{center}
\scalebox{0.66}{\includegraphics{./images/reticulos.eps}}
\end{center}

\begin{center}
\vskip-28pt
\begin{large}dim$=2g'$
\qquad\ \qquad\ \qquad
dim$=2g$
\end{large}
\end{center}

\newpage

\begin{Large}
\begin{itemize}
\item 
\textbf{Riemann-Hurwitz:} {\sf controlamos $d$}
\item
\textbf{Teorema de Minkowski (en geometría de nú\-meros):} {\sf controlamos $t$}
\item
\textbf{Puntos del retículo:} {\sf controlamos $\#\kern-1pt\{t\sqrt{d} B\cap\Z^{2g}\}$}
\item
\textbf{Superficies de Riemann:} {\sf $\#\{f: f^*\omega=\eta\}\le (2g-2)(2g'-1)$. Controlamos el número de morfismos correspondientes a cada par de puntos}
\end{itemize} 
\end{Large}


\


\

\begin{large}\textbf{¿Y dónde aparece la matriz de periodos?}\end{large}

\


\begin{large}Para controlar la excentricidad de $B$\end{large}


\


\begin{center}
\scalebox{0.66}{\includegraphics{./images/excentricidad.eps}}
\end{center}


\begin{large}{\sf Hay una relación entre $[[\vec{x}]]$ y la matriz de periodos 
\begin{center}
formas armónicas $\longleftrightarrow$ formas holomorfas
\end{center}}
\end{large}
\vfill



\footnotetext[1]{ \begin{normalsize}Visite nuestra web {\tt http://www.uam.es/ntatuam}\end{normalsize} }
\end{document}



Prerrequisitos (la exposición es informal, no toméis las afirmaciones al pie de la letra):

Una superficie de Riemann compacta es una curva algebraica de las de toda la vida (recordad de {\tt http://www.uam.es/gruposinv/ntatuam/stn/03022005.pdf} que se podía dibujar una superficie asociada a cada curva). Los morfismos entre superficies de Riemann no son más que las funciones racionales (cocientes de polinomios) entre curvas algebraicas. Por ejemplo, $f(x,y)=(x^2,y)$ es un morfismo de $y=x^6+1$ a $w=z^3+1$. 

En las superficies se pueden dibujar lazos (caminos cerrados) que bajo cierta relación de equivalencia forman el llamado grupo de homología. Por ejemplo en el toro las combinaciones lineales enteras del ecuador y de un meridiano  dan los elementos de este grupo: un elemento puede ser recorrer dos veces el ecuador y después cuatro el meridiano. Los morfismos, al ser continuos, no rompen los lazos y entonces inducen una aplicación entre los grupos de homología. Por ejemplo, el ecuador en un toro puede ir al meridiano recorrido tres veces en otro. Los coeficientes siempre van a ser enteros (no tiene sentido medio lazo).


Los lazos de la homología se pueden usar para integral a lo largo de ellos formas diferenciales. Ambas cosas son duales (al integrar una forma en un lazo sale un número), lo que permite hallar una base (la dual) de clases de formas correspondientes a la base de clases de lazos de la homología  (dualidad de Poincaré). Los morfismos corresponderán de nuevo aplicaciones con coeficientes enteros. De hecho son aplicaciones lineales. 

Un último apunte en realción con la última afirmación: el grupo de clases de formas diferenciales es el grupo de cohomología. La gracia que tiene es que no sólo es un grupo sino que de forma natural es un espacio vectorial y admite un producto exterior natural (el de formas) y un producto escalar.



