\documentclass{beamer}

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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}


\usepackage{xcolor}
\usepackage{lmodern}

\usepackage[percent]{overpic}

\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Colores
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definecolor{azul_oscuro}{rgb}{0,0.08,0.45}
\definecolor{azul}{RGB}{64,80,147}
\definecolor{azul_claro}{RGB}{0,119,200}
\definecolor{verde_oscuro}{RGB}{74,119,41}
\definecolor{fondo}{RGB}{208,212,229}
\definecolor{white2}{RGB}{230,230,255}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	MACROS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{tikz}
\usepackage{tcolorbox}

%%--------------------------------------------
\usetikzlibrary{calc,intersections}

%%--------------------------------------------
\tikzset{bloque/.style={rectangle,rounded corners,draw=azul_oscuro,line width=.5pt}}
\tcbuselibrary{skins,theorems}
%%--------------------------------------------
\newtcolorbox{miblock}[1][]{bottom=0pt,top=0pt,left=1pt,right=1pt,grow to right by=5pt,grow to left by=5pt,halign=flush left,enhanced,drop fuzzy shadow,colframe=white,colback=white,coltitle=azul,fonttitle={\bfseries},#1}%
%%--------------------------------------------

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\mode<presentation>{%
    \useinnertheme{rounded}%
    \setbeamercolor{title}{fg=white}%
    \setbeamercolor{frametitle}{fg=red!40!black, bg = green!20!fondo}%
    \setbeamercolor{section in head/foot}{fg=white,bg=azul_oscuro}%
    \setbeamertemplate{navigation symbols}{}%
    \usecolortheme[named=azul_oscuro]{structure}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% El título está dividido en ``background'' y la ``title page'' propiamente dicha.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%*****************************************
%% BACKGROUND
%%*****************************************
\setbeamertemplate{background}{%
  \begin{tikzpicture}
    \useasboundingbox (0,0) rectangle (\paperwidth,\paperheight);
    \fill[top color=white,bottom color=fondo,opacity=1] (0,0) rectangle (\paperwidth,\paperheight);
    \coordinate (v1) at (3.4,0);
    \coordinate (v2) at (0,\paperheight);
    \coordinate (h1) at (0,1.95);
    \coordinate (h2) at (\paperwidth,1.95);
    \coordinate (p) at (intersection of h1--h2 and v1--v2);
    \fill[verde_oscuro] (v2)--(p)--(h2)|-cycle;
    \fill[white] (h1)--(p)--(v1)-|cycle;
    \begin{scope}
      \clip (h1)--(p)--(v1)-|cycle;
      \node[inner sep=0pt,anchor=east] at ($(p)!.5!(v1)$) {\includegraphics[width=3cm]{./images/logoUAM.png}};
    \end{scope}
    \draw[line width=.1cm,azul_claro] (h1)--(h2);
    \draw[line width=.1cm,azul_claro] (v1)--(v2);
    \ifnum\thepage>1\relax%
    \fill[top color=white,bottom color=fondo,opacity=1] (0,0) rectangle (\the\paperwidth,\the\paperheight);
    \fi
  \end{tikzpicture}
}
%%*****************************************
%% TITLE PAGE
%%*****************************************
\setbeamertemplate{title page}{%
\begin{beamercolorbox}[leftskip=1.5cm]{title}
    \begin{tikzpicture}
    \useasboundingbox (0,0) rectangle (8,\paperheight-5pt);
    %\draw[step=1cm,help lines,opacity=1] (0,0) grid (8,\paperheight-5pt);
    \node[anchor=south west,text width=9cm,align=flush left,font={\LARGE\bfseries\color{white2}}] at (0,.5\paperheight+.2cm) {\inserttitle};
    \draw[line width=2pt,color=white2] (.1,.5\paperheight)--(\paperwidth,.5\paperheight);
    \node[anchor=north west,text width=9cm,align=flush left,font={\bfseries\color{white2}}] at (0,.5\paperheight-0.2cm) {\insertauthor};
    \node[anchor=south west,text width=7.5cm,align=flush left,azul_oscuro] at (1.5,.8) {\insertinstitute};
    \node[anchor=north west,text width=7.5cm,align=flush left,font={\footnotesize},azul_oscuro] at (1.5,.8) {\insertdate};
    \end{tikzpicture}
\end{beamercolorbox}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\title{Matemáticas a tu alrededor}
\author{Fernando Chamizo}
\institute[UAM]{Colegio Mayor Universitario Loyola}
\date{23 de marzo de 2022}



\begin{document}

%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}[noframenumbering]
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
% \begin{frame}
% \tableofcontents
% \end{frame}

%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}

\textbf{Una cita perezosa}
\vskip15pt

\begin{miblock}
{\footnotesize\color{gray!10!black} ``[\dots] es una ironía que la ciencia más poética, más cerca del arte por el arte, sostenga una parte de la ingeniería y las aplicaciones.
Las matemáticas están ahí, entre ruedas dentadas, entre chips de silicio, viajando por fibra óptica, y no son un lujo prescindible; no son solo verdades, sino también puños que empujan maquinarias inmensas''.
}
\end{miblock}

\hfill{\it\scriptsize ``La Matemática y la ciencia oculta''}





\end{frame}




%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
%\section{Matemáticas poéticas}
\begin{frame}
\frametitle{Antes de comenzar{\dots} las matemáticas de los matemáticos}

\begin{miblock}
Los poliedros convexos cumplen
\vspace{-10pt}
\[
 \text{\textbf{V}értices}
 +
 \text{\textbf{C}aras}
 =
 \text{\textbf{A}ristas}
 +
 2.
\]
\end{miblock}

\

Con ello se puede demostrar que solo existen los cinco poliedros regulares mencionados por Platón en ``El Timeo''.

\uncover<2->{{\dots} y ayudar a diseñar balones de fútbol.}
\medskip

\begin{tikzpicture}
%\draw[step=1cm,help lines,opacity=1] (-0.35,-.5) grid (10.35,-3.5);
\only<1>{\node[anchor=west,rectangle,rounded corners,draw=azul_claro,fill=white,line width=.5pt,text width=10.0cm,align=center]  {
\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=40pt]{./images/ps_te.png}
 \\
 {\scriptsize 4, 4, 6}
\end{tabular}
\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=40pt]{./images/ps_cu.png}
 \\
 {\scriptsize 8, 6, 12}
\end{tabular}
\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=40pt]{./images/ps_oc.png}
 \\
 {\scriptsize 6, 8, 12}
\end{tabular}
\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=40pt]{./images/ps_do.png}
 \\
 {\scriptsize 20, 12, 30}
\end{tabular}
\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=40pt]{./images/ps_ic.png}
 \\
 {\scriptsize 12, 20, 30}
\end{tabular}
}};
\only<2->{\node[anchor=west,rectangle,rounded corners,draw=azul_claro,fill=white,line width=.5pt,text width=10.0cm,align=center]  {
\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=40pt]{./images/futbol_33.png}
 \\
 {\scriptsize 12, 20, 30}
\end{tabular}\qquad
\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=40pt]{./images/futbol_56.png}
 \\
 {\scriptsize 60, 32, 90 (clásico)}
\end{tabular}
\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=40pt]{./images/futbol_53.png}
 \\
 {\scriptsize 30, 32, 60 (Champ. 17/18)}
\end{tabular}
}};
\end{tikzpicture}

\end{frame}



%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{miblock}
¿Cómo demostrar $V+C=A+2$?
\hfill{\scriptsize (solo para fanáticos)}
\end{miblock}


Hacemos un agujero, soplamos por él hasta que el poliedro sea el mapa de una isla rodeada de mar. Inundamos cada región y después quitamos cada frontera restante.

\begin{center}
\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=57.1138pt]{./images/ef_cube.png}
 \\
 \hline
 \multicolumn{1}{r}{\uncover<2->{\scriptsize Regiones $\to$}}
 \\
 \multicolumn{1}{r}{\uncover<2->{\scriptsize Fronteras $\to$}}
 \\
 \multicolumn{1}{r}{\uncover<2->{\scriptsize Vértices $\to$}}
\end{tabular}
\uncover<2->{\begin{tabular}{c}
 \only<2,8->{\includegraphics[height=57.1138pt]{./images/ef_regions.png}}%
 \only<3>{\includegraphics[height=57.1138pt]{./images/ef_ri1.png}}%
 \only<4>{\includegraphics[height=57.1138pt]{./images/ef_ri2.png}}%
 \only<5>{\includegraphics[height=57.1138pt]{./images/ef_ri3.png}}%
 \only<6>{\includegraphics[height=57.1138pt]{./images/ef_ri4.png}}%
 \only<7>{\includegraphics[height=57.1138pt]{./images/ef_ri5.png}}%
 \\
 {\scriptsize C-1}
 \\
 {\scriptsize A}
 \\
 {\scriptsize V}
\end{tabular}}
\uncover<8->{\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=57.1138pt]{./images/ef_sk1.png}
 \\
 {\scriptsize 0}
 \\
 {\scriptsize A-(C-1)}
 \\
 {\scriptsize V}
\end{tabular}}
\uncover<9->{\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=57.1138pt]{./images/ef_sk2.png}
 \\
 {\scriptsize 0}
 \\
 {\scriptsize 0}
 \\
 {\scriptsize V-(A-C+1)}
\end{tabular}}
\end{center}
\vspace{-10pt}

\uncover<10->{
\hrulefill

\medskip

Como solo queda un vértice, $V-(A-C+1)=1$ y esto es lo mismo que $V+C=A+2$.}


\end{frame}




%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
%\section{Medir}
\begin{frame}
\frametitle{Medir: de la Tierra a las estrellas}

\begin{miblock}
 Se considera a Tales de Mileto (s. VI AC) el primer matemático. Fuentes antiguas aseguran que midió la altura de las pirámides de Egipto y que podía calcular la distancia de los barcos a la costa.
\end{miblock}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\setbeamercolor{block body}{fg=black,bg=green!5!white}
\begin{block}{}
Idea: Un triángulo siempre se puede resolver con tres datos que no sean todos ángulos.
\end{block}}

\begin{block}{}
\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=55.6338pt]{./images/shp1.png}
\end{tabular}
\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=55.6338pt]{./images/shp2.png}
\end{tabular}
\begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=55.6338pt]{./images/pyra.png}
\end{tabular}
\end{block}

\end{frame}



%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
%\section{Medir}
\begin{frame}

\begin{miblock}
Desde el siglo XIX se usa el paralaje estelar, un método análogo para calcular la distancia a las estrellas cercanas. Requiere medir con precisión ángulos de menos de 1/5000 grados.
\end{miblock}

\vspace{-10pt}

\begin{block}{}
\begin{center}
\begin{overpic}[unit=1pt, height=65.0028pt]{./images/parallax.png}
\put(95,17){\text{\scriptsize Estrella}}
\put(17,26){\text{\scriptsize Tierra (invierno)}}
\put(17,-1){\text{\scriptsize Tierra (verano)}}
\put(7,13){\text{\scriptsize Sol}}
\end{overpic}  \\
\end{center}
\end{block}

\pause

\begin{miblock}
 El paralaje estelar es un primer peldaño de la \emph{escalera de distancias cósmicas}, una serie de métodos para realizar medidas astronómicas cada vez más grandes.
\end{miblock}

\vspace{-10pt}

{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\setbeamercolor{block body}{fg=black,bg=green!5!white}
\begin{block}{}
En el mundo cotidiano, la trigonometría es fundamental desde las obras públicas al posicionamiento por GPS.
\end{block}}

\end{frame}

%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
%\section{Ver}
\begin{frame}
\frametitle{La mirada interior {\small\color{black}(TAC y resonancias)}}

\begin{miblock}
 Las TAC y resonancias son técnicas no invasivas que han revolucionado la práctica médica moderna. ¿Cómo funcionan?
\end{miblock}

\vspace{10pt}

\pause
\textbf{\color{azul_oscuro}\underbar{TAC}} {\small (basada en rayos X)}

\begin{center}
 \begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=95.5482pt]{./images/CAT.jpg}
 \\
  {\footnotesize Realidad}
 \end{tabular}
 \begin{tabular}{c}
\begin{overpic}[unit=1mm, height=95.5482pt]{./images/transparent.png}
\put(20,30){\includegraphics[scale=.25]{./images/real_scan.png}}
\put(0,0){\includegraphics[height=95.5482pt]{./images/CTmath.png}}
\put(15,65){$L$}
\put(25,21){$\rho=$\,\text{\scriptsize densidad}}
\end{overpic}  \\
  {\footnotesize Modelo}
 \end{tabular}
\end{center}

\begin{miblock}
 Los rayos X que llegan a los detectores por $L$, están atenuados una cantidad que depende de la integral $\int_L \rho$.
\end{miblock}


\end{frame}


%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}

\textbf{\color{azul_oscuro}\underbar{Resonancia}} {\small (basada en el espín de protones)}

\begin{miblock}
 Los protones de los átomos de hidrógeno (sobre todo del agua) en nuestro cuerpo se comportan como imanes diminutos que se pueden alinear con un campo magnético y hacer oscilar con radiofrecuencia.
\end{miblock}

\begin{tikzpicture}
\node  at (0, -0.1) {\includegraphics[height=25.4pt]{./images/magnet0.png}};
\foreach \x in {0, 1, ..., 4}
\foreach \y in {0, 1, ..., 2}
    {
        \node  at (0.5+0.8*\x+0.2*\y, -0.1*\y) {\includegraphics[height=21.4pt]{./images/p1.png}};
        \node  at (6.3+0.8*\x+0.2*\y, -0.1*\y) {\includegraphics[height=21.4pt]{./images/p2.png}};
    }
    \draw[domain=0:6.28,smooth,variable=\t, draw=azul_claro, line width=0.25mm] plot ({4.8+0.2*\t},{0.3*sin(4*\t r)});
\end{tikzpicture}


\begin{miblock}
\begin{center}
\includegraphics[height=31.4pt]{./images/p1.png}
\includegraphics[height=31.4pt]{./images/p2.png}
\includegraphics[height=31.4pt]{./images/p3.png}
\includegraphics[height=31.4pt]{./images/p4.png}
\includegraphics[height=31.4pt]{./images/p5.png}
\includegraphics[height=31.4pt]{./images/p6.png}
\end{center}
\end{miblock}

\pause
{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\setbeamercolor{block body}{fg=verde_oscuro!40!black,bg=red!0!white}
\begin{block}{}
\textcolor{black}{Es posible ``contar protones'' en una línea recta combinando}
\begin{itemize}
 \item
 \textcolor{blue}{Física} $\to$ Principios del XX (física del espín)
 \item
 \textcolor{blue}{Matemáticas} $\to$ Principios del XIX (análisis de Fourier)
 \item
 \textcolor{blue}{Tecnología} $\to$ Finales de la década de 1970
\end{itemize}
\end{block}}


\end{frame}




%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}
\begin{center}
 \begin{tabular}{cp{5.6cm}}
 \begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=61.1916pt,angle=15]{./images/tac.png}
 \end{tabular}
&
 \begin{tabular}{p{4.5cm}}
 En cualquiera de los casos la información obtenida es la \textcolor{azul_oscuro}{``sombra traslúcida''} de la muestra en un montón de direcciones.
 \end{tabular}
 \end{tabular}
\end{center}

\vspace{-20pt}

\begin{miblock}
 En 1917 J. Radon introdujo una fórmula para recuperar objetos a partir de todas sus ``sombras traslúcidas''.
\only<2>{\vspace{-10pt}
\[
  \rho(x,y)=
  \int_0^{2\pi}\int_0^\infty
  r\widehat{P}_\alpha(r)
  e^{2\pi i r(x\cos\alpha+y\sen\alpha)}
  \, dr\, d\alpha.
 \]}
\end{miblock}

\uncover<3->{¿Por qué es esto posible? Una idea:
\vspace{-3pt}

\begin{miblock}
\begin{tikzpicture}
    \node[anchor=west,color=black] at (5.0,0) {
        \begin{tabular}{p{4.5cm}}
        Recta $\to$ ecuación para las densidades ``pixeladas'' de la cual se puede despejar y sustituir en otras ecuaciones.
        \end{tabular}
    };
    \node[anchor=west,color=black] at (10.0,0) {
    \includegraphics[height=51.4976pt,angle=15]{./images/tacp.png}
    };
    \node[anchor=west,color=black] at (12.6, 0.6) {
    \includegraphics[height=8.3375pt]{./images/tacpl.png}
    };
    \node[anchor=west,color=black] at (12.6, 0.6) {
    {\small$\rho_1\rho_2\ \dots\dots\dots\ \rho_9$}
    };
    %\node[anchor=west,color=black] at (6.0,-2.0) {\small \ letras$\to$num. $\texttt{E}=14$, $\texttt{S}=28$};
    \draw [thick, -latex] (11.55,0.9) to [bend left,out=50] (12.6,0.6);
    \node[anchor=west,color=black] at (12.3, -0.1) {
    {\footnotesize$\rho_1+\rho_2+\dots+\rho_9=k$}
    };
    \node[anchor=west,color=black] at (12.3, -0.6) {
    {\footnotesize$\rho_1=k-\rho_2-\dots-\rho_9$}
    };
\end{tikzpicture}
\end{miblock}}


\end{frame}




%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Hablando en privado a voces}

\vspace{-20pt}

\begin{miblock}
 La especificación \textcolor{azul_claro}{Bluetooth} establece una conexión cercana ($\approx 10\,m$) entre un par de dispositivos mediante ondas de radio.
 La capacidad máxima es de decenas de pares de dispositivos próximos.
\end{miblock}

\

\uncover<2->{\begin{miblock}[colback=azul_claro!2!white, colframe=azul_claro]
 \textcolor{blue}{\underline{\bf¿Cómo funciona?}}
 \hfill
 Tres puntos fundamentales:{\hspace{35pt}}
 \medskip

{\begin{minipage}[T]{.24\textwidth}
 \begin{tabular}{c}
 \includegraphics[height=75pt]{./images/bluetooth.png}
 \end{tabular}
 \end{minipage}}%
 {\begin{minipage}[T]{.7\textwidth}
\begin{tikzpicture}
%\draw[step=1cm,help lines,opacity=1] (-0.35,-.5) grid (10.35,-3.5);
\node[anchor=west,rectangle,rounded corners,draw=azul_claro,fill=green!10!white,line width=.5pt,text width=205pt]  {
  \begin{enumerate}
   \item
   Se establecen 79 canales permitiendo el \textcolor{verde_oscuro}{\bf salto de frecuencia} 1600 veces/s.
   \item
   Se divide la información en \textcolor{verde_oscuro}{\bf paquetes cortos} ($< 1$K).
   \item
   Se aplican métodos de reducción de ruido y \only<2>{\textcolor{verde_oscuro}{\bf detección de errores}}\only<3->{\textcolor{red!50!black}{\bf detección de errores}}.
   \end{enumerate}
};
\end{tikzpicture}
 \end{minipage}}
 \end{miblock}}



\end{frame}




%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\setbeamercolor{block body}{fg=black,bg=green!5!white}
\begin{block}{}
La detección de errores en muchas aplicaciones es una generalización de la prueba del nueve.
\end{block}}

\vspace{-25pt}

\begin{align*}
 9\text{ divide a }n \quad \Leftrightarrow \quad&
 \text{Suma de cifras de la suma de cifras\dots}
 \\
 & {\dots} \text{ de la suma de cifras de } n=9.
\end{align*}
\[
 \scriptstyle{37978746379252364673742336977392482601061
 \quad\to\quad
 189
 \quad\to\quad
 18
  \quad\to\quad
 9}
\]

%\medskip

\textbf{Esquema:}

\begin{tikzpicture}
%\draw[step=1cm,help lines,opacity=1] (-0.35,-.5) grid (10.35,-3.5);
\node[anchor=west,rectangle,rounded corners,draw=azul_claro,fill=white,line width=.5pt,text width=1.5cm,align=center] (a1) at (0.3,-1) {
\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabular}{|c|}
 mensaje
 \\
 \hline
\end{tabular}};
\node[anchor=west,rectangle,rounded corners,draw=azul_claro,fill=white,line width=.5pt,text width=1.8cm,align=center] (b1) at (3,-1) {
\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabular}{|c|c|}
 mensaje & c
 \\
 \hline
\end{tabular}};
\node[anchor=west,rectangle,rounded corners,draw=azul_claro,fill=white,line width=.5pt,text width=1.7cm,align=center] (c1) at (8,-1) {
\setlength{\tabcolsep}{2pt}
\begin{tabular}{|c|}
 resultado
 \\
 \hline
\end{tabular}};
\draw[dotted, line width=.8pt,azul_claro] (a1)--(b1);
\draw[-latex,line width=.8pt,azul_claro] (b1)--(c1);
\node[anchor=west,color=azul_claro] at (5.8,-0.7) {\textbf{canal}};
\node[anchor=west,color=black] at (3.0,-1.7) {\small \ divis. por 9};
\end{tikzpicture}

\begin{miblock}
 $c$ es un dígito de control para forzar la divisibilidad por 9. Si el resultado no es múltiplo de nueve, ha habido un error.
\end{miblock}

\vspace{-10pt}

{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\setbeamercolor{block body}{fg=azul_oscuro,bg=green!5!white}
\begin{block}{}
\footnotesize
Métodos muy sofisticados usados en los Blu-ray permiten, no solo detectar errores, sino también corregirlos en tiempo real.
\end{block}}


\end{frame}



%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\setbeamercolor{block body}{fg=azul_oscuro,bg=azul_claro!5!white}
\begin{block}{}
Los protocolos usados en Bluetooth se suelen asociar a divisibilidad por polinomios:
\[
 {\color{black}\begin{array}{lcl}
  \text{CRC-8} &\to & x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
  \\
  \text{CRC-16-CCITT} &\to & x^{16}+x^{12}+x^5+1
 \end{array}}
\]
\end{block}}

\

\pause
\begin{miblock}
 La detección de errores por divisibilidad se usa en muchas aplicaciones cotidianas: Códigos de barras, \textcolor{azul_oscuro}{\bf IBAN}.
\end{miblock}


\begin{tikzpicture}
%\draw[step=1cm,help lines,opacity=1] (-0.35,-.5) grid (10.35,-3.5);
\node[anchor=west,rectangle,rounded corners,draw=azul_claro,fill=white,line width=.5pt,text width=150pt,align=center] (a1) at (0.3,-1) {
\footnotesize ES 06 2038 0603 2860 0103 6580};
\node[anchor=west,rectangle,rounded corners,draw=azul_claro,fill=white,line width=.5pt,text width=150pt,align=center] (a1) at (0.3,-1.6) {
\footnotesize 2038 0603 2860 0103 6580 ES 06};
\node[anchor=west,rectangle,rounded corners,draw=azul_claro,fill=white,line width=.5pt,text width=150pt,align=center] (a1) at (0.3,-2.2) {
\footnotesize 2038 0603 2860 0103 6580 1428 06};
\node[anchor=west,color=black] at (6.0,-1.3) {\small \ rotación};
\node[anchor=west,color=black] at (6.0,-2.0) {\small \ letras$\to$num. $\texttt{E}=14$, $\texttt{S}=28$};
\draw [thick, -latex] (5.9,-1) to [bend left,out=80] (5.9,-1.6);
\draw [thick, -latex] (5.9,-1.7) to [bend left,out=80] (5.9,-2.3);
\end{tikzpicture}

El resultado menos 1 debe ser divisible por 97:
{\footnotesize$20380603286001036580142805=
210109312226814810104565\times 97$}.

{\footnotesize En España además hay una seguridad extra basada en la divisibilidad por 11.}

\end{frame}


%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Hablando en privado a voces (II)}

\vspace{-20pt}

\begin{miblock}
El paso de 3G a 4G fue un hito en la historia de la telefonía móvil ligado al desarrollo de los \emph{smartphones}, que cobraron sentido gracias a que la velocidad de transmisión de datos se multiplicó.
\end{miblock}

\begin{miblock}
 Parte del avance se debió al uso de OFDM (\emph{orthogonal frequency division multiplexing}) para un mejor aprovechamiento del ancho de banda.
\end{miblock}

{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\setbeamercolor{block body}{fg=black,bg=green!5!white}
\begin{block}{}
``ortogonal'' es la forma matemática de decir ``perpendicular''.
\end{block}}



\end{frame}




%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}

Sin OFDM (4 usuarios): \quad
\begin{tabular}{l}
 \only<-2>{\includegraphics[height=47.1284pt]{./images/fdm.png}}\only<3->{\includegraphics[height=47.1284pt]{./images/fdm2.png}}
\end{tabular}
\pause

\

Con OFDM: \quad suma de

\noindent
\begin{tabular}{l}
 \includegraphics[height=37.1284pt]{./images/ofdm1.png},
 \includegraphics[height=37.1284pt]{./images/ofdm2.png}
 \\
 \includegraphics[height=37.1284pt]{./images/ofdm3.png},
 \includegraphics[height=37.1284pt]{./images/ofdm4.png}
\end{tabular}

\begin{miblock}
 Se puede recuperar el dato de cada usuario usando ondas digitalizadas ``perpendiculares''.
\end{miblock}


\end{frame}



%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{miblock}
 La perpendicularidad significa que el promedio del producto de las ondas es cero.
\end{miblock}


\noindent
\includegraphics[height=60pt]{./images/orthw1.png}
\includegraphics[height=60pt]{./images/orthw2.png}
\pause

\medskip

\noindent
\includegraphics[height=60pt]{./images/orthw3.png}
\includegraphics[height=60pt]{./images/orthw4.png}

\begin{miblock}
 La perpendicularidad y el tratamiento de estas ondas digitalizadas es la base de muchas aplicaciones.
\end{miblock}


\end{frame}



%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}

\textbf{Datos ``crudos'':}
$1924\times 453\times 3 \approx 2.6\,$M

\textbf{Compresión sin pérdidas (png):} $1.8\,$M,
\quad
\textbf{jpg:} $382\,$K

\noindent
\includegraphics[height=72pt]{./images/loyola.jpg}

\

\only<2>{\textbf{Filtrado de frecuencias (jpg):} $73\,$K,

\noindent
\includegraphics[height=72pt]{./images/loyola2.jpg}}

\only<3->{\textbf{Filtrado severo de frecuencias (jpg):} $30\,$K,

\noindent
\includegraphics[height=72pt]{./images/loyola3.jpg}}


\end{frame}



%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Top secret}

\vspace{-10pt}

\begin{miblock}
 Es muy conveniente que un terminal reconozca la contraseña de muchos usuarios, pero no es muy seguro que se almacenen todas las contraseñas en cierta parte de la memoria.
\end{miblock}

{\setbeamercolor{block title}{bg=azul_claro, fg =white}
\setbeamercolor{block body}{fg=black,bg=green!5!white}
\begin{block}{¿Se pueden reconocer datos sin almacenarlos?}
{\color{azul_oscuro}
 {\color{black}\emph{Funciones de un solo sentido}\hfill\qquad $f:\text{dato}\longrightarrow\text{resultado}$}

 Es fácil hallar $f(\text{dato})$ pero en la práctica es imposible recuperar el dato del resultado.}
\end{block}}
\pause

\begin{miblock}
$p=$\, número primo de cientos de cifras

$b=$\, número entero fijado
\qquad
$d=$\, dato (menor que $p$).
\[
 \boxed{f = \text{resto al dividir $b^d$ por $p$}}
\]
\end{miblock}

{\footnotesize
Calcular $f(dato)$ $\to$ del orden de cientos de operaciones.

Actualmente, recuperar el dato requiere hasta del orden de $\sqrt{p}$ operaciones.
}


\end{frame}

%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=red}
\setbeamercolor{block body}{fg=black,bg=green!5!white}
\begin{block}{}
{\color{azul_oscuro}
\begin{tabular}{cl}
 $38^{54}$ & \multicolumn{1}{|l}{103}
 \\
 \cline{2-2}
 (?)&\dots
\end{tabular}
\ \
\begin{tabular}{|p{7.5cm}}
 El número $38^{54}$ tiene $86$ cifras.
 \\
 ¿Se puede calcular su resto al dividir por $103$ con lápiz y papel?
\end{tabular}}
\end{block}}

\pause


\begin{miblock}
\[
 \begin{array}{lcccccc}
 38^{54}=38^{2+4+16+32}\hspace{-8pt}
  &=
  & 38^2\ \times
  & 38^4\ \times
  & \phantom{38^4}\times
  & 38^{16}\ \times
  & 38^{52}
  \\
  &\to
  &38^2\ \times
  &r_2^2\ \ \times
  &{\color{gray}r_4^2\ \ \times}
  &\ r_8^2\ \ \ \times
  &r_{16}^2\ \
  \\
  &
  &\downarrow\ \ \
  &\downarrow\ \ \
  &{\color{gray}\downarrow\ \ \ \ }
  &\downarrow\ \ \
  &\downarrow\ \ \
  \\
  &
  &r_2\ \ \
  &r_4\ \ \
  &{\color{gray}r_8\ \ \ }
  &r_{16}\ \ \
  &r_{32}\ \ \
  \pause
  \\
  \scriptstyle{\color{azul_claro}38\times 38=1444}
  &
  &\shortparallel\ \ \
  &\shortparallel\ \ \
  &{\color{gray}\shortparallel\ \ \ }
  &\shortparallel\ \ \
  &\shortparallel\ \ \
  \\
  \scriptstyle{\color{azul_claro}14\times 103=1442}
  &
  &2\ \ \
  &4\ \ \
  &{\color{gray}16\ \ \ }
  &50\ \ \
  &28\ \ \
 \end{array}
\]
\end{miblock}

\begin{miblock}
 El resto buscado es el mismo que el de
 $2\times 4\times 50\times 28\to 76$.
\end{miblock}



\end{frame}









%%%%%%%%%
% SLIDE %
%%%%%%%%%
\setbeamertemplate{headline}{
\leavevmode
\begin{beamercolorbox}[wd=\the\paperwidth,ht=0ex,dp=0ex]{section in head/foot}
  \begin{tikzpicture}
    \useasboundingbox[fill=verde_oscuro](0,0) rectangle (\the\paperwidth,0.5cm);
    \fill[fondo!5!white] (0,0) rectangle (\the\paperwidth,-0.1);
    \node[anchor=north west,font=\sffamily\bfseries\tiny] at (0.5,0.45){};%
  \end{tikzpicture}
\end{beamercolorbox}
\vskip-17pt}
%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\vskip12.5pt
\begin{tikzpicture}
\invisible{\draw[step=1cm,help lines] (-.35,0) grid (10.35,-8);}
\node[anchor=west,text width=10cm,align=left] at (0,-2.5) {Colgaré esta presentación en:};
\draw[azul] (-.35,-3.5) -- (10.35,-3.5);
\node[azul,font=\large] at (5,-4) {\url{https://www.uam.es/fernando.chamizo}};
\draw[azul] (-.35,-4.5) -- (10.35,-4.5);
\node at (5,-7) {\bf Gracias por la atención};
\end{tikzpicture}

{\tiny
Quizá exceptuando la imagen del Colegio Mayor, procedente de su web, las imágenes están libres de derechos: son de producción propia o están tomadas de la Wikipedia.

}


\end{frame}





\end{document}



\end{frame}

