%http://jorsansa.webs.upv.es/blog/?q=intro-beamer
\documentclass[color=usenames, spanish]{beamer}
%\usepackage{amssymb, amsmath} 
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%http://oregonstate.edu/~peterseb/tex/samples/color-package.html
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	SPANISH
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	MACROS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\mc}[3]{\multicolumn{#1}{#2}{#3}}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	COLORES
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%  \colorlet{darkred}{red!80!black}
%  \colorlet{darkblue}{blue!80!black}
\colorlet{darkgreen}{green!80!black}


\mode<presentation>{
%\usetheme[numbers]{Warsaw} %Rebordes y n\'{u}meros
\usetheme{Frankfurt} %Rebordes y n\'{u}meros indice con puntos
%\usecolortheme{seahorse} % Rebordes malvas
%\usecolortheme{rose} %Reborde azules m\'{a}s claros en bloques
%\usefonttheme[onlylarge]{structuresmallcapsserif} %\sc en t\'{\i}tulos
%\usefonttheme[onlysmall]{structurebold} % t\'{\i}tulo de arriba en negrita ??
%\setbeamerfont{title}{shape=\itshape,family=\rmfamily} %t\'{\i}tulo en it\'{a}lica
%\setbeamercolor{title}{fg=red!80!black,bg=red!20!white} %t\'{\i}tulo en rojo con algo de negro y fondo rojiblanco
}







\title[Probabilidad e intuición I]{\bf Probabilidad e intuición I}


\author[F. Chamizo]{Fernando Chamizo}
\date{\footnotesize\url{http://www.uam.es/fernando.chamizo}}
\institute{Fundamentación de las Matemáticas
\\
\
\\
{\small 22 de octubre de 2012}}

\begin{document}

\setbeamertemplate{headline}
{%
\begin{beamercolorbox}{section in head/foot}
%\alert{\ \insertframenumber\ de \inserttotalframenumber}
\ \vskip6.5pt\par \insertnavigation{\paperwidth}\vskip2pt
\end{beamercolorbox}%
}

%%%%%%%%%%
% TITLE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\noindent\textbf{Resumen:}
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Todos tenemos una idea intuitiva de la probabilidad y por ello
las paradojas que aparecen en esta disciplina son de las más chocantes
en Matemáticas para un público general. A través de ejemplos se busca
ilustrar esta situación y motivar una fundamentación matemática del
concepto probabilidad.
\end{block}}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% INDEX %%
%%%%%%%%%%
\section*{\'{I}ndice}
\begin{frame}
\frametitle{\'{I}ndice}
%\tableofcontents[pausesections]
\tableofcontents
\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\section{Martingala}
\begin{frame}
\frametitle{¿Se puede ganar siempre en el casino?}


\begin{block}{}
En la ruleta jugar a rojo o negro es como jugar a cara o cruz. 
\end{block}


\begin{center}\begin{tabular}{ccc}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.4]{./imag/ruleta.png}
\end{tabular}
&\qquad&
\begin{tabular}{c}
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics[scale=0.4]{./imag/cara_i.png}
&\qquad&
\includegraphics[scale=0.4]{./imag/cruz_i.png}
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{tabular}\end{center}

\pause

\begin{block}{}
La probabilidad  de ganar o de perder apostando a rojo es del 50\%. Eso significa que, de acuerdo con la experiencia,  nuestras expectativas de ganar o perder, son las mismas.
\end{block}




\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{black}La martingala}
Supongamos que comenzamos apostando un euro a rojo, si ganamos, nos retiramos y si perdemos apostamos doble a rojo y repetimos este proceso de duplicar la apuesta tantas veces como perdamos y nos retiramos la primera vez que ganemos.
\end{block}}


El número de tiradas $r$ que tarde en salir rojo, sorprendentemente no afecta a nuestras ganancias.

\pause

\begin{center}\begin{tabular}{llcl}
$\color{red}\blacklozenge$ & $r=1$ & $\longrightarrow$ & gano $1\text{\euro}$
\\
$\blacklozenge\color{red}\blacklozenge$ & $r=2$ & $\longrightarrow$ & gano $2-1=1\text{\euro}$
\\
$\blacklozenge\blacklozenge\color{red}\blacklozenge$ & $r=3$ & $\longrightarrow$ & gano $4-2-1=1\text{\euro}$
\\
$\blacklozenge\blacklozenge\blacklozenge\color{red}\blacklozenge$ & $r=4$ & $\longrightarrow$ & gano $8-4-2-1=1\text{\euro}$
\\
$\blacklozenge\blacklozenge\blacklozenge\blacklozenge\color{red}\blacklozenge$ & $r=5$ & $\longrightarrow$ & gano $16-8-4-2-1=1\text{\euro}$
\end{tabular}\end{center}


\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
La ganancia, sea cual sea el número de tiradas que tarde en salir rojo es $1\text{\euro}$ gracias a la fórmula matemática
\[
 1+2+4+8+\dots +2^{r-1}=2^r-1.
\]
\end{block}}

\pause

{\small Si esto parece poco ambicioso, con una apuesta inicial de $100\text{\euro}$ se ganarán $100\text{\euro}$.}



{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Está claro que antes o después saldrá rojo, por tanto con esta estrategia siempre ganaré pero  un juego de cara y cruz es equitativo y las probabilidades de ganar son del 50\%.
\end{block}}


{\footnotesize
\underline{Nota}: Los juegos de ruleta reales no son exactamente equitativos, si sale el 0, lo cual ocurre con probabilidad 2.7\%, la banca se lleva todo. Si los juegos de azar fueran equitativos no existirían los casinos.}



\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
Si todos los jugadores siguieran la misma estrategia, aparentemente arruinarían al casino.
\end{block}}



{%
\definecolor{tcA}{rgb}{0.627451,0.627451,0.643137}
\begin{center}
\begin{tabular}[c]{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
% use packages: color,colortbl
 & J1 & J2 & J3 & J4 & J5 & J6 & J7 & J8 & 
\\
\cline{2-9}
1 & $\color{red}\blacklozenge$ & $\blacklozenge$ & $\color{red}\blacklozenge$ & $\color{red}\blacklozenge$ & $\blacklozenge$ & $\blacklozenge$ & $\color{red}\blacklozenge$ & $\blacklozenge$ & $\to\;$4\euro
\\
\cline{2-9}
2 & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & $\color{red}\blacklozenge$ & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & $\color{red}\blacklozenge$ & $\blacklozenge$ & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & $\blacklozenge$ & $\to\;$2\euro
\\
\cline{2-9}
3 & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & $\blacklozenge$ & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & $\color{red}\blacklozenge$ & $\to\;$1\euro
\\
\cline{2-9}
4 & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & $\color{red}\blacklozenge$ & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\ } & $\to\;$1\euro
\\
\cline{2-9}
%\\
%q & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{q} & q & q & q & q & q & q & q & q
\end{tabular}
\end{center}
}%

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Los ocho jugadores J1-J8 ganan $1\text{\euro}$, el casino pierde $8\text{\euro}$.
\end{block}}



\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}



{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
Por otra parte el casino sabe que en cada turno la mitad de los jugadores perderán y por tanto en promedio el balance entre sus pérdidas y ganancias es cero.
\end{block}}


{%
\definecolor{tcA}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
\begin{center}
\begin{tabular}[c]{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
% use packages: color,colortbl
 & J1 & J2 & J3 & J4 & J5 & J6 & J7 & J8 & 
\\
\cline{2-9}
1 & $\color{red}\blacklozenge$ & $\blacklozenge$ & $\color{red}\blacklozenge$ & $\color{red}\blacklozenge$ & $\blacklozenge$ & $\blacklozenge$ & $\color{red}\blacklozenge$ & $\blacklozenge$ & $\to\;$0\euro
\\
\cline{2-9}
2 & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<2->{J9}} & $\color{red}\blacklozenge$ & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<2->{\color{MedioRojo}J10}} & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<2->{J11}} & $\color{red}\blacklozenge$ & $\blacklozenge$ & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<2->{\color{MedioRojo}J12}} & $\blacklozenge$ & \uncover<2->{$\to\;$0\euro}
\\
\cline{2-9}
3 & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<3->{$\blacklozenge$}} & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<3->{J13}} & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<3->{J14}} & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<3->{$\color{red}\blacklozenge$}} & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<3->{\color{MedioRojo}J15}} & $\blacklozenge$ & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<3->{\color{MedioRojo}J16}} & $\color{red}\blacklozenge$ & \uncover<3->{$\to\;$0\euro}
\\
\cline{2-9}
4 & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<4->{$\blacklozenge$}} & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<4->{$\blacklozenge$}} & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<4->{$\color{red}\blacklozenge$}} & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<4->{\color{MedioRojo}J17}} & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<4->{J18}} & $\color{red}\blacklozenge$ & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<4->{J19}} & \mc{1}{>{\columncolor{tcA}}c}{\uncover<4->{\color{red}J20}} & \uncover<4->{$\to\;$?}
\\
\cline{2-9}
\end{tabular}
\end{center}
}%


\uncover<5->{
{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Los veinte jugadores J1-J20 han disputado en total 32 turnos y han perdido la mitad de ellos.
\end{block}}}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\section{Bertrand}
\begin{frame}
\frametitle{Un problema, varias soluciones}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{black}La paradoja de Bertrand}
¿Cuál es la probabilidad de que una cuerda elegida al azar en la circunferencia sea más larga que el lado del triángulo inscrito?
\end{block}}


\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/bertrand.png}
\end{tabular}
&&
\begin{tabular}{l}
{\color{red}\rule{0.5cm}{1pt}} cuerda más corta
\\[8pt]
{\color{MedioVerde}\rule{0.5cm}{1pt}} cuerda más larga
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{center}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{\color{black}}
\small Es difícil dudar de que éste es un problema matemático bien planteado porque, incluso si no lo sabemos resolver, parece que podríamos hacer una aproximación experimental eligiendo muchas cuerdas. 
\end{block}}


\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Dos soluciones:

\begin{center}
\begin{tabular}{lcl}
\textbf{1)}&&\uncover<2->{\textbf{2)}}
\\
\qquad\includegraphics[scale=0.2]{./imag/bertrand1.png}
&\qquad\ \qquad&
\uncover<2->{\qquad\includegraphics[scale=0.2]{./imag/bertrand2.png}}
\\
\qquad ángulo central &&\uncover<2->{\qquad radio perpendicular}
\\
\qquad\quad$\text{prob}=1/3$&&\uncover<2->{\qquad\quad$\text{prob}=1/2$}
\end{tabular}
\end{center}


{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
\textbf{1)} La tercera parte de las cuerdas que parten de un punto caen en el ángulo central.
\end{block}}


\uncover<2->{{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
\textbf{2)} La mitad de las cuerdas perpendiculares a un radio están en la mitad más cercana al centro.
\end{block}}}




\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\section{Kolmogorov}
\begin{frame}
\frametitle{Los axiomas de la probabilidad}

\begin{block}{}
En 1933, A. Kolmogorov introdujo la probabilidad de manera axiomática. Con ello dio su fundamentación matemática rigurosa.
\end{block}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
Se llama \textbf{espacio muestral} al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Por ejemplo, al tirar una moneda dos veces, el espacio muestral es
\[
 \Omega=
\bigg\{
\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.17]{./imag/cara.png}
\includegraphics[scale=0.17]{./imag/cara.png}
\end{tabular}}
,
\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.17]{./imag/cara.png}
\includegraphics[scale=0.17]{./imag/cruz.png}
\end{tabular}}
,
\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.17]{./imag/cruz.png}
\includegraphics[scale=0.17]{./imag/cara.png}
\end{tabular}}
,
\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.17]{./imag/cruz.png}
\includegraphics[scale=0.17]{./imag/cruz.png}
\end{tabular}}
\bigg\}.
\]
\end{block}}



{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
Se llama \textbf{suceso} a cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo
$\Big\{\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.15]{./imag/cara.png}
\includegraphics[scale=0.15]{./imag/cara.png}
\end{tabular}}\Big\}$
es \textit{salir dos caras} y el suceso \textit{salir al menos una cara} sería
$\Big\{
\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.15]{./imag/cara.png}
\includegraphics[scale=0.15]{./imag/cara.png}
\end{tabular}}
,
\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.15]{./imag/cara.png}
\includegraphics[scale=0.15]{./imag/cruz.png}
\end{tabular}}
,
\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.15]{./imag/cruz.png}
\includegraphics[scale=0.15]{./imag/cara.png}
\end{tabular}}
\Big\}$
\end{block}}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{black}}
Se llama \textbf{probabilidad} a una función que \lq\lq mide'' los sucesos y que satisface los siguientes tres axiomas (propiedades)
\begin{enumerate}
 \item 
La probabilidad es un número$\ge 0$
 \item 
La probabilidad del total (espacio muestral) es 1
 \item 
La probabilidad de la unión sucesos disjuntos es su suma
\end{enumerate}

\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Con esta abstracción, las Matemáticas evitan el problema del significado de la probabilidad, que pasa a ser una función introducida por nosotros desligada del mundo físico pero, por supuesto, motivada por él en cada una de las aplicaciones. 
\end{block}}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Por ejemplo, podemos inventar una función de probabilidad $P$ con
$P\Big(\hspace{-7pt}\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.13]{./imag/cara.png}
\includegraphics[scale=0.13]{./imag/cara.png}
\end{tabular}}\hspace{-7pt}\Big)=\dfrac{1}{9}$,
$P\Big(\hspace{-7pt}\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.13]{./imag/cara.png}
\includegraphics[scale=0.13]{./imag/cruz.png}
\end{tabular}}\hspace{-7pt}\Big)=
P\Big(\hspace{-7pt}\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.13]{./imag/cruz.png}
\includegraphics[scale=0.13]{./imag/cara.png}
\end{tabular}}\hspace{-7pt}\Big)=\dfrac{2}{9}$,
$P\Big(\hspace{-7pt}\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.13]{./imag/cruz.png}
\includegraphics[scale=0.13]{./imag/cruz.png}
\end{tabular}}\hspace{-7pt}\Big)=\dfrac{4}{9}$
que no corresponde a una moneda normal pero que sería útil para representar otra cargada.
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Una función de probabilidad con 
$P\Big(\hspace{-7pt}\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.13]{./imag/cara.png}
\includegraphics[scale=0.13]{./imag/cruz.png}
\end{tabular}}\hspace{-7pt}\Big)\ne
P\Big(\hspace{-7pt}\text{\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.13]{./imag/cruz.png}
\includegraphics[scale=0.13]{./imag/cara.png}
\end{tabular}}\hspace{-7pt}\Big)$ podría representar una moneda que de alguna manera se daña al salir cara.
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
De esta forma, conjeturas como la de Bertrand no llevan a ninguna contradicción matemática, las diferentes soluciones corresponden a diferentes maneras de llevar a cabo el experimento.
\end{block}}

\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\section{Simpson}
\begin{frame}
\frametitle{Mayor=menor}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
La \textbf{paradoja de Simpson} permite deducir conclusiones opuestas a partir de los mismos datos. A pesar de que tiene más de 100 años se incurre con frecuencia en ella en los medios de comunicación y en los estudios científicos al interpretar estadísticas.
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=blue}
\begin{block}{}
Uno de los casos más famosos es una acusación por discriminación sexual contra la prestigiosa Universidad de Berkeley.
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=blue}
\begin{block}{}
\small
La situación era que prácticamente los mismos varones que mujeres solicitaban comenzar el doctorado pero se admitía a más varones. Por lo cual, la probabilidad de ser admitido era menor siendo mujer. La universidad investigó la situación y observó que típicamente en los diferentes departamentos era mayor la probabilidad de ser admitido al doctorado si se era mujer.
\end{block}}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Imaginemos un mundo educativo extraño donde sólo hay dos asignaturas: Filosofía y Matemáticas y los estudiantes sólo deben escoger una de ellas. 

Supongamos que hay 2600 estudiantes matriculados, 1300 hombres y 1300 mujeres, y que la distribución de matriculados y aprobados viene dada por las siguientes tablas:

\begin{center}
{\setlength{\fboxrule}{2pt}
\setlength{\fboxsep}{10pt}
\fbox{\begin{tabular}{ccc}
{\color{blue} Matriculados}&& {\color{blue} Aprobados}
\\
  \begin{tabular}{l|c|c|}
  &Filos.&Mat.
  \\
  \hline
  Hombres& 800 &500
  \\
  \hline
  Mujeres& 500 &800
  \\
  \hline
  \end{tabular}
&\qquad&
  \begin{tabular}{l|c|c|}
  &Filos.&Mat.
  \\
  \hline
  Hombres& 200 &400
  \\
  \hline
  Mujeres& 100 &600
  \\
  \hline
  \end{tabular}
\end{tabular}}}
\end{center}
\end{block}}



\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{center}
{\setlength{\fboxrule}{2pt}
\setlength{\fboxsep}{10pt}
\fbox{\begin{tabular}{ccc}
{\color{blue} Matriculados}&& {\color{blue} Aprobados}
\\
  \begin{tabular}{l|c|c|}
  &Filos.&Mat.
  \\
  \hline
  Hombres& 800 &500
  \\
  \hline
  Mujeres& 500 &800
  \\
  \hline
  \end{tabular}
&\qquad&
  \begin{tabular}{l|c|c|}
  &Filos.&Mat.
  \\
  \hline
  Hombres& 200 &400
  \\
  \hline
  Mujeres& 100 &600
  \\
  \hline
  \end{tabular}
\end{tabular}}}
\end{center}


\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
\textbf{Las mujeres aprueban más que los hombres} ya que sus probabilidades son $700/1300$ frente a $600/1300$.
\end{block}

\pause

\begin{block}{}
\textbf{Las mujeres suspenden más que los hombres en cualquiera de las asignaturas} ya que en Filosofía sus probabilidades son $100/500$ frente a $200/800$ de los hombres, y en Matemáticas de  $600/800$ frente a $400/500$ de los hombres.
\end{block}

}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Desafortunadamente, a menudo en los medios  la malinterpretación (y a veces manipulación) de probabilidades y de estadísticas es más burda.
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Los errores en la toma de datos afectan al modelo de probabilidad escogido y no son fáciles de rebatir por el \lq\lq ciudadano de a pie'' que no tiene capacidad para tomar muestras. El caso típico son las encuestas con resultados incompatibles hechas por diferentes medios. 
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Los errores en la interpretación de los datos son comunes y, sin llegar a las sutilidades de la paradoja de Simpson, nos harían dudar en una lectura somera y nos engañarían si no se nos indica el procedimiento.
\end{block}}

Veamos dos ejemplos reales  (tomados de \url{www.malaprensa.com}).

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=yellow}
\begin{block}{}
\textbf{El correo} (22/08/12) \lq\lq Las mujeres vascas son las más longevas de Europa, con 85.7 años''
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\underline{Datos en el artículo}: Euskadi, 85,7 años. España, 85,3. Francia, 85,3. Malta, 83,6. Suecia 83,6. Finlandia, 83,5. Alemania, 83\dots
\end{block}}


\uncover<2->{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\underline{Hechos}: Ya sólo en España hay al menos otras cuatro comunidades con mayor longevidad femenina. Una población más grande tiende a suavizar la media. En el País Vasco sólo hay 2.2 millones de habitantes frente a 66 de Francia. Madrid tiene casi el triple de habitantes que el País Vasco y una longevidad femenina mayor. 
\end{block}}

\uncover<3>{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Si la media de la clase es un 6 y mi primo y yo tenemos un 6.1 entonces ¿hemos tenido la mejor nota?
\end{block}}


\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=yellow}
\begin{block}{}
\textbf{rtve.es} (14/04/12) \lq\lq Los conductores españoles desconocen más de la mitad de las señales de tráfico''
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\underline{Datos} (no están en el artículo): Se hizo un test con 4 opciones para las siguientes señales y el porcentaje de aciertos fue
\end{block}}

\begin{tabular}{cccccccc}
\includegraphics[scale=0.31]{./imag/se1.png}\hspace{-9pt}
&
\includegraphics[scale=0.31]{./imag/se2.png}\hspace{-9pt}
&
\includegraphics[scale=0.31]{./imag/se3.png}\hspace{-9pt}
&
\includegraphics[scale=0.31]{./imag/se4.png}\hspace{-9pt}
&
\includegraphics[scale=0.31]{./imag/se5.png}\hspace{-9pt}
&
\includegraphics[scale=0.31]{./imag/se6.png}\hspace{-9pt}
&
\includegraphics[scale=0.31]{./imag/se7.png}\hspace{-9pt}
&
\includegraphics[scale=0.31]{./imag/se8.png}\hspace{-9pt}
\\
{\footnotesize\  67.6\%}\hspace{-9pt}
&
{\footnotesize\  98.7\%}\hspace{-9pt}
&
{\footnotesize\  59.9\%}\hspace{-9pt}
&
{\footnotesize\  53.1\%}\hspace{-9pt}
&
{\footnotesize\  13.5\%}\hspace{-9pt}
&
{\footnotesize\  18.6\%}\hspace{-9pt}
&
{\footnotesize\  40.4\%}\hspace{-9pt}
&
{\footnotesize\  68.4\%}\hspace{-9pt}
\end{tabular}


\uncover<2->{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\underline{Hechos}: El porcentaje supera el {50.0\%} (!!). Algunas señales son poco comunes. Había varias veces opciones muy próximas 
{\footnotesize (calzada con dos carriles 31.1\%, Peligro: circulación en ambos sentidos 67.6\%)}.
\end{block}}



\uncover<3>{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Si me muestran 8 palabras en español de las que desconozco el significado exacto ¿no sé ni palabra de español?
\end{block}}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\section{Parrondo}
\begin{frame}
\frametitle{¿perder$+$perder$=$ganar?}

{\setbeamercolor{block title}{bg=blue}
\begin{block}{}
Para clasificar a los jugadores de ajedrez, se usa el sistema de puntuación Elo, que asigna a cada ajedrecista un número relacionado con la probabilidad que tiene de ganar. 
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=blue}
\begin{block}{}
Si el jugador A es mejor que el B y el jugador B es mejor que el C, claramente el jugador A es mejor que el C. 
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\small
Ciertamente, C podría ganar a A por suerte. Lo que significa lo anterior es que si juegan muchas veces, A ganará más veces.
\end{block}}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
Curiosamente hay juegos de azar, recogidos para bajo el nombre genérico de \textbf{paradoja de Parrondo} que en cierto modo no son transitivos. Concretamente, dos juegos $J_1$ y $J_2$ tales que en ambos se juega contra la banca (contra alguien con más oportunidades de ganar) pero en los que es posible conseguir una ganancia jugándolos alternativamente. 
\end{block}}

\pause

Consideramos tres monedas cargadas, con las siguientes probabilidades de salir cara

\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|c|}
& Moneda 1& Moneda 2& Moneda 3
\\
\hline
Probabilidad& 0.495 & 0.095 & 0.745
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
En cualquiera de los dos juegos, si nos sale cara ganamos un euro y si nos sale cruz, perdemos un euro.
\end{block}}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{center}
{\footnotesize\begin{tabular}{lccccc}
Moneda&1&&2&&3
\\
&
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cara.png}
&\qquad&
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cara.png}
&\qquad&
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cara.png}
\\
Probabilidad& 49.5\% &&9.5\% &&74.5\% 
\end{tabular}}
\end{center}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{black}Primer juego $J_1$}
Tirar la moneda 1.
\end{block}

\begin{block}{\color{black}Segundo juego $J_2$}
Tirar la moneda 2 si el dinero que tengo es múltiplo de tres y la moneda 3 si no es múltiplo de tres.
\end{block}}

Claramente $J_1$ es desfavorable porque si lo jugamos muchas veces seguidas sólo ganamos el 49.5\% de ellas.


\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{center}
{\footnotesize\begin{tabular}{lccccc}
Moneda&1&&2&&3
\\
&
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cara.png}
&\qquad&
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cara.png}
&\qquad&
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cara.png}
\\
Probabilidad& 49.5\% &&9.5\% &&74.5\% 
\end{tabular}}
\end{center}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{\color{black}Segundo juego $J_2$}
Tirar la moneda 2 si el dinero que tengo es múltiplo de tres y la moneda 3 si no es múltiplo de tres.
\end{block}}

Es más difícil ver que jugar sólo a $J_2$ también lo es. Con cálculos matemáticos se puede probar que la moneda 2 se usa algo más de la tercera parte de las veces, concretamente el 38.4\% y la moneda 3, el 61.6\%. Usar tanto la segunda moneda es malo y lleva a que las probabilidades de ganar son
\[
 38.4\cdot 0.095+61.6\cdot 0.745 = 49.56\%.
\]


\end{frame}

%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}



{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
Jugando  
$J_1J_1J_1J_1\dots\dots$ o $J_2J_2J_2J_2\dots\dots$ acabaremos arruinándonos (un poco más rápido con el primer juego).
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
Sin embargo se puede probar que 
$J_1J_1J_2J_2J_1J_1J_2J_2\dots$, es decir, alternar dos partidas con el primer juego con dos partidas con el segundo (o incluso jugar al azar a uno o a otro) es una estrategia que permite conseguir una ganancia a partir de estos dos juegos perdedores.
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
La explicación de esta paradoja, se basa en que ambos juegos no son independientes: están conectados a través del cambio en la cantidad de dinero.
\end{block}}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\section{San Petersburgo}
\begin{frame}
\frametitle{¿Te atreverías a jugar?}

\begin{block}{}
Consideremos un juego de azar en que se nos da la posibilidad de ganar un premio o no ganar nada y por consiguiente se nos pide una cantidad determinada por participar.
\end{block}

\begin{block}{}
Por ejemplo, en la lotería cada décimo tiene un mismo precio que se ajusta de manera que el dinero que se haya recaudado sea mayor que el dinero a repartir en premios.\end{block}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=blue}
\begin{block}{}
En un juego de cara o cruz a una tirada, si prometo un euro por sacar cara debo pedir más de un euro por participar si quiero obtener ganancias cuando haya muchos jugadores. 
\end{block}}

\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
Consideremos un juego de cara o cruz extraño que termina y perdemos cuando salga cruz y nos da $\text{1\euro}$ por la primera cara, $\text{2\euro}$~por la  segunda,  $\text{4\euro}$ por la  tercera,  $\text{8\euro}$ por la cuarta y así sucesivamente, cada vez duplicando el premio anterior.  
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
En resumen, no recibimos nada si sale cruz y en otro caso recibimos $1+2+4+\dots  +2^{n-1}=2^n-1$ euros donde $n$ es el número de caras seguidas.
\end{block}}

\qquad\begin{tabular}{l}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cruz.png}
\end{tabular}
$\longrightarrow$ $0\text{\euro}$
\\
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cara.png}
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cara.png}
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cara.png}
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cruz.png}
\end{tabular}
$\longrightarrow$ $1+2+4=7\text{\euro}$
\\
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cara.png}
\includegraphics[scale=0.2]{./imag/cruz.png}
\end{tabular}
$\longrightarrow$ $1\text{\euro}$
\end{tabular}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
¿Cuánto dinero  habría que pedir a los jugadores de este juego por participar? o dicho de otra forma, ¿cuánto deberíamos estar dispuestos a pagar por participar en este juego?
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
La \textbf{paradoja de San Petersburgo} consiste en que la cantidad a pagar para que el juego sea justo es infinita, por tanto nos deberíamos atrever a jugar fuera cual fuera el precio que nos exigiesen.
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Digamos que juegan $N$ personas, típicamente se pagará $\text{1\euro}$ a $N/2$ de ellos y $\text{2\euro}$ a $N/4$ por haber sacado dos caras. Como hay más de $N/2+2\cdot N/4=N$ euros en premios, es ventajoso pagar $\text{1\euro}$ por participar. 
\end{block}}

\end{frame}

%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Por otro lado, típicamente $N/8$ personas cobrarán $\text{4\euro}$ y $N/16$ cobrarán $\text{8\euro}$, entonces la cantidad típica repartida en premios es mayor que
\[
 1\cdot\frac{N}{2}+
 2\cdot\frac{N}{4}+
 4\cdot\frac{N}{8}+
 8\cdot\frac{N}{16}
=2N.
\]
Así pues, también es ventajoso pagar $\text{2\euro}$ por participar.
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
{\small Matemáticamente, al considerar el análisis de $k$ tiradas, a partir de
\[
 1\cdot\frac{N}{2}+
 2\cdot\frac{N}{4}+
 4\cdot\frac{N}{8}+
\dots + 2^{k-1}\cdot\frac{N}{2^k}
=\frac{k}2N
\]
se deduce que también es ventajoso pagar $k/2$ euros por participar, sea lo grande que sea $k$.}
\end{block}}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}




{\setbeamercolor{block title}{bg=blue}
\begin{block}{}
Esta paradoja, creada por el matemático N. Bernoulli en 1713, ha llamado la atención de los economistas modernos. 
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
Está claro que casi nadie apostaría la mitad de sus ahorros en este juego a no ser que estuviera desesperado. La manera de cuadrar los cálculos con el comportamiento real de las personas es introducir \lq\lq funciones de utilidad'' que tienen en cuenta que la mayor parte de las personas no arriesgan una parte sustancial de su patrimonio pero continuamente, como en la lotería, arriesgan una cantidad marginal si ven oportunidades remotas de premios sustanciosos.
\end{block}}


\pause


{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}\small
Casi nadie entraría en un juego de cara o cruz en que pido $1\text{\euro}$ si gano y pago $0.75\text{\euro}$ si pierdo. Sin embargo la participación en loterías muchísimo más desventajosas es masiva. Es un hecho psicológico que los grandes premios y la publicidad llaman a los jugadores.
\end{block}}


\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\section{Aplicaciones}
\begin{frame}
\frametitle{Paseos aleatorios y por Copenhague}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
Un \textbf{paseo aleatorio} es genéricamente un modelo matemático para reflejar situaciones físicas en que se toman caminos al azar.
\end{block}}

Ya el caso de una dimensión tiene una riqueza notable. 

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
Supongamos que estamos en una recta horizontal, tiramos una moneda y damos un paso a la derecha si sale cara y uno a izquierda si sale cruz. Al cabo de $n$ pasos estaremos a cierta distancia $d_n$ del punto de partida.
\end{block}}

\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.3]{./imag/random_walk.png}
\end{tabular}
\end{center}


\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Tras $n$ tiradas podemos estar a distancia como mucho $d_n=n$ y puede también que, por casualidad,  el número de caras y cruces se haya compensado y estemos en el punto de partida $d_n=0$. 
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
Un análisis matemático cuidadoso dice que cuando $n$ es muy grande, el valor medio de la distancia, $\overline{d_n}$ dividido entre $\sqrt{n}$ tiende a $\sqrt{2/\pi}$.
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
{\small Como en tantas otras ocasiones, aquí hay una invitación al platonismo: los seres humanos introdujimos hace muchos siglos  el número $\pi$ en relación con los círculos pero resulta que estaba misteriosamente también ahí, en los paseos aleatorios. Parece que hemos descubierto una verdad matemática preexistente.}
\end{block}}

\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
En dos dimensiones podríamos decidir entre norte, sur, este y oeste tirando un dado y repitiendo la tirada si aparece un 5 o un 6. En general, en un hipotético mundo de $k$ dimensiones hay $k$ \lq\lq ejes de coordenadas'' cada uno con dos sentidos, por tanto $2k$ posibilidades.
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
Una pregunta natural es si los paseos aleatorios típicamente vuelven al punto de partida. La respuesta es bastante curiosa:
\begin{itemize}
 \item<2-> En una o dos dimensiones se vuelve al origen infinitas veces con probabilidad del 100\%.
\item<3-> En tres o más dimensiones, con probabilidad del 100\%  se tiene que $d_n$ tiende a infinito.
\end{itemize}
\end{block}}


\uncover<4->{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
El estudio de los paseos aleatorios en diferentes variantes es importantísimo en muchas áreas fuera de las Matemáticas (Física, Economía, Informática, Biología, \dots )
\end{block}}

\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}\small
Si en un montón de nodos conectados por enlaces dejamos 2000 millones de personas que eligen caminos al azar,  ¿dónde se concentrarán preferentemente?
\end{block}}


\begin{center}
\fbox{\includegraphics[scale=0.35]{./imag/grafo.png}}
\end{center}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}\small
Éste es esencialmente el método con el que funciona el algoritmo que ordena los resultados en el
buscador de Google (Page Rank Algorithm).
\end{block}}

\end{frame}








%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
La física cuántica considera que los \textbf{estados} son funciones matemáticas y que los \textbf{observables} son operadores entre ellos. De esta forma, cosas tan básicas como la posición o el momento no son números concretos sino ciertas maneras de transformar funciones que a pueden representar partículas o  sistemas.
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Una partícula libre se representa por una \textbf{función de onda} $\psi$ que indica el estado físico. El momento lineal (en la física clásica la masa por la velocidad) en física cuántica es algo tan raro como la operación 
\[
 \psi\longmapsto -\hbar\sqrt{-1}\;\nabla \psi
\quad\text{con }\hbar =1.05\cdot 10^{-34}
\quad\text{y}\quad
\nabla=
\big(\frac{\partial}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}
\big).
\]
\end{block}}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=blue}
\begin{block}{}
Por otro lado, cuando utilizamos instrumentos para hacer mediciones físicas, obtenemos números. ¿Qué representan esos números?
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
Según la \textbf{interpretación de Copenhague}, hay que entenderlos en sentido probabilístico como promedios.
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
En cada punto, la función de onda de un electrón está relacionada con la probabilidad de que lo detectemos en dicho punto. 
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Un electrón libre nos parece que viaja en línea recta porque es muy probable que si lo detectamos en dos puntos, también lo detectemos en un tercero alineado, pero con instrumentos muy precisos se comprueba que, según las mediciones,  las trayectorias son \lq\lq borrosas'', con una componente aleatoria.
\end{block}}


\end{frame}


%%%%%%%%%%
% SLIDE %%
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{center}
{\LARGE Presentación y código fuente disponibles en}

\

{\LARGE\url{http://www.uam.es/fernando.chamizo}}
\end{center}


\end{frame}



\end{document}
