%http://jorsansa.webs.upv.es/blog/?q=intro-beamer
\documentclass[color=usenames, spanish]{beamer}
%\usepackage{amssymb, amsmath} 
%\usepackage{latexsym} 
\usepackage{beamerthemesplit}
%\usepackage{color} 
\usepackage{graphics} 
\usepackage{wrapfig}
%\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{graphicx}
%http://oregonstate.edu/~peterseb/tex/samples/color-package.html


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	SPANISH
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	MACROS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mbox{${\mathbb R}$}} 
\newcommand{\C}{\mbox{${\mathbb C}$}} 
\newcommand{\N}{\mbox{${\mathbb N}$}} 
\newcommand{\Z}{\mbox{${\mathbb Z}$}} 
\newcommand{\Q}{\mbox{${\mathbb Q}$}} 
\def\ejer{\ \par\vskip-7pt{\bf\number\value{ejeno})\ }\addtocounter{ejeno}{1}}
\newtheorem{defi}{Definici\'{o}n}
\newtheorem{theo}{Teorema}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	COLORES
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definecolor{MyDarkBlue}{rgb}{0,0.08,0.45}
\definecolor{MedioRojo}{rgb}{0.5,0,0}
%  \colorlet{darkred}{red!80!black}
%  \colorlet{darkblue}{blue!80!black}
\colorlet{darkgreen}{green!80!black}


\mode<presentation>{
%\usetheme[numbers]{Warsaw} %Rebordes y n\'{u}meros
\usetheme{Frankfurt} %Rebordes y n\'{u}meros indice con puntos
%\usecolortheme{seahorse} % Rebordes malvas
%\usecolortheme{rose} %Reborde azules m\'{a}s claros en bloques
%\usefonttheme[onlylarge]{structuresmallcapsserif} %\sc en t\'{\i}tulos
%\usefonttheme[onlysmall]{structurebold} % t\'{\i}tulo de arriba en negrita ??
%\setbeamerfont{title}{shape=\itshape,family=\rmfamily} %t\'{\i}tulo en it\'{a}lica
%\setbeamercolor{title}{fg=red!80!black,bg=red!20!white} %t\'{\i}tulo en rojo con algo de negro y fondo rojiblanco
}

\title{\bf Euler y la Teor\'{\i}a de N\'{u}meros
}

\subtitle{\includegraphics[scale=0.213]{compti.png}}
\author{Fernando Chamizo Lorente}
\date{}
\institute{Universidad Aut\'{o}noma de Madrid \\ {\tiny http://www.uam.es/fernando.chamizo}
\\
\
\\
{\small 14 de febrero de 2007}}

\begin{document}

\setbeamertemplate{headline}
{%
\begin{beamercolorbox}{section in head/foot}
%\alert{\ \insertframenumber\ de \inserttotalframenumber}
{\color{MedioRojo}\ \insertframenumber\ de \inserttotalframenumber}
\vskip2pt\insertnavigation{\paperwidth}\vskip2pt
\end{beamercolorbox}%
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 0  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 0+ %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{\'{I}ndice}
\begin{frame}
\frametitle{\'{I}ndice}
%\tableofcontents[pausesections]
\tableofcontents
\end{frame}


%\end{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 1  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{En el XVIII}
\begin{frame}
\frametitle{La Teor\'{\i}a de N\'{u}meros para Euler}
\begin{block}{}
\quad\ \quad\ \lq\lq Una medida de la grandeza de Euler es que cuando uno estudia teor\'{\i}a de n\'{u}meros tiene la impresi\'{o}n de que Euler estaba principalmente interesado en teor\'{\i}a de n\'{u}meros pero cuando uno estudia series divergentes siente que las las series divergentes eran su mayor inter\'{e}s, cuando uno estudia ecuaciones diferenciales uno imagina que realmente las ecuaciones diferenciales eran su materia favorita, y as\'{\i} sucesivamente\dots''\quad {\sc H.M. Edwards} 1977.
\end{block}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 2  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{La Teor\'{\i}a de N\'{u}meros para Euler}
\begin{center}
\only<1>{\includegraphics[scale=0.33]{digbar1.png}}
\only<2>{\includegraphics[scale=0.33]{digbar2.png}}
\end{center}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 3  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{La Teor\'{\i}a de N\'{u}meros para Euler}
\begin{alertblock}{Euler 1765\hfill Elementos de \'{a}lgebra}
\lq\lq Cuando el n\'{u}mero de ecuaciones no se ajusta al de inc\'{o}gnitas [\dots ] la materia es una rama particular del \'{a}lgebra llamada {\it an\'{a}lisis indeterminado}''.

\

\lq\lq ...usualmente se a\~{n}ade la condici\'{o}n de que los n\'{u}meros buscados sean enteros y positivos, o al menos racionales [\dots ]. Ocurre que esta parte del an\'{a}lisis frecuentemente requiere artificios ajustados a~ella, los cuales hacen un gran servicio ejercitando el juicio de los principiantes y d\'{a}ndoles destreza en los c\'{a}lculos''.
\end{alertblock}

\

\begin{footnotesize}
{\bf Nota:} Euler comenz\'{o} a escribir un libro de teor\'{\i}a de n\'{u}meros.
\end{footnotesize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 4  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{La herencia de Fermat}
\uncover<2->{\hfill \underbar{\rm Con el criterio actual}\rule{50pt}{0pt}}

\

\begin{tabular}{c}
	\rule{0pt}{70pt}
\\
	\begin{small}
	\begin{tabular}{c}
	Lagrange
	\\
	(1736-1813)
	\\
	\ 
	\end{tabular}
	\end{small}
\\
	\begin{small}
	\begin{tabular}{c}
	Legendre
	\\
	(1752-1833)
	\end{tabular}
	\end{small}
\end{tabular}
\kern-20pt
\begin{tabular}{c}
	\begin{tabular}{c}
	Fermat
	\\
	(1601-1665)
	\end{tabular}
\\
	\rule{1pt}{35pt}
\\
	\begin{tabular}{c}
	{\bf Euler}
	\\
	(1707-1783)
	\end{tabular}
\\
	\rule{1pt}{35pt}
\\
	\begin{tabular}{c}
	Gauss
	\\
	(1777-1855)
	\end{tabular}
\end{tabular}
\begin{tabular}{l}
	\begin{tabular}{l}
	\pause
	\alert<2>{?`Demostraciones?}
	\\
	\ 
	\end{tabular}
\\
	\rule{0pt}{35pt}
\\
	\begin{tabular}{l}
	\pause
	\alert<3>{Demostraciones}
	\\
	\ 
	\end{tabular}
\\
	\rule{0pt}{35pt}
\\
	\begin{tabular}{l}
	\pause
	\alert<4>{Demostraciones perfectas}
	\\
	\ 
	\end{tabular}
\end{tabular}
\pause
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 5  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Divisibilidad}
\begin{frame}
\frametitle{Divisibilidad}


\begin{block}{Peque\~{n}o teorema de Fermat \hfill 1736,1747,1758}
Si $p$ es primo, $p$ divide a $n^p-n$.
\end{block}


\begin{overprint}
    \onslide<2>
	$(a+1)^p=a^p+1^p+p\cdot \text{cosas}$
    \onslide<3>
	$(a+1)^p=a^p+1^p+p\cdot \text{cosas}$
	$\Rightarrow$
    \onslide<4>
	$(a+1)^p=a^p+1^p+p\cdot \text{cosas}$
	$\Rightarrow$ $a=1$, $p|2^p-2$
    \onslide<5>
	$(a+1)^p=a^p+1^p+p\cdot \text{cosas}$
	$\Rightarrow$ $a=1$, $p|2^p-2$

	\hfill $\Rightarrow$ $a=2$, $p|3^p-2^p+2-3$
			$\Rightarrow$
			$p|3^p-3$, etc.
    \onslide<6>
	\vskip-5pt
	\begin{block}{\lq\lq Corolario'' 1732 (la explicaci\'{o}n en 1747)}
	Factorizaci\'{o}n de $F_5$: $2^{2^5}+1\only<1>{= 4 294 967 297}\uncover<2->{=641\cdot 6 700 417.}$
	\end{block}
    \onslide<7->
	\vskip-5pt
	\begin{block}{Congruencia de Euler-Fermat \hfill 1758}
	Si $k$ y $n$ son coprimos, $k$ divide a $n^{\varphi(k)}-1$.
	\end{block}
$\varphi(k)=$\;cantidad de n\'{u}meros menores que $k$ y coprimos con \'{e}l. 
\end{overprint}

\begin{overprint}
    \onslide<8>
\hrule

\

	\alert{N\'{u}meros perfectos:} $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$.
    \onslide<9->
	\vskip-5pt
	\begin{block}{Veinte siglos despu\'{e}s de Euclides}
	Todo n\'{u}mero perfecto par es de la forma $2^n(2^{n+1}-1)$. 
	\end{block}
\end{overprint}


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 6  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Despu\'{e}s de Euler}



\begin{itemize}
\item 
Existen infinitos n\'{u}meros para los que el rec\'{\i}proco del peque\~{n}o teorema de Fermat es falso (Alford, Granville, Pomerance 1994). 

\begin{small}
\underbar{Ej}. $561=3\cdot 11\cdot 17$, $561|a^{561}-a$ siempre~que $\text{mcd}(a,561)=1$.
\end{small}
\end{itemize}

\pause

\begin{small}$0<a<p$, restos al dividir por p de $a^1,a^2,a^3,\dots,a^{p-1}$.

Si salen todos los restos se dice que $a$ es {\color{MyDarkBlue} ra\'{\i}z primitiva}.\end{small}
\begin{overprint}
    \onslide<3-5>
	\begin{small}
	Ej. $a=10$, $p=7$, $p=17$
	\[
	\begin{tabular}{l}
		\uncover<3->{
		$\frac{1}{7}= 0'\overline{142\alert{857}}\dots
		\qquad 
		\frac{1}{17}= 0'\overline{05882352\alert{94117647}}\dots$}
	\\
		\uncover<4->{
		$\phantom{\frac{1}{7}= 0'}\alert{857}\phantom{142\dots}
		\qquad 
		\phantom{\frac{1}{17}= 0'}\alert{94117647}\phantom{05882352\dots}$}
	\\
		\uncover<5->{
		$\phantom{\frac{1}{7}= 0'}{\color{MyDarkBlue}\overline{999}}\phantom{142\dots}
		\qquad 
		\phantom{\frac{1}{17}=
		0'}{\color{MyDarkBlue}\overline{99999999}}\phantom{05882352\dots}$}
	\end{tabular}
	\]
	\end{small}
    \onslide<6>
	\begin{itemize}
	\item
	Hay exactamente $\varphi(p-1)$  ra\'{\i}ces primitivas (Gauss 1801).
	\end{itemize}
    \onslide<7->
	\begin{itemize}
	\item
	Hay exactamente $\varphi(p-1)$  ra\'{\i}ces primitivas (Gauss 1801).
	\end{itemize}

	En el lado computacional:
	
	\begin{itemize}
	\item 
	$F_k=2^{2^k}+1$ compuesto para $5\le k\le 32$ (2001).
	\item 
	Si hay n\'{u}meros perfectos impares, tienen al menos~$47$ factores primos (2005).
	\end{itemize}
\end{overprint}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 7  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Ec. diof\'{a}nticas}
\begin{frame}
\frametitle{El caso $n=3$ de la ecuaci\'{o}n de Fermat}
\begin{Large}
\framebox{\'{U}ltimo teorema de Fermat: $x^n+y^n\ne z^n$, $n>2$.}
\end{Large}

\

Fermat $\rightarrow$ $n=4$,\qquad Euler $\rightarrow$ $n=3,4$.

\pause

\begin{block}{Elementos de \'{A}lgebra\hfill Cap\'{\i}tulo XV}
{\color{MyDarkBlue} {\bf Cuesti\'{o}n 1:} Se requiere encontrar dos cubos, $x^3$ e $y^3$, cuya suma sea un cubo.}
\end{block}

\pause

242. Euler intenta sin \'{e}xito una especie de parametrizaci\'{o}n de la curva el\'{\i}ptica $x^3+1=y^3$, como no puede hacerlo escribe:

\pause

\begin{block}{}
{\color{MyDarkBlue} por tanto podemos inferir, con cierto grado de certeza, que es imposible encontrar dos cubos cuya suma sea un cubo. Pero estaremos totalmente convencidos con la siguiente demostraci\'{o}n.}
\end{block}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 8  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Factorizaci\'{o}n \'{u}nica}
\framebox{$x^3+y^3=z^3$}\quad\ soluci\'{o}n m\'{\i}nima $x,y,z$.

Se puede suponer $x=p+q$, $y=p-q$, \ \quad $4|p$, $\text{mcd}(p,q)=1$. 
\[
2p\cdot (p^2+3q^2)=z^3,\qquad\text{mcd}(2p,p^2+3q^2)=1\quad\text{ (si $3\not|p$)}
\]

\vskip-10pt

\begin{overprint}
    \onslide<2>
	\begin{block}{}
	{\color{MyDarkBlue} 5. Para que el producto $p/4\cdot (p^2+3q^2)$ pueda ser un cubo, cada uno de estos factores, a no ser que tenga un factor com\'{u}n, deben ser un cubo cada uno.}
	\end{block}
    \onslide<3->
	\begin{block}{}
	{\color{MyDarkBlue} 7. Para que $p^2+3q^2$ sea un cubo, s\'{o}lo tenemos que suponer, como hemos visto antes:
	$
	p\pm q\sqrt{-3}=(t\pm u\sqrt{-3})^3.
	$}
\end{block}
\end{overprint}

\uncover<4->{\begin{eqnarray*}
\Rightarrow\qquad\ \qquad& &
2p=
\underbrace{2t}_{h^3}\underbrace{(t+3u)}_{f^3}\underbrace{(t-3u)}_{g^3}
\\
\Rightarrow\qquad\ \qquad& & h^3=f^3+g^3\quad\text{ soluci\'{o}n menor $\Rightarrow$ contr.}
\end{eqnarray*}}
\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 9  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Despu\'{e}s de Euler}
Conjetura de Fermat $\rightarrow$  1630 aprox.

\begin{itemize}
\item<2->
E. Kummer (1847) $\rightarrow$ Teor\'{\i}a de ideales. El teorema es cierto para exponentes primos regulares.
\item<3->
G. Faltings (1983). El teorema es cierto salvo un n\'{u}mero finito de soluciones para cada $n$.
\item<4-> 
A. Wiles (1994)  $\rightarrow$ Conjetura de Shimura-Taniyama-Weil. Demostraci\'{o}n general.
\end{itemize}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 10 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Formas cuadr\'{a}ticas}
\begin{frame}
\frametitle{La ecuaci\'{o}n de Pell}
\begin{small}
$Q(x,y)=n$ {\color{darkgreen}$\Rightarrow$} 

\qquad $ax^2-by^2=n$ {\color{darkgreen}$\Rightarrow$} $x^2-Ay^2=m$ {\color{darkgreen}$\Rightarrow$} sol. part. $x^2-Ay^2=1$.  
\end{small}



\begin{overprint}
    \onslide<2>
	\begin{block}{}
	{\color{MyDarkBlue} Cuando se ha encontrado uno de estos valores es f\'{a}cil
	 deducir de \'{e}l infinitos [...] es suficiente saber uno, digamos el menor; y
	 Pell, un escritor ingl\'{e}s, nos ha ense\~{n}ado a encontrarlo con un ingenioso
	 m\'{e}todo.}
	\end{block}
    \onslide<3>
	
	{\color{MyDarkBlue} Euler 1733}
	\vskip-25pt
	\begin{eqnarray*}
	x_1^2=13x_2^2+1
	&\stackrel{x_1\approx x_2\sqrt{13}}{\longrightarrow} & x_1=3x_2+x_3
	\\
	4x_2^2=6x_2x_3+x_3^2-1
	&\stackrel{x_2\approx x_3\sqrt{6/4}}{\longrightarrow} & x_2=x_3+x_4
	\\
	\dots\dots\qquad
	&\dots\dots\dots&
	\qquad\dots\dots
	\\
	x_{11}^2=6x_{11}x_{12}+4x_{12}^2+1
	&\phantom{\leftrightsquigarrow}&
	\phantom{\text{\kern-20pt Sol. triv. $x_{12}=0$, $x_{11}=1$}}
	\end{eqnarray*}
    \onslide<4>
	
	{\color{MyDarkBlue} Euler 1733}
	\vskip-25pt
	\begin{eqnarray*}
	x_1^2=13x_2^2+1
	&\stackrel{x_1\approx x_2\sqrt{13}}{\longrightarrow} & x_1=3x_2+x_3
	\\
	4x_2^2=6x_2x_3+x_3^2-1
	&\stackrel{x_2\approx x_3\sqrt{6/4}}{\longrightarrow} & x_2=x_3+x_4
	\\
	\dots\dots\qquad
	&\dots\dots\dots&
	\qquad\dots\dots
	\\
	x_{11}^2=6x_{11}x_{12}+4x_{12}^2+1
	&\leftrightsquigarrow&
	\Delta=13x_{12}^2+1
	\phantom{\kern30pt}
	\end{eqnarray*}
    \onslide<5->
	
	{\color{MyDarkBlue} Euler 1733}
	\vskip-25pt
	\begin{eqnarray*}
	x_1^2=13x_2^2+1
	&\stackrel{x_1\approx x_2\sqrt{13}}{\longrightarrow} & x_1=3x_2+x_3
	\\
	4x_2^2=6x_2x_3+x_3^2-1
	&\stackrel{x_2\approx x_3\sqrt{6/4}}{\longrightarrow} & x_2=x_3+x_4
	\\
	\dots\dots\qquad
	&\dots\dots\dots&
	\qquad\dots\dots
	\\
	x_{11}^2=6x_{11}x_{12}+4x_{12}^2+1
	&\leftrightsquigarrow&
	\text{\kern-20pt Sol. triv. $x_{12}=0$, $x_{11}=1$}
	\end{eqnarray*}
\end{overprint}

\uncover<6->{

\vskip5pt

\hrule

\vskip10pt

$x_{10}\mapsto\dots\mapsto x_3\mapsto x_2\mapsto x_1$
$\leadsto$ 
$1\mapsto \dots\mapsto 109\mapsto 108\mapsto 649$

\vskip10pt

$\Rightarrow$\quad \fbox{$649^2-13\cdot 180^2=1$}\hfill
	{\color{MyDarkBlue} (1759, fracciones continuas)}
}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 11 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Representaci\'{o}n por formas cuadr\'{a}ticas}
\vskip-10pt
\begin{block}{Carta a N. Beguelin\hfill 1778}
{\color{MyDarkBlue} Todos los n\'{u}meros contenidos de una sola forma en $x^2+y^2$ son primos o dobles de primos donde $x$ e $y$ son primos entre s\'{\i}. He observado que otras expresiones similares de la forma $nx^2+y^2$ gozan de la misma propiedad dando a la letra $n$ valores {\it convenientes}.}
\end{block}

\begin{overprint}
    \onslide<2>
	Euler calcul\'{o} una tabla de 65 n\'{u}meros convenientes y los emple\'{o} para
	construir primos de hasta 8 d\'{\i}gitos. 
    \onslide<3>
	Desde el punto de vista actual la explicaci\'{o}n radica en la estructura del
	 grupo de
	clases. Para los {\color{MyDarkBlue}n\'{u}meros convenientes} la
	 representaci\'{o}n por primos se
	puede decidir con congruencias sencillas.
    \onslide<4>
	Desde el punto de vista actual la explicaci\'{o}n radica en la estructura del
	 grupo de
	clases. Para los {\color{MyDarkBlue}n\'{u}meros convenientes} la
	 representaci\'{o}n por primos se
	puede decidir con congruencias sencillas.

	\vskip7pt
	\quad\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
	{\color{MyDarkBlue}\[
	p=x^2+5y^2\quad\Leftrightarrow\quad 20|p-1\text{ \'{o} }20|p-9
	\]}

	\vskip-40pt
	\[
	p=x^2+13y^2\Leftrightarrow52|p-a\text{ para alg\'{u}n }
	a\in\{1,9,17,25,29,49\}
	\]
	\end{minipage}}

	\vskip7pt
	\begin{footnotesize}
	\underbar{Ej}. $109=8^2+5\cdot 3^2$, $20|109-9$, \quad $233=5^2+13\cdot 4^2$,
	$52|233-25$.
	\end{footnotesize}
\end{overprint}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 12 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Reciprocidad cuadr\'{a}tica}

$p$, $q$ primos distintos mayores que dos.

\begin{block}{Ley de reciprocidad cuadr\'{a}tica\hfill Conjetura 1772}
{\color{MyDarkBlue} Si $p$ es de la forma $4mq+(2r+1)^2$ entonces $q$ y $-q$ son de la forma $np+s^2$.} 
\end{block}

\pause

Con un lenguaje m\'{a}s sencillo:
\begin{eqnarray*}
& &\text{Si $8|(p-1)(q-1)$}
\\
& &\qquad p|x^2-q\ \text{ tiene soluci\'{o}n }
\Leftrightarrow
q|x^2-p\ \text{ tiene soluci\'{o}n }
\\
\pause 
& &\text{Si $8\nmid(p-1)(q-1)$}
\\
& &\qquad p|x^2-q\ \text{ tiene soluci\'{o}n }
\Leftrightarrow
q|x^2-p\ \text{ no tiene soluci\'{o}n }
\end{eqnarray*}


\pause
\begin{small}
\underbar{Ej}: $41|x^2-5$ para $x=13$,\quad $5|x^2-41$ para $x=1$
\end{small}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 13 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Despu\'{e}s de Euler}

\begin{itemize}
\item<1->
Gauss (1801) demostr\'{o} la ley de reciprocidad y cre\'{o} una teor\'{\i}a de formas cuadr\'{a}ticas (clases, g\'{e}neros, composici\'{o}n).
\item<2->
Artin (1927) dio una formulaci\'{o}n muy general de la ley de reciprocidad que se aplica a extensiones de cuerpos. 
\item<3-> 
Actualmente se sabe que falta como mucho un n\'{u}mero id\'{o}neo en la tabla de Euler (Chowla~1934) y que, si existe,  debe ser mayor que cien millones. 
\end{itemize}
\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 14 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{T. Anal\'{\i}tica}
\begin{frame}
\frametitle{Los albores de los m\'{e}todos anal\'{\i}ticos}
\begin{block}{Diversas observaciones sobre series infinitas \hfill 1744}
\begin{eqnarray*}
\frac 21\cdot\frac 32\cdot\frac 54\cdot\dots \cdot\frac{p}{p-1}\cdot\dots
&=&
\frac11+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\dots
\\ 
\pause
\prod(1-p^{-1})^{-1}\qquad
&=&
\qquad
\sum \frac 1n\uncover<3->{\alert{=x}}
\end{eqnarray*}
\end{block}
\pause

\begin{overlayarea}{\textwidth}{4cm}
\only<4>{
\[
\left.
\begin{array}{r}
{\displaystyle
x=\sum_{\ }\frac 1n
}
\\
{\displaystyle
\frac 12x=\sum\frac 1{2n}
}
\end{array}
\right\}
\quad\
\Rightarrow\ x(1-\frac12)=\sum_{2\nmid n}\frac 1n
\]
}
\pause
\only<5>{
\[
\left.
\begin{array}{r}
{\displaystyle
 x(1-\frac12)=\sum_{2\nmid n}\frac 1n
}
\\
{\displaystyle
\frac 13 x(1-\frac12)=\sum_{2\nmid n}\frac 1{3n}
}
\end{array}
\right\}
\
\Rightarrow\ x(1-\frac12)(1-\frac13)=\sum_{\substack{2\nmid n \\ 3\nmid n}}\frac 1n
,\dots\quad \text{etc.}
\]
}
\only<6>{
\begin{block}{El producto de Euler}
\[
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}, \qquad
\zeta(s)=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}.
\]
\end{block}
}
\end{overlayarea}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 15 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{La distribuci\'{o}n de los primos}
\only<1>{?`Para qu\'{e} otra demostraci\'{o}n de la infinitud de los primos?}

\vskip-5pt

\pause
\begin{block}{Corolario 1\qquad\hfill $\prod(1-p^{-s})^{-1}=\sum n^{-s}$, $s=1$}
Se cumple $\prod (1-p^{-1})^{-1}=\log\infty$.
\end{block}


\begin{overprint}
    \onslide<2>
	\lq\lq $\log\infty$ es el m\'{\i}nimo entre todas las potencias de infinito''.
    \onslide<3->
	\begin{block}{Corolario 2\qquad\hfill $\prod (1-n^{-2})^{-1}=2$}
	Los primos son infinitamente m\'{a}s numerosos que los cuadrados.
	\end{block}
\end{overprint}



\uncover<4->{\begin{block}{Corolario 3\qquad\hfill $\prod (1-n^{-1})^{-1}=\infty$, \quad $\log\infty<\infty$}
Los primos son infinitamente menos numerosos que los naturales.
\end{block}}

\uncover<5->{\begin{block}{Corolario 4\qquad\hfill $\log \prod(1-p^{-1})^{-1}\sim p^{-1}$}
La suma de los inversos de los primos diverge: $\sum p^{-1}=\log\log\infty$.
\end{block}}
\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 16 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Despu\'{e}s de Euler}

Mertens (1897): 
\[
\smash{\prod_{p<x}}(1-p^{-1})^{-1}\sim C\log x
\qquad\text{y}\qquad
\smash{\sum_{p<x}}\frac 1p\sim \log\log x
\]
dando sentido expl\'{\i}cito a los infinitos de Euler.

\

\uncover<2->{La definici\'{o}n de $\zeta(s)$ puede extenderse dando lugar a una funci\'{o}n meromorfa en $\C$ (?`Euler? Riemann).} 

\uncover<3->{
\begin{block}{Hip\'{o}tesis de Riemann 1859}
Todos los zeros complejos de la funci\'{o}n $\zeta$ tienen parte real $1/2$.
\end{block}
\vskip-20pt
\[
\#\{p<x\}=\int_2^x\frac{dt}{\log t}+O(\sqrt{x}\log x)
\qquad \Leftrightarrow\qquad\text{HR es cierta} 
\]
}
\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 17 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Referencias}
\begin{frame}
\frametitle{Referencias}
\begin{block}{Referencias electr\'{o}nicas}
\begin{itemize}
\item[]
{\sc The Euler archive}
\item
http://www.math.dartmouth.edu/$\sim$euler/
\item[]
\ 
\item[]
{\sc Ed Sandifer's How Euler Did It} (MAA online)
\item
http://www.maa.org/news/howeulerdidit.html
%\item
%Numeri idonei http://www.mathpages.com/home/kmath058.htm
\end{itemize}
\end{block}

\

\

\

\begin{scriptsize}
Esta charla en formato PDF est\'{a} en {\tt http://www.uam.es/fernando.chamizo}
\end{scriptsize}
\end{frame}



\end{document} 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 10 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Formas cuadr\'{a}ticas y reciprocidad}
\begin{frame}
\frametitle{La ecuaci\'{o}n de Pell}
\begin{block}{}
E071 Fracciones continuas. E498 n\'{u}meros convenientes.
\end{block}

\begin{tiny}
Chapter XII
182 Let, therefore, the formula $x^2+cy^2$ be proposed, and let it be required to make it a square. Asi it is composed of the factors $(x+y\sqrt{-c})\times (x-y\sqrt{-c})$, these factors must either be squares or squares multiplied by the same number. For, if the product of two numbers, for example, $pq$, must be a square, we must have $p=r^2$ and  $q=s^2$; that is to say, each factor is of itself a square: or  $p=mr^2$ and  $q=ms^2$; and therefore these factors are squares multiplied both by the same number. For which reason, let us make  $x+y\sqrt{-c}=m(p+q\sqrt{-c})^2$; it will follow that $x-y\sqrt{-c}=m(p-q\sqrt{-c})^2$, and we shall have $x^2+cy^2=m^2(p^2+cq^2)^2$, which is a square. 


Farther, in order to determine $x$ and $y$, we have the equations $x+y\sqrt{-c}=mp^2+2mpq\sqrt{-c}-mcq^2$, and $x-y\sqrt{-c}=mp^2-2mpq\sqrt{-c}-mcq^2$; in which $x$ is necessarily equal to the rational part, and  $y\sqrt{-c}$ to the irrational part; so that  $x=mp^2-mcq^2$ $y\sqrt{-c}=2mpq\sqrt{-c}$, or $y=2mpq$; and these are the values of $x$ and $y$ that will transform the expression $x^2+cy^2$ into a square, $m^2(p^2+cq^2)^2$, the root of which is $mp^2+mcq^2$.
\end{tiny}
\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 11 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Representaci\'{o}n por formas cuadr\'{a}ticas}
183. If the number $x$ and $y$ have not a common divisor, we must make $m=1$. ...

184. This solution will hold good, whether the number $c$ be positive or negative; but farther, if this number itself had factors, as, for instance, th formula $x^2+acy^2$, we should not only have the preceeding solution, which gives $x=acq^2-p^2$, and $y=2pq$, but this also, namely, $x=cq^2-ap^2$, and $y=2pq$ [...]
This new solution is also obtained from the last method, in the following manner:
If we make $x+y\sqrt{-ac}=(p\sqrt{a}+q\sqrt{-c})^2$, and $x-y\sqrt{-ac}=(p\sqrt{a}-q\sqrt{-c})^2$ [...] we find $x=ap^2-cq^2$, and $y=2pq$. [...]


\end{frame}


