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%-------NEW--------%
\usepackage{lmodern} %lo incluyo para evitar unos warnings
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\tikzstyle{every picture}+=[remember picture] 
%------------------%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	SPANISH
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\decimalpoint

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 	MACROS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 
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\makeatletter
\newcommand\xleftrightarrow[2][]{%
  \ext@arrow 9999{\longleftrightarrowfill@}{#1}{#2}}
\newcommand\longleftrightarrowfill@{%
  \arrowfill@\leftarrow\relbar\rightarrow}
\makeatother


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%%%%% 	COLORES
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\mode<presentation>{
\usetheme{Frankfurt} %Rebordes y n\'{u}meros indice con puntos
\usecolortheme{seahorse} % Rebordes malvas
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%\usecolortheme{rose} %Reborde azules m\'{a}s claros en bloques
}


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\title[\insertframenumber\quad Un teorema de J. Cilleruelo]{\bf Un teorema de Javier Cilleruelo}


\author[F. Chamizo]{Fernando Chamizo}
\date{24 de octubre de 2016}
\institute{Universidad autónoma de Madrid}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  _  _   ___  __      __  %
% | \| | | __| \ \    / /  %
% | .` | | _|   \ \/\/ /   %
% |_|\_| |___|   \_/\_/    %
%                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\definecolor{rojo1}{RGB}{153,0,0} %rojo
\definecolor{amarillo1}{RGB}{255,216,61} %amarillo
\definecolor{amarillo2}{RGB}{248,172,0} %amarilloICMAT
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\colorlet{colortema1}{amarillo2} %otra buena opcion es verde2
\colorlet{colortema2}{azul2} %este es mi preferido
%\colorlet{fondo}{azul3!8!white}  %otra buena opcion es gris1!60 (para cuando en las anteriores se elige naranjas o rojos)
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%% beamerinnertheme
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  \begin{tikzpicture}
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  \end{tikzpicture}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%






\begin{document}

\setbeamertemplate{headline}
{%
\begin{beamercolorbox}{section in head/foot}
%%\alert{\ \insertframenumber\ de \inserttotalframenumber}
\ \vspace{6.5pt}\par \insertnavigation{\paperwidth}\vspace{2.5pt}
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{
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\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}
}
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%%%%%%%%%%%%
% SLIDE 0+ %
%%%%%%%%%%%%
%%Index
%%\section*{\'{I}ndice}
%\begin{frame}
%\frametitle{\'{I}ndice}
%%\tableofcontents[pausesections]
%\tableofcontents
%\end{frame}







%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}

{\setbeamercolor{block title}{bg=pink}
\begin{block}{}
\begin{center}
\bf ¿Se pueden sumar los porcentajes?
\end{center}
\end{block}}

No se debería poder en general pero{\dots}


{\setbeamercolor{block title}{bg=blue}
\begin{block}{}
{\color{magenta}Portada de ``El País'' (14/02/2014):}
``Hay un $7\%$ de alumnos menos que hace dos años tras la subida de las tasas''.

\rule{0.95\textwidth}{1pt}

\pause

{\color{magenta}Explicación en el interior:}
Los de grado se ha reducido un $1.2\%$ y los de máster un $5.8\%$. 
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Nota: El verdadero descenso fue de $1.6\%$. ¿Por qué no sumar $50\%$ a $7\%$ si de mis dos primos uno lo dejó?
\end{block}}


Si $A_1\sqcup A_2=$\;espacio muestral
\begin{eqnarray*}
P(B)&=& P(B|A_1)+ P(B|A_2)\quad \text{{\color{red}(incorrecto)}}
\\
P(B)&=& {\color{blue} P(B|A_1)P(A_1)+ P(B|A_2)P(A_2)}\quad \text{{\color{blue}(correcto)}}
\end{eqnarray*}


\hfill\fbox{\footnotesize\bf Más ejemplos en el blog {\tt malaprensa} de Josu Mezo}

%http://www.ondacero.es/programas/la-brujula/programas-completos/labrujula_20131018554267f70cf2a878db5bcd34.html min59:40, min01:10

%http://www.malaprensa.com/2013/10/el-purgatorio-anecdatos-y-un-pequeno.html


\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=blue}
\begin{block}{}
El sindicato CSIF afirma que los funcionarios han perdido casi el {50\%} de poder adquisitivo de 1981 a 2007. Según su presidente, un {30\%} en 2009--2013 
(¿$9\%+5\%=30\%$?).

\rule{0.95\textwidth}{1pt}
\pause
Según La Voz de Galicia los funcionarios de la Xunta desde 2010 ``han perdido en torno a un $20.2\%$ de su poder adquisitivo'' por 4 rebajas salariales del  $5\%$, $7\%$, $2.9\%$, $2.4\%$ y $2.9\%$ (suma $20.2$).
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Nota: Si en 2017 me reducen el sueldo a la mitad y en 2018 hacen lo mismo ¿me quedo sin sueldo?
\end{block}}


$P(A_j)$=proporción de la $j$-ésima bajada
\begin{eqnarray*}
P(A_1^c\cap \dots \cap A_n^c)
\hspace{-5pt}
&=& 1-P(A_1)- \dots-P(A_n)\quad \text{{\color{red}(incorrecto)}}
\\
P(A_1^c\cap \dots \cap A_n^c)
\hspace{-5pt}
&=& 
\hspace{-5pt}
{\color{blue}\sum_k(-1)^{k}
\hspace{-9pt}
\sum_{i_1<\dots <i_k}P(A_{i_1}\cap \dots \cap A_{i_k})}
\text{\ {\color{blue}(correcto)}}
\end{eqnarray*}


\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
De acuerdo, no podemos sumar porcentajes pero la suma nos indica algo acerca del solapamiento
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
$L=$\; llueve el lunes
\qquad
$M=$\; llueve el martes

Si $P(L)=60\%$ y $P(M)=50\%$, la probabilidad de que llueva ambos días es al menos del $10\%$

\[
 P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1
\]
\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[height=70.149pt, keepaspectratio=true]{./images/two_c.png}
\end{tabular}
\end{center}
\end{block}}



\end{frame}





%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
¿Y si sabemos la probabilidad de que llueva el miércoles? ¿Qué podemos decir de los solapamientos a partir de la suma de probabilidades (porcentajes)?
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[height=154.39pt, keepaspectratio=true]{./images/paper.png}
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{p{4.7cm}}
J. Cilleruelo, G. Tenenbaum. 

{\small\bf An overlapping theorem with applications.}

\

{\small We establish a general and optimal lower bound for the complete sum of the probabilities of $k$-intersections of $n$ events. 
We then describe various applications to \dots}
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{block}}



\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
{\bf Teorema.} En cualquier espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, se tiene, 
\[
\sum_{j_1<\dots<j_m}
P(E_{j_1}\cap \cdots \cap E_{j_m})
\ge 
Q_m\big(\sum_j P(E_j)\big)
\]
donde $Q_m(x)$ es la función que interpola linealmente
$n\longmapsto\binom{n}{m}$.
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\begin{center}
{\color{blue}\small Gráfica de $Q_3(x)$}
\qquad
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[height=90.339pt, keepaspectratio=true]{./images/q_three.png}
\end{tabular}
\end{center}
\end{block}}

\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
La demostración es breve y sencilla (8 líneas en el original). Con indicaciones suficientes, se podría proponer como ejercicio en el grado de matemáticas.
\end{block}}

\pause

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Lo importante del artículo es el ingenio al emplearlo en diversas aplicaciones:
\begin{enumerate}
 \item Teoría elemental de primos
 \item Teoría de grafos
 \item Conjuntos de Sidon
 \item Teoría de códigos
 \item Estructura de los divisores 
 \item Puntos en círculos
\end{enumerate}
\end{block}}


\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
La demostración es breve y sencilla (8 líneas en el original). Con indicaciones suficientes, se podría proponer como ejercicio en el grado de matemáticas.
\end{block}}



{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Lo importante del artículo es el ingenio al emplearlo en diversas aplicaciones:
\begin{enumerate}
 \item Teoría elemental de primos
 \item Teoría de grafos
 \item {\bf Conjuntos de Sidon}
 \item Teoría de códigos
 \item Estructura de los divisores 
 \item Puntos en círculos
\end{enumerate}
\end{block}}


\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Javier era un experto renombrado en problemas aditivos, en especial en temas relacionados con conjuntos de Sidon.
\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{{\color{black}\bf ¿Qué es un conjunto de Sidon?}}
Es un conjunto de enteros positivos en el que todas las sumas de dos elementos son distintas.
\[
 A=
 \big\{
 1,2,4,8,16,32
 \big\}
 \qquad
 A=
 \big\{
 1,2,5,10,16,23,33,35
 \big\}
\]

\end{block}}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\small
Una pregunta fundamental es saber cómo de grandes pueden ser si disponemos de números hasta $N$ y, en el caso infinito,  cómo de lento puede crecer la sucesión.  
\end{block}}


\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Javier en una entrevista}

\begin{tikzpicture}
    \draw (0,0) node[shading = axis,rectangle, left color=white, right color=white!93!blue,shading angle=45,
    % loanterior es para gradient
    anchor=north west,rectangle, rounded corners,fill=white!98!black,draw=colortema2, line width=1pt,text width=.97\textwidth,minimum height=2.8cm,text badly ragged]
    {``{\sl\color{MyDarkBlue} {\bf Siempre me han atraído los problemas con enunciado sencillo y que sin embargo son difíciles de responder}}. {Eso no quiere decir que las herramientas que haya que utilizar para resolverlos no sean difíciles y sofisticadas. A veces requieren crear nuevas herramientas y teorías. Hay quienes, sin embargo, una vez creada la nueva teoría, se entretienen a sacar punta a la misma olvidándose de cuál era el problema original. No digo que eso no sea lícito, simplemente que} {\sl\color{MyDarkBlue} \bf yo soy incapaz de entusiasmarme con problemas llenos de lenguaje, no encuentro la motivación suficiente}.''};
\end{tikzpicture}




\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}


{\setbeamercolor{block title}{bg=green}
\begin{block}{}
{\color{black}\bf Cota de Lindstr\"om.}
Los conjuntos de Sidon $A\subset\{1,\dots,N\}$ verifican $|A|\le N^{1/2}+N^{1/4}+1$.
\end{block}}

\pause
{\color{black}\bf Dem.}
$E_j:=A+j$, $1\le j\le n$,\quad 
$s:=\big|\bigcup E_j\big|$,\quad
$P(\{a\}):=s^{-1}$.\pause
\[
 \sum P(E_j)=n |A|s^{-1},
 \qquad
 \text{Sidon }\Rightarrow\ 
 \big|E_{j_1}\cap E_{j_2}\big|\le 1.
\]\pause
\[
  \sum_{1\le j_1<j_2\le n}
 P\big(E_{j_1}\cap E_{j_2}\big)
 \begin{cases}
  \ge
  \binom{\sum P(E_j)}{2}&\text{(Teorema de solapamiento)}
  \\[8pt]
  \le \binom{n}{2}s^{-1}&\text{(Sidon)}
 \end{cases}
\]\pause
\[
 \binom{n}{2}s^{-1}\ge 
 \binom{\sum P(E_j)}{2}
 \quad\Rightarrow\quad
 s\ge 
 \frac{|A|^2n}{|A|+n-1}.
\]\pause
Usando $s\le N+n$ y eligiendo $n$ de manera óptima, se obtiene el resultado.\qed




\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Otras contribuciones de Javier a los conjuntos de Sidon}



{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
{\bf Problema:} Hallar sucesiones (infinitas) de Sidon que crezcan lento
\[
 A(N)=\#\big\{
 \text{elementos $\le N$ de la sucesión}
 \big\}
 \ge C N^\alpha
\]
\end{block}}



{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
\begin{itemize}
 \item<2-> 
 {\color{blue}P. Erd\H os}  (1932) \quad$\alpha=1/3$ (fácil)
 \item<3->
 {\color{blue}M. Atjai, J. Komlós, E. Szemerédi}  (1981) {\footnotesize $A(N)\ge C(N\log N)^{1/3}$}
 \item<4->
 {\color{blue}I. Ruzsa} (1998) \quad$\alpha=\sqrt{2}-1-\epsilon$ \quad(no constructiva)
 \item<5->
 {\color{blue}\bf Javier} (2014) Infinite Sidon sequences. \emph{Adv. Math.} 255
\end{itemize}
 
\uncover<5>{{\ \ \ \ \ \ \ }\begin{tikzpicture}
    \draw (0,0) node[shading = axis,rectangle, left color=white, right color=white!90!blue,shading angle=45,
    % loanterior es para gradient
    anchor=north west,rectangle, rounded corners,fill=white!98!black,draw=colortema2, line width=1pt,text width=.89\textwidth,minimum height=2.0cm,text badly ragged]
    {\begin{tabular}{lcc}
 4 páginas &$\longrightarrow$& $\alpha=(3-\sqrt{5})/2-\epsilon$ \quad(constructiva)
 \\
 2 más &$\longrightarrow$& $\alpha=\sqrt{2}-1-\epsilon$ \quad(constructiva)
 \\
 en el resto &$\longrightarrow$&  $h$ sumandos (sólo se sabía lo trivial)
\end{tabular}
};
\end{tikzpicture}}
 
\end{block}}


\end{frame}




%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}



{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
El resultado más famoso de Javier (escrito en colaboración con I.~Ruzsa y C.~Vinuesa) trata sobre el comportamiento asintótico de $\beta_g(N)$, el tamaño del máximo conjunto de naturales\;$\le N$ tales que cada suma de dos elementos se repite a lo más $g$ veces. Probaron
\[
{\color{blue}
 \lim_{g\to\infty}
 \liminf_{N\to\infty}
 \frac{\beta_g(N)}{\sqrt{gN}}
 =
 \lim_{g\to\infty}
 \limsup_{N\to\infty}
 \frac{\beta_g(N)}{\sqrt{gN}},}
\]
además estos límites coinciden con $\sup \int f$, donde el supremo se toma sobre el conjunto de funciones
\begin{small}\[
 \Big\{f\ge 0\;:\; f\in C[0,1]\text{ con }
 \int_0^1f(t)f(x-t)\; dt\le 1
 \Big\}.
\]\end{small}

\end{block}}


\end{frame}



%%%%%%%%%%
% SLIDE  %
%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Una investigación inconclusa}


{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
La sucesión de Mian-Chowla sucesivamente elimina de $\N$ los números que evitan que sea de Sidon:

{\small
1,\;2,\;\xcancel{3},\;4,\;\xcancel{5},\;\xcancel{6},\;\xcancel{7},\;8,\;\xcancel{9},\;\xcancel{10},\;\xcancel{11},\;\xcancel{12},\;13,\;\xcancel{14},\;\xcancel{15},\;\xcancel{16},\;\xcancel{17},\;\xcancel{18},\;\xcancel{19},\;\xcancel{20},\;21
\pause

{\color{blue}1,\;2,\phantom{\;\xcancel{3},}\;4,\phantom{\;\xcancel{5},\;\xcancel{6},\;\xcancel{7},}\;8,\phantom{\;\xcancel{9},\;\xcancel{10},\;\xcancel{11},\;\xcancel{12},\;}13,\phantom{\;\xcancel{14},\;\xcancel{15},\;\xcancel{16},\;\xcancel{17},\;\xcancel{18},\;\xcancel{19},\;\xcancel{20},}\;21
}}
\end{block}}

{\setbeamercolor{block title}{bg=white}
\begin{block}{}
Javier desarrolló un modelo de probabilidad no riguroso que creía que sugería una asintótica correcta apoyada por cálculos numéricos.
\end{block}}

\pause

\begin{tikzpicture}
    \draw (0,0) node[anchor=north west,rectangle, rounded corners,fill=white,draw=colortema2, line width=1pt,text width=.97\textwidth,minimum height=2.8cm,text badly ragged]
    {};
    \draw (0.1,-.2) node[anchor=north west,text badly ragged]
    {Algo para llevarse a casa:};
    \draw (1.5,-1) node[anchor=north west,text badly centered]
    {\bf\color{blue}
    ¿Cuál es la asintótica de la sucesión?};
    \draw (0.1,-.2) node[anchor=north west,text badly ragged]
    {Algo para llevarse a casa:};
    \draw (0,-1.8) node[anchor=north west,text width=.95\textwidth,text badly ragged]
    {Javier tenía confianza en resolver esta cuestión. ¿Alguien recoge el testigo para un próximo tributo?};
\end{tikzpicture}

\end{frame}





\end{document}

