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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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}







\title{\bf Euler y los números}

\author{Fernando Chamizo Lorente}
\date{}
\institute{Universidad Aut\'{o}noma de Madrid \\ {\tiny http://www.uam.es/fernando.chamizo}
\\
\
\\
\
\\
{\large\sf Museo Nacional de Ciencia y Tecnología}
\\
\
\\
{\small 29 de noviembre 2007}
}

\begin{document}

\setbeamertemplate{headline}
{%
\begin{beamercolorbox}{section in head/foot}
%\alert{\ \insertframenumber\ de \inserttotalframenumber}
\ \vskip6.5pt\par \insertnavigation{\paperwidth}\vskip2pt
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}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA 0  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Esto simplemente crea la página del título
\begin{frame}
\titlepage

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% INV. DE EULER    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{Las investigaciones de Euler en teoría de números}


\begin{block}{}
\begin{enumerate}
\item 
Divisibilidad de potencias \uncover<2->{\alert{$\bullet$}}
\item 
Distribución de los primos 
\item 
Divisibilidad de formas cuadráticas \uncover<2->{\alert{$\bullet$}}
\item 
Último teorema de Fermat $n=3,4$
\item 
Números perfectos  \uncover<2->{\alert{$\bullet$}}
\item 
La ecuación de Pell
\end{enumerate}
\end{block}

\

\uncover<2->{{\sl Otros temas}: Números convenientes,  números amigos, teorema chino del resto, particiones, fracciones continuas, representación por formas cuadráticas.}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%
% TÍTULO 2     %
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{./images/titulo2.png}
\end{center}


\begin{tabular}{p{8.5cm}}
\includegraphics[scale=0.5]{./images/Euler.jpg}\begin{quote}
\begin{footnotesize}[\dots ] creo firmemente que no he desperdiciado mi trabajo y mi esfuerzo en investigar estas propiedades que contienen notables propiedades sobre los divisores de los números. Esta teoría de los divisores no es de uso vano sino que alguna vez podría mostrar alguna utilidad no despreciable en análisis.\end{footnotesize}
\end{quote}
\end{tabular}

\

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DIV. POTENCIAS  1 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Potencias}
\begin{frame}
\frametitle{Divisibilidad de potencias}

Euler se interesó mucho por la sucesión de restos cuando dividimos las potencias de un número entre otro
\begin{block}{}
$
\qquad\ 
a^0,\quad
a^1,\quad
a^2,\quad
a^3,\quad
a^4,\quad
a^5,\quad\dots
\qquad\ 
\qquad\ 
\vrule depth 1.6pt\kern-2pt\underbar{\text{ n\quad}}
$
\end{block}

Factorizando, todo se puede reducir a los casos $n$ primo o potencia de primo. 

\uncover<2->{La sucesión acaba siendo periódica porque sólo hay un número finito de restos.


\


{\color{acti}
\underline{Actividad}:
¿cuáles son los posibles periodos?
}
}
\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DIV. POTENCIAS  2 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
Primo & Periodos
\\
\hline
2& 1
\\
\hline
3& 1, 2
\\
\hline
5& 1, 2, 4
\\
\hline
7& 1, 2, 3, 6
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}{l|l}
Primo & Periodos
\\
\hline
11& 1, 2, 5, 10
\\
\hline
13& 1, 2, 3, 4, 6, 12
\\
\hline
\dots&\quad\ \dots 
\\
\hline
467& 1, 2, 233, 466
\end{tabular}
\end{center}

\underline{Ej.}: Para $n=5$

\begin{center}
\begin{small}\begin{tabular}{l|l}
	\begin{tabular}{lllll}
	$1^0$& $1^1$& $1^2$& $1^3$& $1^4$
	\dots \\ 
	\textbf{\alert{1}}&1&\multicolumn{2}{l}{\dots} &
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{lllll}
	$2^0$ & $2^1$ & $2^2$ & $2^3$ & $2^4$ 
	\dots \\ 
	\textbf{\alert{1}}&\textbf{\alert{2}}&\textbf{\alert{4}}&\textbf{\alert{3}}&1
	\end{tabular}
\\
\hline
\\[-5pt]
	\begin{tabular}{lllll}
	$3^0$& $3^1$& $3^2$& $3^3$& $3^4$
	\dots \\ 
	\textbf{\alert{1}}&\textbf{\alert{3}}&\textbf{\alert{4}}&\textbf{\alert{2}}&1
	\end{tabular}
&
	\begin{tabular}{llllll}
	$4^0$ & $4^1$ & $4^2$ & $4^3$ & $4^4$  
	\dots \\ 
	\textbf{\alert{1}}&\textbf{\alert{4}}&1&\multicolumn{2}{l}{\dots}
	\end{tabular}
\end{tabular}
\end{small}
\end{center}



\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DIV. POTENCIAS  3 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Euler probó inicialmente los siguientes resultados para los restos cuando se divide $a^k$, $k=0,1,2,\dots$ entre $n$:

\

\begin{block}{}
Si $n$ es primo, los posibles periodos son divisores de $n-1$.
\end{block}

\

\begin{block}{}
Si $n$ es potencia de un primo, $p$, los posibles periodos son divisores de $n-n/p$.
\end{block}

\

Más tarde logró probar que en el primer resultado todos los divisores de $n-1$ realmente aparecen como periodos.

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DIV. POTENCIAS  4 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

El resultado más conocido e influyente de Euler acerca de restos de potencias trata el caso compuesto general.

\


\begin{block}{Congruencia de Euler-Fermat\hfill Euler 1758}
\textbf{Teorema:} Sean $a$ y $n$ coprimos y $\phi(n)=n\prod_{p|n}(1-1/p)$, entonces $a^{\phi(n)}$ deja resto $1$ al ser dividido por $n$.
\end{block}

\


\underline{Ej.}: Si $3,5\nmid a$ entonces $15$ divide a $a^8-1$.

\


\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DIV. POTENCIAS  5 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\begin{block}{¿Matemáticas útiles e inútiles?}
El criptosistema RSA rige la mayor parte de las transmisiones seguras por la red y está basado en que si $n=pq$,  los restos de las potencias tienen como periodo un divisor de $r=(p-1)(q-1)$.
\end{block}

\

Si $p$ y $q$ son primos grandes (de cientos de \textit{bits})
\[
\begin{array}{lll}
p,q
&\stackrel{\text{fácil}}{\longrightarrow}& n\text{ (y $r$)}
\\
p,q \text{ (y $r$)}
&\stackrel{\text{difícil}}{\longleftarrow}& n
\end{array}
\quad
\begin{array}{ll}
\dashrightarrow &
\text{crear una clave}
\\
\dashrightarrow &
\text{romper una clave}
\end{array}
\]
\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% NÚMEROS PERFECTOS  1 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Números perfectos}
\begin{frame}
\frametitle{Numerología en el siglo de las luces}

\begin{block}{Números perfectos}
Se llama \textit{número perfecto} al  que coincide con la suma de sus divisores distintos de él mismo.
\end{block}

\vskip4pt

\underbar{Ej.}:
\qquad
$6=1+2+3$,
\qquad
$28=1+2+4+7+14$.

\

\uncover<2->{Euler descubrió el octavo número perfecto. 

Hasta la fecha (noviembre 2007) se conocen en total 44 números perfectos. El último de ellos cuenta con 19\,616\,714 cifras.

\


{\color{acti}
\underline{Actividad}:
elaborar una tabla con los primeros números perfectos y tratar de inferir una fórmula.
}
}
\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% NÚMEROS PERFECTOS  2 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{block}{}
Los primeros números perfectos:
\[
6,\quad
28,\quad
496,\quad
8128,\quad
33550336,\quad
8589869056,\quad
\dots
\]
\end{block}


\

\begin{block}{Euclides (s.IV-III a.d.C.),
Euler (s.XVIII)}
Los números perfectos pares son aquellos de la forma $2^{n-1}(2^n-1)$ donde $2^n-1$ es primo.
\end{block}

\vskip4pt
\uncover<2->{\begin{center}
\begin{tabular}{cccccccc}
$2^1$ & $\boxed{2^2}$ & $\boxed{2^3}$ & ${2^4}$  & $\boxed{2^5}$  & ${2^6}$  & $\boxed{2^7}$ &\dots \\ 
 & $\downarrow$ & $\downarrow$  &  & $\downarrow$  &  & $\downarrow$ &\\ 
 & 6 & 28 &  & 496  &  & 8128  &\dots
\end{tabular}
\end{center}

\begin{small}\underline{Nota}: Existen algoritmos muy eficientes para saber si $2^n-1$ es primo.\end{small}
}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% NÚMEROS PERFECTOS  3 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}


\begin{block}{}
Problemas sin resolver:
\begin{itemize}
\item 
¿Existe algún número perfecto impar? 
\item ¿Verdaderamente hay infinitos valores de $n$ para los que $2^n-1$ es primo?
\end{itemize}
\end{block}

\

Euler dijo del primer problema que era muy difícil y dio un resultado acerca de la factorización que deberían tener los hipotéticos números perfectos impares. 
Se cree que no existen.

\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DIV. FORMAS CUAD. 1 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Formas cuadráticas}
\begin{frame}
\frametitle{Divisibilidad de Formas Cuadráticas}



\begin{block}{Euler 1748}
59 \lq\lq teoremas experimentales'' acerca de la divisibilidad de $x^2+Cy^2$ cuando se dan valores (coprimos) a $x$ e $y$.
\end{block}

\

\begin{block}{}
Reducciones que Euler conocía:
\begin{itemize}
\item 
Se puede prescindir de la segunda variable tomando $y=1$.
\item 
Los casos importantes son $C=1$ y $C=$primo.
\end{itemize}
\end{block}


\begin{small}\underline{Nota}: Supondremos $C>0$.\end{small}


\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DIV. FORMAS CUAD. 2 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{block}{}
Experimentos de Euler $\rightarrow$ los factores primos al descomponer $x^2+C$, $x\in\N$, no son arbitrarios. Se agrupan en familias.
\end{block}

\

{\color{acti}
\underline{Actividad}:
estudiar estas familias.
}

\

\uncover<2->{\begin{block}{}
\begin{center}
% use packages: array
\begin{tabular}{c|l}
Polinomio  & Factores primos $p\ne 2,C$  \\ 
\hline
$x^2+1$ & $p=4n+1$ \\ 
\hline
$x^2+2$ & $p=8n+1,\;8n+3$ \\ 
\hline
$x^2+3$ & $p=6n+1$ \\ 
\hline
$x^2+5$ & $p=20n+1,\;20n+3,\;20n+7,\;20n+9$ \\ 
\hline
$x^2+7$ & $p=14n+1,\;14n+9,\;14n+11$ \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{block}
}

\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DIV. FORMAS CUAD. 3 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{block}{}
\underline{Ej.} ($x^2+1$, $p=4n+1$, $p=2$)
\begin{eqnarray*}
& &
8^2+1=5\times 13,\qquad
20^2+1=401,\qquad
30^2+1=17\times 53,
\\
& &
\qquad\ \qquad
1636^2+1=17 \times 29 \times 61 \times 89
\\
& &
2007^2+1
=2 \times 5^2 \times 13 \times 6197,
\qquad 
\alert{\boxed{4n+3\nmid x^2+1}}
\end{eqnarray*}
\end{block}

\

\begin{block}{}
\underline{Ej.} ($x^2+7$, $p=14n+1,\;14n+9,\;14n+11$, $p=2,7$)
\begin{eqnarray*}
& &
10^2+7=107,\qquad
20^2+7=11\times 37,\qquad
30^2+7=907,
\\
& &
\qquad\ \
2007001\nmid x^2+7,
\qquad \ \qquad
\alert{\boxed{14n+3\nmid x^2+7}}
\end{eqnarray*}
\end{block}

\end{frame}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DIV. FORMAS CUAD. 4 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

Para cada par de primos $p,q\ne 2$, Euler se percató de una extraña simetría de la cual se deducía casi todo lo que se proponía.

\begin{block}{Reciprocidad cuadrática \hfill (Demostración: Gauss 1801)}
\begin{enumerate}
\item Si $4|p-1$ y $4|q-1$:
\vskip-10pt
\[
\begin{array}{l}
\text{$p$ posible factor}
\\
\text{primo de $x^2+q$}
\end{array}
\Longleftrightarrow
\begin{array}{l}
\text{$q$ posible factor}
\\
\text{primo de $x^2+p$}
\end{array}
\]
\item En el resto de los casos:
\vskip-10pt
\[
\begin{array}{l}
\text{$p$ posible factor}
\\
\text{primo de $x^2+q$}
\end{array}
\Longleftrightarrow
\begin{array}{l}
\text{$q$ no es posible factor}
\\
\text{primo de $x^2+p$}
\end{array}
\]
\end{enumerate}
\end{block}


\underline{Ej.} \quad $p=14n+3\nmid x^2+7$ $\Leftrightarrow$ $7$ es posible factor de $x^2+14n+3$. 

Lo es, basta tomar $x=2$.


\end{frame}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TRANSPARENCIA biblio %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Referencias}
\begin{frame}
\frametitle{Referencias}


\begin{block}{Historia}
\begin{itemize}
\item
W. Dunham. \textit{Euler. El maestro de todos los matemáticos}. Nivola 2000.
\item
B. Torrecillas Jover. \textit{Fermat. El mago de los n\'{u}meros}. Nivola 1999.
\item
C.E. Sandifer. \textit{The early mathematics of Leonhard Euler}. Mathematical Association of America,  2007.
\item 
C.E. Sandifer. How Euler Did It. (MAA online)
{\tt http://www.maa.org/news/howeulerdidit.html}
\end{itemize}
\end{block}


\begin{scriptsize}
Esta charla en formato PDF est\'{a} en {\tt http://www.uam.es/fernando.chamizo}
\end{scriptsize}



\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Referencias}
\begin{block}{Textos}
\begin{itemize}
\item
Rosen, K. H. \textit{Elementary number theory and its applications}. 4th edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. 
\item
Cilleruelo F.J.; Córdoba A.\textit{La teoría de los números}. Mondadori, Madrid 1992.
\item
Vinogradov, I.M. \textit{Fundamentos de la Teoría de los Números}. MIR, 1977.
\item
Hardy, G. H.; Wright, E. M. \textit{An introduction to the theory of numbers}. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. 
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}



\end{document}



