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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}

En algunos temas avanzados de teoría de números aparece la función definida por una serie
\[
 E(z,s)
 =
 \sum_{\vec{n}\in\Z^2-\{\vec{0}\}}
 \frac{(\Im(z))^s}{|n_1z+n_2|^{2s}}
 \qquad\text{donde}\quad
 \Im(z)>0\quad\text{y}\quad\Re(s)>1.
\]
Se dice que es una \emph{serie de Eisenstein real} o, a veces, \emph{espectral}. 
Se puede probar, aunque no es nada sencillo, que para cada $z$ fijado admite una extensión meromorfa a $\C$ en $s$ con un único polo simple en $s=1$. La \emph{fórmula límite de Kronecker}, que estudiaremos en esta hoja, afirma que en su desarrollo de Laurent $a_{-1}/(s-1)+a_0+a_1(s-1)+\dots$ 
el residuo $a_{-1}$ es $\pi$ y $a_0$ se expresa en términos de cierta función famosa. El enunciado habitual (cf. \cite{wiki_klf}) se escribe en forma de límite:
\begin{equation}\label{kr1}
 \lim_{s\to 1^+}
 \Big(
 E(z,s)-\frac{\pi}{s-1}
 \Big)
 =
 2\pi \log\frac{e^\gamma}{2|\eta(z)|^2\sqrt{\Im(z)}}
\end{equation}
donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni y $\eta$ es la \emph{función eta de Dedekind}, una función holomorfa en $\Im(z)>0$, relevante en teoría de números y en variable compleja y que relacionaremos con $\theta(0,q)$ al final de la hoja, definida por 
\[
 \eta(z)
 =
 e^{\pi iz/12}
 \prod_{n=1}^\infty
 \big(1-e^{2\pi i nz}\big)
 \qquad\text{para}\quad \Im(z)>0. 
\]

Seguramente $E(z,s)$ te parecerá una función rara y el interés en ella infundado. A continuación te voy a explicar por encima la motivación de unas funciones relacionadas más sencillas.
Ya sabes que el interés de $\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ en teoría de números viene sobre todo de la fórmula producto $\zeta(s)=\prod_p (1-p^{-s})^{-1}$ que la relaciona con los primos. Es posible definir primos (en realidad se hace con ideales) en ciertos anillos de extensiones cuadráticas de $\Q$. Por ejemplo, en $\Z[i]$ los \emph{primos gaussianos} son los $a+bi$ que no son unidades y que no se factorizan como producto de elementos de norma menor. Cuando uno emplea primos de estos anillos cuadráticos, resulta que al generalizar la fórmula producto esta se escribe en términos de 
\emph{funciones zeta de Epstein} $\zeta(s,Q)$ asociadas a formas cuadráticas definidas positivas $Q$. Dichas funciones se definen como las series:
\[
 \zeta(s,Q) 
 = 
 \sum_{\vec{n}\in\Z^2- \{\vec{0}\}}
 \big(Q(\vec{n})\big)^{-s}
 \text{con}\quad\Re(s)>1
\]
en clara analogía con la función $\zeta$ de Riemann. La fórmula límite de Kronecker \eqref{kr1} es equivalente a que para cualquier
$Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ forma cuadrática real con $D=4ac-b^2>0$ y $a>0$ se cumpla 
\begin{equation}\label{kr2}
  \lim_{s\to 1^+}
  \Big(
  \frac{\sqrt{D}}{4\pi}\zeta(s,Q)
  -
  \zeta(2s-1)
  \Big)
  =
  \log\frac{\sqrt{a/D}}{|\eta(z_Q)|^2}
  \quad
  \text{con }
  z_Q = 
  \frac{-b+i\sqrt{D}}{2a}.
\end{equation}
Esta versión, ligeramente más compacta que \eqref{kr1},  nos será útil en la próxima hoja, que es la última, para deducir una fórmula de Ramanujan. 
\medskip

En este primer ejercicio te propongo como tarea que deduzcas por ti mismo la equivalencia con una pequeña indicación. Si te resulta muy duro, dímelo y te doy más pistas o simplemente sáltatelo porque no es necesario para nuestros propósitos. 

\ejer {\sf [Opcional]}
Nota que $Q(n_2,-n_1)=a|n_1z_Q+n_2|^2$. Con eso y con lo que sabes del comportamiento de $\zeta(s)$ cerca de $s=1$, demuestra que \eqref{kr1} y \eqref{kr2} son equivalentes. 

\

El grueso de esta hoja está dedicado a probar la fórmula límite de Kronecker en la versión~\eqref{kr2}. 
Seguiremos las líneas de \cite{chamizo} salvo cambios de ordenación y notación, que están en parte inspiradas por \cite{motohashi}. Con ello conseguiremos una demostración algo más sencilla que las habituales~\cite{siegel}. Esta referencias son para tu curiosidad y por si quieres mencionarlas en el trabajo. La hoja está autocontenida y no es necesario que las estudies.

\medskip 

Vamos a comenzar con un resultado de variable compleja que es una aplicación del teorema de los residuos. 

\ejer
Sea $\epsilon>0$ y $f:\big\{|\Im(z)|<2\epsilon\big\}\longrightarrow\C$ una función holomorfa par tal que para algún $\alpha>1$ verifica $\big|f(z)\big||z|^\alpha\to 0$ cuando $|\Re(z)|\to\infty$. Demuestra
\[
 \sum_{m\in\Z}f(m)
 =
 i
 \int_{-\infty+i\epsilon}^{\infty+i\epsilon} f(z)\cotg(\pi z)\, dz.
\]
{\sf Indicación:} Aplica el teorema de los residuos en la región 
$\big\{ |\Re(z)|\le N+\frac12,\ |\Im(z)|\le\epsilon\big\}$ con $N\in\Z^+$ tendiendo a $\infty$ y utiliza que $f(z)\cotg(\pi z)$ es impar para quedarte solo con la frontera superior. 

\ejer
Justifica con el teorema de Cauchy $\int_{-\infty+i\epsilon}^{\infty+i\epsilon} f(z)\, dz=\int_{\R} f$
para $f$ como en el problema anterior. Explica también que $i\cotg z-1=2e^{2iz}+2e^{4iz}+2e^{6iz}+\dots$ para $\Im(z)>0$ y, con todo esto, deduce
\begin{equation}\label{fpoi}
 \sum_{m\in\Z}f(m)
 -
 \int_{\R} f 
 =
 2\sum_{k=1}^\infty
 \int_{-\infty+i\epsilon}^{\infty+i\epsilon} f(z)\,e^{2\pi ikz}\, dz.
\end{equation}
\medskip

Esta es una variante de la fórmula de sumación de Poisson \cite{ChRa}, \cite[\S2.7]{DyMc} que mencioné en la hoja~2.
\medskip

Definamos la función
\[
 g_s(z) = p_s(z)+ p_s(-z)
 \qquad\text{con}\quad 
 p_s(z)=\big(Q(z,1)\big)^{-s}.
\]
Si $\epsilon<\frac 12 \Im(z_Q)$ entonces $Q(\pm z,1)$ no se anula en $\big\{|\Im(z)|<2\epsilon\big\}$ y $g_s(z)$ es una función holomorfa en $z$ para cada $s\in\C$ (con la rama usual de las potencias).


\ejer
Aplica \eqref{fpoi} a $f(z)=n^{-2s}g_s(z/n)$ y suma en $n\in\Z^+$ para obtener, para cada $\Re(s)>1$,
\[
 \sum_{n\in\Z-\{0\}}
 \sum_{m\in\Z}
 \big(Q(m,n)\big)^{-s}
 -
 2\zeta(2s-1)
 \int_{\R} p_s
 =
 \sum_{n=1}^\infty
 \sum_{k=1}^\infty
 \frac{2}{n^{2s-1}}
 \int_{-\infty+i\epsilon}^{\infty+i\epsilon} g_s(z)\,e^{2\pi iknz}\, dz.
\]
\medskip

Dependiendo de tus habilidades con la variable compleja, puedes encontrar una solución breve para el próximo ejercicio usando que
$Q(z,1)=a(z-z_Q)(z-\bar{z}_Q)$ puede reescribirse como $a(z_Q-\bar{z}_Q)\big((z-z_Q)^{-1} - (z-\bar{z}_Q)^{-1}\big)^{-1}$. No estoy inventando nada nuevo, es la descomposición en fracciones simples de toda la vida. 

\ejer
Utilizando el teorema de los residuos o la fórmula integral de Cauchy en la región $\big\{ \Im(z)\ge \epsilon,\ |z|\le N\big\}$ con $N\to\infty$, demuestra 
\[
 \int_{-\infty+i\epsilon}^{\infty+i\epsilon} g_1(z)\,e^{2\pi iknz}\, dz
 =
 \frac{2\pi}{\sqrt{D}}
 \big(
 e^{2\pi iknz_Q}
 +
 e^{2\pi ikn\bar{z}_Q}
 \big).
\]
\medskip

Para el siguiente ejercicio es conveniente que recuerdes la serie de Taylor $-\log(1-z)=z+\frac12z^2+\frac13z^3+\dots$
que es absolutamente convergente en $|z|<1$. Nota también la igualdad elemental 
$\log(1-z)+\log(1-\bar{z})=\log|1-z|^2$.

\ejer
Tomando $s\to 1^+$, concluye de los dos ejercicios anteriores
\[
  \lim_{s\to 1^+}
  \Big(
  \zeta(s,Q)
  -
  2\zeta(2s-1)\int_{\R} p_s
  \Big)
  =
  \frac{2\zeta(2)}{a}
  -
  \frac{4\pi}{\sqrt{D}}
  \sum_{k=1}^\infty
  \log\big| 1-e^{2\pi ikz_Q}\big|^2.
\]
El término $2\zeta(2)/a$ proviene de los sumandos de la serie $\zeta(s,Q)$ con $n_2=0$.

\ejer
Justifica las igualdades 
\[
 \lim_{s\to 1^+}
 \zeta(2s-1)
 \Big(
 2\int_{\R} p_s-\frac{4\pi}{\sqrt{D}}
 \Big)
 =
 \lim_{s\to 1^+}
 \frac{\int_{\R} p_s-\frac{2\pi}{\sqrt{D}}}{s-1}
 =
 \int_{\R}
 p_1\log p_1.
\]
{\sf Indicación:} Para
la última igualdad, aplica la regla de L'H\^opital. 

\ejer
Sumando los límites anteriores, deduce \eqref{kr2}. 
{\sf Indicación:}
Recuerda que $\zeta(2)=\pi^2/6$. 
Para mostrar $\int_{\R} p_1\log p_1=\frac{4\pi}{\sqrt{D}}\log\sqrt{\frac aD}$
puedes hacer el cambio $x=\frac{1}{2a}\big(\sqrt{D}\, \tan\frac t2-b\big)$ que reduce esta evaluación a probar $\int_{-\pi}^\pi \log\big(2\cos\frac t2\big)\, dt=0$. 
Esto se sigue de $\log\big(2\cos\frac t2\big)=\Re \log\big(1+e^{it}\big)
=-\Re\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}e^{int}$. 
Si desconfías de la convergencia adecuada de esta serie para intercambiarla con la integral, puedes considerar $\log\big(1+re^{it}\big)$ con $r\to 1^-$. 

\

Una vez probada la fórmula límite de Kronecker, terminamos la hoja conectando las funciones $\eta$ y $\theta$. Antes de nada, para concretar más esta conexión en un caso particular, veamos cómo \eqref{kr2} permite encontrar sorprendentes relaciones entre valores especiales de $|\eta|$.

\ejer
Explica por qué $\zeta(s,Q_0)=\zeta(s,Q_1)$ para $Q_j(x,y)=x^2+(y-jx)^2$ y deduce de \eqref{kr2} la relación $\big|\eta\big( (1+i)/2\big)\big|=\big|\eta(i)\big|\sqrt[4]{2}$. 
\medskip

Para suscitar tu asombro (no lo compruebes ni lo reflejes en tu trabajo), calculando el módulo de cada factor en la definición de $\eta$, esta relación equivale a la extraña fórmula
\[
 \prod_{n=1}^\infty
 \frac{\cosh(\pi n)+(-1)^{n+1}}{2e^{-\pi n}\senh^2(\pi n)}
 =
 e^{-\pi/12}\sqrt{2}. 
\]
\medskip 

La conexión anunciada entre $\eta$ y $\theta$ es una aplicación directa de la fórmula del triple producto. 

\ejer
Demuestra $\theta\big(0, e^{\pi i\tau}\big)=\eta^2\big((\tau+1)/2\big)/\eta(\tau+1)$. 
\medskip

Para el último ejercicio, recuerda que $\theta^2(0,q)=\sum_{n=0}^\infty r(n) q^n$ con $r(n)$ el número de representaciones de $n$ como suma de dos cuadrados (primer ejercicio de la hoja~3). 

\ejer
Considerando \eqref{kr2} con $Q(x,y)=x^2+y^2$, prueba
\[
 \lim_{s\to 1^+}
 \Big(
 \frac1{2\pi}
 \sum_{n=1}^\infty
 \frac{r(n)}{n^s}
 -\zeta(2s-1)
 \Big)
 =
 -
 \log
 \Big(
 \sum_{n=0}^\infty
 r(n)e^{-\pi n}
 \Big).
\] 
\medskip

En la próxima hoja veremos que el límite se puede evaluar explícitamente en términos de la función $\Gamma$. Con ello, calcularemos la suma de la serie dentro del logaritmo, la cual se relaciona con una fórmula famosa de Ramanujan. 



\

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Escribe un documento que combine las soluciones de los ejercicios anteriores. Trata de no pasarte de 7 páginas con el formato de esta hoja.  
Evita dar muchos detalles de los cálculos.
No hace falta que reflejes la discusión inicial sobre la motivación de $\zeta(s,Q)$ ni que hagas referencia a las series de Eisenstein si no lo deseas. El resultado conformará el cuarto capítulo de tu TFG bajo el nombre {\sl La fórmula límite de Kronecker} o la variante que prefieras. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{chamizo}
F.~Chamizo.
\newblock A simple evaluation of a theta value, the {K}ronecker limit formula
  and a formula of {R}amanujan.
\newblock {\em Ramanujan J.}, 59(3):947--954, 2022.

\bibitem{ChRa}
F.~Chamizo and D.~Raboso.
\newblock La fórmula de sumación de {P}oisson y parientes cercanos.
\newblock {\em Materials {M}atemàtics}, pages 1--27, 2017.
\newblock {\small\url{https://mat.uab.cat/web/matmat/v2017n02/}}.

\bibitem{DyMc}
H.~Dym and H.~P. McKean.
\newblock {\em Fourier series and integrals}.
\newblock Probability and Mathematical Statistics, No. 14. Academic Press, New
  York-London, 1972.

\bibitem{motohashi}
Y.~Motohashi.
\newblock A new proof of the limit formula of {K}ronecker.
\newblock {\em Proc. Japan Acad.}, 44:614--616, 1968.

\bibitem{siegel}
C.~L. Siegel.
\newblock {\em Lectures on advanced analytic number theory}.
\newblock Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, No.
  23. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1965.
\newblock Notes by S. Raghavan.

\bibitem{wiki_klf}
{Wikipedia contributors}.
\newblock Kronecker limit formula --- {Wikipedia}{,} the free encyclopedia.
\newblock
  {\url{https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kronecker_limit_formula&oldid=1184113756}},
  2023.
\newblock [Online; accessed 22-January-2024].

\end{thebibliography}

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\end{document}

