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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}


Esta hoja y las sucesivas las iré poniendo en 
\url{http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/supervision/TFG/tfg.html} donde también hay una lista de la propuesta inicial de los contenidos.
La fuente {\LaTeX}, en los ficheros \verb!RM23hoja*.tex!, te será muy útil como plantilla y para poder copiar fórmulas y referencias.
Más o menos imita el formato indicado en la guía docente. De todas formas, seguramente es más adecuado, para ahorrar tiempo, que las entregas de cada hoja las incluyas en la plantilla oficial del TFG que puedes descargar en Moodle.  

\bigskip

El tema de esta hoja es la definición y algunas propiedades de las funciones $\zeta$ y $\Gamma$. La primera de estas funciones viene dada por una serie y la segunda por un producto que se transforma en una serie al tomar la derivada logarítmica. Antes de nada, vamos a introducir una constante que aparecerá varias veces en tu trabajo y que es posible que conozcas de algún curso del grado. 

\ejer
Prueba que la serie $\sum_{n=1}^\infty \Big( \frac 1n -\log\frac{n+1}{n}\Big)$ converge. Una posible manera de proceder es utilizar el criterio de comparación escribiendo el paréntesis como $\int_0^1\Big(\frac 1n -\frac{1}{x+n}\Big)\, dx$ y acotando la integral. Deduce de la convergencia que 
\[
 \lim_{N\to\infty}
 \Big(
 1+\frac 12+\frac 13 +\dots+\frac 1N
 -\log(N+1)\Big)
\]
existe y es finito. A su valor se le llama \emph{constante de Euler-Mascheroni} y se suele denotar con~$\gamma$. Numéricamente es $\gamma= 0.57721\dots$, por lo demás es una constante misteriosa de la que no se sabe si admite una expresión sencilla.


\bigskip



La \emph{función $\zeta$ de Riemann} constituye una de las funciones más famosas en teoría de números y viene dada por una serie:
\[
 \zeta(s)
 =
 \sum_{n=1}^\infty
 \frac{1}{n^s}.
\]
Su interés proviene de que está íntimamente ligada a la distribución de los números primos. Aunque no entraremos en ello, no me resisto a escribir el llamado \emph{producto de Euler}:
\[
 \zeta(s)
 =
 \prod_p
 \Big(1+\frac{1}{p^{s}}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\dots\Big)
 =
 \prod_p
 \frac{1}{1-p^{-s}}
\]
donde $p$ recorre los primos. 
Te dejo libertad para que pongas o no unas palabras sobre esto en tu trabajo. Te recomiendo que al menos lo menciones. 
\medskip


Comenzamos estudiando cuándo tiene sentido la definición anterior de $\zeta$.

\ejer
Muestra que la serie que define $\zeta$ converge para todo número complejo $s$ con $\Re(s)>1$ y diverge si $s$ es real menor que~1. Apelando al teorema de Morera (o como prefieras) explica por qué la serie define una función holomorfa en $\Re(s)>1$. 
\medskip

En realidad, se puede probar aplicando un teorema general para cierto tipo de series complejas \cite[Cor.\, 1.2]{MoVa} que la serie diverge para todos los números complejos $\Re(s)<1$, no solo los reales. Todo esto sugiere que la serie solo nos permite definir $\zeta$ como ``infinito'' más allá de $\Re(s)>1$. Sin embargo, resulta que hay una definición alternativa que permite ampliar su dominio (lo cual, dicho sea de paso, es de capital importancia para estudiar la distribución de los primos). 

\ejer
Demuestra para $\Re(s)>1$ las igualdades
\[
 \zeta(s)
 =
 s
 \int_1^\infty
 \frac{\lfloor x \rfloor}{x^{s+1}}\, dx
 =
 \frac{s}{s-1}
 -\frac 12
 -s\int_1^\infty
 \frac{x-\lfloor x \rfloor-1/2}{x^{s+1}}\, dx
\]
donde $\lfloor x \rfloor$ significa la parte entera.
\medskip


\ejer
Explica por qué la última integral converge para $\Re(s)>0$. Deduce que $\zeta$ se puede extender a una función meromorfa definida al menos en $\Re(s)>0$ donde tiene un único polo en $s=1$ que es simple y con residuo igual a~$1$.
\medskip

Si se te da muy bien el análisis quizá sepas demostrar que la integral permite llevar a cabo la extensión también a $\Re(s)>-1$ (no hace falta que lo hagas). 
\medskip

Al tener un polo simple en~$1$, se cumple que $\zeta(s)-1/(s-1)$ permanece acotado cuando $s\to 1$. Vamos a apurar un poco más:

\ejer
Demuestra que
\[
 \lim_{s\to 1}\Big( \zeta(s)- \frac{1}{s-1}\Big)=\gamma
\]
justificando las siguientes igualdades:
\begin{align*}
 \lim_{s\to 1}
 \Big(
 \zeta(s)-\frac{1}{s-1}
 \Big)
 &=
 \frac 12
 -
 \lim_{N\to\infty}
 \int_1^N
 \frac{x-\lfloor x \rfloor-1/2}{x^{2}}\, dx
 \\
 &=
 \frac 12
 -
 \lim_{N\to\infty}
 \Big(
 \log N-\sum_{n=1}^N\frac 1n
 +\frac{1}{2}+\frac{1}{2N}
 \Big)
 =\gamma.
\end{align*}
\medskip

Para terminar con la función $\zeta$, una curiosidad que puedes reflejar o no en tu trabajo. Fíjate que si uno sabe lo que he dicho antes de que la integral impropia en realidad converge para $\Re(s)>-1$, tomando $s=0$ se obtiene $\zeta(0)=-1/2$, lo cual suena increíble si solo se tiene en mente la serie que define $\zeta(s)$, es como decir $1+1+1+\dots = -\frac 12$. Antes de ser ``descubierto'', Ramanujan pensaba que una de sus grandes aportaciones matemáticas era una teoría de series divergentes (en realidad no tenía gran interés) y escribió cosas como $1+2+3+\dots =-\frac{1}{12}$ que se pueden interpretar como $\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$ extendiendo más todavía la definición de $\zeta$. Es un resultado clásico de Riemann que  $\zeta(s)-1/(s-1)$ se extiende a una función entera \cite{ivic}. 





\

Ahora introduciremos la función $\Gamma$, o más bien $1/\Gamma$, como un producto infinito:
\[
 \frac{1}{\Gamma(z)}
 =
 z\,e^{\gamma z}
 \prod_{n=1}^\infty
 \bigg(
 \Big(1+\frac zn\Big) e^{-z/n}\bigg)
\]
donde $z\in\C$. Hay un resultado de variable compleja que afirma que si $\{f_n(z)\}_{n=1}^\infty$ es una sucesión de funciones enteras tales que $\sum_{n=1}^\infty \big|f_n(z)-1\big|$ converge, entonces 
$\prod_{n=1}^\infty f_n(z)$ define una función entera que se anula justamente en los puntos en los que alguna de las $f_n$ se anula. Para no dispersarnos, lo daremos por supuesto (se prueba con herramientas de Variable Compleja II). Su aplicación al producto anterior muestra que $1/\Gamma(z)$ es una función entera cuyo conjunto de ceros es $\Z^-\cup\{0\}$. ¿Te resulta creíble que esto se deduzca del resultado indicado?

\ejer
Explica por qué $\Gamma(z)$ es una función meromorfa con polos en $\Z^-\cup\{0\}$ y todos son simples. 

\

Ahora vamos a ver una fórmula alternativa con un límite que históricamente fue la definición de la función $\Gamma$ que dio Gauss \cite{srinivasan}. 

\ejer
Usando la definición de $\gamma$ como límite y truncando el producto hasta $N$, muestra que 
\[
 \frac{1}{\Gamma(z)}
 =
 \lim_{N\to\infty}
 \frac{z(z+1)\dots (z+N)}{N!(N+1)^z}.
\]
Con esto ya estamos preparados para dar una representación integral sencilla para $\Gamma$. 

\ejer
Integrando por partes $N$ veces, prueba que si $\Re(z)>0$
\[
 \lim_{N\to\infty}
 \int_0^N
 \Big(1-\frac tN\Big)^N t^{z-1}\, dt
 =
 \lim_{N\to\infty}
 \frac{N^z N!}{z(z+1)\dots (z+N)}
 =\Gamma(z).
\]
\medskip

La idea ahora es que $(1-t/N)^{N}\to e^{-t}$ si $N\to\infty$, pero hay que tener cuidado porque $t$ varía al integrar y puede ser tan grande como $N$.

\ejer
Demuestra que la fórmula 
\[
 \Gamma(z)=
 \int_0^\infty e^{-t} t^{z-1}\, dt
 \qquad \text{para}\quad \Re(z)>0
\]
se sigue si 
\[
 \lim_{N\to\infty}
 \int_0^N
 \bigg(
 e^{-t}-
 \Big(1-\frac tN\Big)^N\bigg) t^{z-1}\, dt=0
 \qquad\text{y}\qquad
 \lim_{N\to\infty}
 \int_N^\infty e^{-t} t^{z-1}\, dt=0. 
\]
\medskip

La desigualdad 
\[
 0\le e^{-x}-\Big(1-\frac{x}{n}\Big)^n\le \frac{x^2e^{-t}}{n}
 \qquad\text{para}\quad x\ge 0\quad\text{y}\quad n\in\Z^+
\]
es conocida. Si quieres, más adelante te daré una referencia para que la pongas en tu trabajo. 

\ejer
Usando la desigualdad y lo que necesites, completa la prueba de la representación integral $\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-t} t^{z-1}\, dt$ en $\Re(z)>0$.
La mayoría de los  autores modernos toman esto como definición de $\Gamma$ y después la extienden a $\C-\Z_{\le 0}$. 
\medskip


Terminamos con dos propiedades fundamentales. La segunda es bastante más profunda.

\ejer
Deduce a partir de la representación integral de $\Gamma(z)$ que 
\[
 \Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)
 \qquad\text{para}\quad z\in\C-\Z_{\le 0}.
\]
Nota que una pequeña sutileza es que la integral solo es válida en $\Re(z)>0$ con lo que hay que apelar a un resultado básico extra de variable compleja. 
¿Sabrías con esta relación funcional calcular el residuo de $\Gamma(z)$ en $z=-2$?

\medskip

Usando $\Gamma(1)=1$ se sigue $\Gamma(n)=(n-1)!$ para $n\in\Z^+$. En este sentido, $\Gamma$ generaliza el factorial a valores no enteros. 

\ejer
Revisa en \cite[Lema~4.4]{ch_vc} el argumento que da lugar a la fórmula
\[
 \Gamma(s)
 \int_0^\infty x^{w-1}(1+x)^{-s}\, dx
 =
 \Gamma(s-w)\Gamma(w)
\]
y tomando $s=1$ y aplicando el teorema de los residuos para evaluar integrales, deduce la \emph{fórmula de reflexión}
\[
 \Gamma(1-w)\Gamma(w)
 =
 \frac{\pi}{\sen(\pi w)}
 \qquad\text{para}\quad w\in\C-\Z.
\]
¿Sabrías calcular $\Gamma(3/2)$ usando las dos propiedades?
\medskip

Si no tienes mucha práctica con el cálculo de estas integrales mediante el teorema de los residuos, mira \cite{ChBr} o tu libro favorito de variable compleja o pídeme ayuda. Anticipo que lo natural aquí es considerar un dominio de tipo ``cerradura'' donde el ojo de la cerradura rodea al origen y de él parten dos ramas que pasan ligeramente por encima y por debajo del eje real positivo. La determinación natural del ángulo es de $0$ a $2\pi$. 

\medskip 

Un comentario final, solo para tu curiosidad, es que si en la fórmula de reflexión empleas $\Gamma(1-z)=-z\Gamma(-z)$ y la definición original de $1/\Gamma$ como producto infinito, se obtiene la curiosa fórmula 
\[
 \sen (\pi z)
 =
 \pi z \prod_{n=1}^\infty \Big(1-\frac{z^2}{n^2}\Big). 
\]
Si no la has visto nunca, seguro que te sorprenderá. Procediendo a la inversa, si uno conoce de antemano esta fórmula producto para el seno, se puede deducir la fórmula de reflexión sin calcular ninguna integral. 


\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Debes escribir un documento que combine lo que has aprendido con los ejercicios anteriores.   La extensión es libre siempre que no superes las 6 o, a lo más, 7 páginas con el formato de esta hoja o de la plantilla. El resultado debe dar lugar a un primer capítulo de tu TFG llamado {\sl Las funciones zeta y Gamma} o la variante que se te ocurra. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{ch_vc}
F.~Chamizo.
\newblock Convergencia de funciones holomorfas.
\newblock
  {\small\url{https://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/1819vcII/resumenes/cnv.pdf}},
  2019.

\bibitem{ChBr}
R.~V. Churchill and J.~W. Brown.
\newblock {\em Complex Variables and Applications}.
\newblock McGraw-Hill Education, 2013.

\bibitem{ivic}
A.~Ivic.
\newblock {\em The Riemann Zeta-Function: Theory and Applications}.
\newblock Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, Incorporated,
  2013.

\bibitem{MoVa}
H.~L. Montgomery and R.~C. Vaughan.
\newblock {\em Multiplicative number theory. {I}. {C}lassical theory},
  volume~97 of {\em Cambridge Studies in Advanced Mathematics}.
\newblock Cambridge University Press, Cambridge, 2007.

\bibitem{srinivasan}
G.~K. Srinivasan.
\newblock The {G}amma function: an eclectic tour.
\newblock {\em Amer. Math. Monthly}, 114(4):297--315, 2007.

\end{thebibliography}

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\end{document}

