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\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}



Es difícil exagerar la importancia de los operadores de Hecke que introduciremos en esta hoja. Son la razón principal por la que las formas modulares son tan relevantes en teoría de números. Tanto en las propiedades observadas por Ramanujan para los coeficientes de la función discriminante como en la prueba de Wiles del último teorema de Fermat, los operadores de Hecke tienen un papel protagonista. 


En toda esta hoja consideraremos sin repetirlo cada vez formas modulares de peso $k$ con $k\ge 4$ par y para $\text{SL}_2(\Z)$. Los operadores de Hecke preservan el espacio vectorial formado por estas formas modulares. En realidad no hay problema para considerar otros grupos como los vistos en la hoja pasada pero eso no lo veremos aquí. 


A modo de motivación un poco burda, nota que si $f$ es una forma modular, $f(z/2)$ y $f\big((z+1)/2\big)$ no son en general formas modulares porque ya falla la $1$-periodicidad, sin embargo su suma sí es periódica. El siguiente ejercicio muestra que con un sumando más es posible recuperar todas las simetrías. 


\ejer
Prueba que si $f$ es una forma modular de peso $k$ entonces
$2^kf(2z)+f(z/2)+f\big((z+1)/2\big)$
es una forma modular de peso $k$.


\

Dado $n\in\Z^+$ se define 
el \emph{operador de Hecke} $T_n$ como 
\[
 (T_nf)(z)
 =
 \frac{1}{n}
 \sum_{ad=n}a^k\sum_{b=0}^{d-1}
 f\Big(\frac{az+b}{d}\Big)
\]
donde se supone $a,d\in\Z^+$. Obviamente $T_1=\text{Id}$ y $T_2$ es, salvo un factor $1/2$, el operador del ejercicio anterior. No es en absoluto obvio que $T_n$ aplique formas modulares en formas modulares. Antes de que leas sobre ello, vamos a ver algunas propiedades básicas. 

\ejer
Prueba que si $n$ y $m$ son coprimos se tiene entonces $T_nT_m=T_{nm}=T_mT_n$. 

\

Con esto los operadores $T_n$ quedan determinados por los $T_{p^\nu}$ con $p^\nu$ las potencias de primos que aparecen en la factorización de $n$. En realidad $T_{p^\nu}$ se puede escribir en términos de $T_p$ y así los operadores de Hecke más importantes son los que tienen índice primo. La relación entre  $T_{p^\nu}$ y $T_{p}$ nos lleva a tomar un ligero desvío. 

\ejer
Comprueba que $U_n(x)=\sen\big((n+1)\arccos x\big)/\sen(\arccos x)$ satisface la fórmula de recurrencia 
$U_{n+1}(x)=2xU_n(x)-U_{n-1}(x)$
con $U_0(x)=1$ y $U_1(x)=2x$. Por tanto los $U_n$, extendidos de $[-1,1]$ a todo  $\R$, definen una familia de polinomios, llamados \emph{polinomios de Chebyshev de segunda especie}.

\ejer
Muestra $T_{p^{\nu+1}}=T_pT_{p^{\nu}}-p^{k-1} T_{p^{\nu-1}}$ y deduce del ejercicio anterior que $T_{p^{\nu}}$ se obtiene a partir de $T_p$ con la fórmula 
$T_{p^{\nu}} = p^{\nu(k-1)/2}U_\nu\big(\frac 12 p^{(1-k)/2}T_p\big)$. 

\

La fórmula anterior implica que los $T_{p^\nu}$ conmutan (¿lo ves claro?) y por tanto $T_nT_m=T_mT_n$ incluso si $n$ y $m$ no son coprimos. Esto se podría deducir también con la definición original. 

\


\ejer
Considera $G_k(z)$ la serie de Eisenstein de peso $k$ (como en la hoja 3). Comprueba que 
$T_2G_k=(2^{k-1}+1)G_k$ trabajando directamente con la serie que define $G_k$. 

\ejer
Generaliza el argumento para mostrar que $T_pG_k = (p^{k-1}+1) G_k$ para cualquier primo $p$. 
De nuevo utiliza solo la serie que define $G_k$. Esto te puede resultar difícil pero una vez que des con la solución verás que es pura combinatoria simple separando entre divisibles y no divisibles por $p$. 

\ejer
Explica por qué lo visto hasta ahora sobre las propiedades de los operadores de Hecke implica $T_nG_k = \sigma_{k-1}(n) G_k$.

\


Según hemos visto, la acción de $T_n$ sobre $G_k$ es muy sencilla pero la prueba ha usado propiedades especiales y parece que es difícil extrapolarla para deducir que  los operadores de Hecke envían formas modulares en formas modulares. 
La prueba la puedes encontrar por ejemplo en \cite[Prop.4.1.5]{masdeu} pero como en la mayoría de los textos está un poco oscurecida por buscar la generalidad y elegancia. En el párrafo de la \S5.1 de \cite{ChRa}  que empieza ``En general, dado\dots'', damos una explicación rápida de por qué funciona. 

\ejer
Utilizando estas referencias u otras (como \cite{iwaniec} o \cite{DiSh}) prueba que los operadores de Hecke  aplican formas modulares en formas modulares explicando con cuidado la idea que subyace. 


\ejer
Indica por qué es obvio a partir del ejercicio anterior que las \emph{cusp forms} se aplican en \emph{cusp forms}. 

\

Ahora hay un punto un poco delicado.  La fórmula
\[
 \langle f, g\rangle = \int_D f(x+iy)\overline{g(x+iy)}y^{k-2}\; dxdy 
\]
con $D$ un dominio fundamental
define un producto escalar, llamado el \emph{producto de Petersson}, en el espacio vectorial de \emph{cusp forms} de peso $k$. Eso es fácil, solo comprobar las propiedades. Lo que, hasta donde yo sé, no es tan fácil es ver que los $T_n$ son autoadjuntos. Es decir,
\[
 \langle T_nf, g\rangle = \langle f, T_n g\rangle.
\]
Las pruebas que conozco, como \cite[\S4.4.3]{masdeu} o \cite[\S6.4]{iwaniec}, son largas o requieren introducir otros resultados. 

\ejer
Haz una búsqueda en la literatura y en internet para ver si encuentras una prueba 
sencilla que desconozca, lo cual es posible. Si no la encuentras, en tu trabajo dalo por supuesto citando la mejor referencia  que hayas encontrado. 

\ejer
Intenta encontrar por ti mismo una prueba del siguiente resultado de álgebra lineal: Sea $V$ un espacio vectorial unitario\footnote{Te recuerdo que esto significa espacio vectorial sobre $\C$ con un producto escalar.}, si $C=\{L_1,L_2\,\dots \}$ es un conjunto (finito o infinito, si te resulta más cómodo restríngete al caso finito) de aplicaciones lineales  autoadjuntas $V\longrightarrow V$ que conmutan $L_iL_j=L_jL_i$,  entonces existe una base ortonormal en la que todas diagonalizan simultáneamente. Si no das con la prueba, intenta al menos hacerla suponiendo que $L_1$ no tiene autovalores repetidos.

\

Aplicado a nuestro caso se deduce que hay una base $B=\{f_1,\dots, f_d\}$ de las \emph{cusp forms} de peso $k$ que cumple $T_nf =\lambda(n)f$ para $f\in B$, con $\lambda(n)$ dependiendo de $f$.  

\ejer
Si $f\in B$ tiene una un desarrollo de Fourier $\sum_{m=1}^\infty a_me^{2\pi i mz}$ con $a_1\ne 0$, comparando los coeficientes de $e^{2\pi iz}$ en $T_nf =\lambda(n)f_j$ demuestra $a_n=\lambda(n)a_1$. 

\ejer
Deduce que $n$ y $m$ son coprimos $a_na_m= a_{nm}a_1$.

\ejer
Concluye que la función $\tau(n)$  de Ramanujan, la que da los coeficientes de Fourier de~$\Delta$ (mira la hoja 4) es multiplicativa. Esto es, $\tau(n)\tau(m)=\tau(nm)$ para $n$ y $m$ coprimos.

\ejer
Prueba que si $p$ es primo y $m\in\Z^+$, se cumple $\tau(p^{m+1})=\tau(p)\tau(p^m)-p^{11}\tau(p^{m-1})$. 

\

Los dos últimos ejercicios fueron observaciones de Ramanujan en \cite{ramanujan_tau} que no logró probar. Hizo una tercera observación acerca del tamaño de $\tau(p)$, concretamente $|\tau(p)|<2p^{11/2}$,  que tiene profundas ramificaciones y la cual no fue demostrada (por P.~Deligne) hasta~1974. 




\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Redacta un documento que conecte lo que has escrito para los ejercicios de esta hoja.  Como en las últimas hojas, no te pongo limitación de espacio pero intenta ser breve. Haz si quieres una selección solo incluyendo detalles de los ejercicios que te parezcan más importantes. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}




\bibliography{../bibtfg18}{}
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\bibliographystyle{alpha}

\end{document}

