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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}

Está claro que fijado un peso $k$, que por la hoja anterior suponemos no negativo y par, las formas modulares de peso $k$ forman un espacio vectorial $V_k$ sobre $\C$. En esta hoja, en primer lugar vamos a ver que es posible calcular la dimensión de este espacio, resultando 
\begin{equation}\label{dimf}
 \dim V_k
 =
 \begin{cases}
  \lfloor k/12\rfloor +1 &\text{si }k\not\equiv 2 \pmod{12},
  \\
  \lfloor k/12\rfloor &\text{si }k\equiv 2 \pmod{12},
 \end{cases}
\end{equation}
donde $\lfloor k/12\rfloor$ significa la parte entera de $k/12$. También determinaremos una base de $V_k$ con las series de Eisenstein y la función discriminante. Finalmente veremos algo acerca de lo que ocurre cuando se cambia $\text{SL}_2(\Z)$ por otro grupo en la definición de forma modular. 

\ejer
Lee 
\cite[\S1.3]{zagier}
y
\cite[\S2.1]{zagier}. Con ello escribe una prueba completa de \eqref{dimf}. Nota que el orden de tu exposición será bien diferente del de \cite{zagier} porque tú tienes cosas de la hoja anterior a las que hacer referencia. También debes aclarar algunos puntos que hace demasiado rápido, como la parte final de la prueba en la página~12.


\ejer
Explica con detalle cómo se obtiene $E_4^2=E_8$ y de ello
\[
 \sigma_7(n)=\sigma_3(n)+120\sum_{m=1}^{n-1}\sigma_3(m)\sigma_3(n-m).
\]
Esto se menciona en \cite[p.18]{zagier} y se dice de pasada que hay pruebas (no fáciles) sin formas modulares. La verdad es que no las conozco. Si quieres buscarlas y poner alguna referencia,  hazlo. 

\ejer
La función discriminante no se anula en $\mathbb{H}$,  ¿sabrías probarlo? Usando este hecho muestra que para $k\ge 12$ se tiene $V_{k}=\Delta V_{k-12}\oplus \langle E_k\rangle$ donde $\langle E_k\rangle$ es el subespacio (unidimensional) generado por $E_k$ y $\Delta V_{k-12}$ es el subespacio generado por las funciones de $V_{k-12}$ multiplicadas por la función discriminante. Escribe con ello una base de $V_{36}$. 

\

En la definición de forma modular empleamos el grupo $\text{SL}_2(\Z)$, sin embargo en algunos contextos es natural considerar otros grupos. A veces, dependiendo de los autores, se llaman formas automorfas a estas formas modulares generalizadas. 
En particular, en teoría de números son muy importantes los grupos $\Gamma_0(N)$ definidos como $\text{SL}_2(\Z)$ pero imponiendo además que~$c$ sea divisible por $N$, con la notación de la hoja anterior. En el resto de la hoja nos vamos a ocupar de $\Gamma_0(2)$. 

Consecuentemente, llamamos forma modular de peso $k$ para el grupo $\Gamma_0(2)$ a una función holomorfa $f:\mathbb{H}\longrightarrow\C$ que satisface 
$ f(\gamma z)
 =
\big(j_\gamma(z)\big)^{k}f(z)$ 
para $\gamma\in\Gamma_0(2)$ y que tiene crecimiento a lo más polinómico cuando $\Im z\to+\infty$ (en realidad se prueba que el límite es necesariamente finito). Llamaremos $V_k(2)$ al espacio vectorial formado por estas formas modulares. 

\medskip 

Antes de nada, el siguiente ejercicio da una idea de cómo aparece $\Gamma_0(2)$ y en general $\Gamma_0(N)$. Dicho sea de paso, históricamente aparecieron antes las  formas modulares para grupos de este tipo  y otros relacionados que para $\text{SL}_2(\Z)$ \cite{roy}. Incluso se dice que Gauss dibujó el primer dominio fundamental y fue para $\Gamma_0(4)$ (aunque en \cite[\S7.9]{roy} parece atribuirse a Riemann). 

\ejer
Comprueba que si $f\in V_k$ entonces $g\in V_k(2)$ con $g(z)=f(2z)$. 

\



No es difícil probar (no hace falta que lo hagas) que $\Gamma_0(2)$ está generado por la matrices
\[
 -I,\qquad
 \begin{pmatrix}
  1&1\\ 0& 1
 \end{pmatrix},
 \qquad
 \begin{pmatrix}
  1&-1\\ 2& -1
 \end{pmatrix}.
\]
En realidad $-I$ es irrelevante bajo nuestra hipótesis de $k$ par, porque actúa como la identidad sobre $z$ y el $j_\gamma^k$ correspondiente es~$1$. 
Aprovecho para decirte que si utilizas {\sf sagemath}, es capaz de hacer muchos cálculos referidos a formas modulares y a los grupos subyacentes. Por ejemplo, los generadores no triviales anteriores se obtendrían con \url{Gamma0(2).generators()}. Te indico más comandos en lo sucesivo pero no te sientas obligado a probarlos. 




\ejer
Prueba que para $k>2$ par
\[
 E_{\infty, k}(z)=
  \mathop{\sum\ \sum}_{
  \substack{ \text{mcd}(m,n)=1 \\ \text{$m$ par, $n$ impar}}
  } (mz+n)^{-k}
  \qquad\text{y}\qquad
 E_{0, k}(z)=
  \mathop{\sum\ \sum}_{
  \substack{ \text{mcd}(m,n)=1 \\ m\text{ impar}}
  } (mz+n)^{-k}
\]
están en $V_k(2)$,
donde $\text{mcd}$ indica el máximo común divisor y $n,m\in\Z$. Estas series son los análogos de las series de Eisenstein, de hecho también se llaman así. {\sf Indicación:} ¿Qué ocurre con los generadores?



\ejer 
Da una prueba de que el dibujo de la página~26 de \cite{masdeu} es realmente un dominio fundamental de $\Gamma_0(2)$.

\ejer
Si en {\sf sagemath} ejecutas \url{FareySymbol(Gamma0(2)).fundamental_domain()} obtendrás como dominio fundamental de $\Gamma_0(2)$ la región $\{0\le\Re(z)\le1,\ |z-1/2|\ge 1/2\}\cap\mathbb{H}$. ¿Sabrías demostrar por qué es también dominio fundamental?
Si te resulta muy difícil sáltate este ejercicio pero puedes usar también este dominio fundamental en lo siguiente.

\

Hay una fórmula general para la dimensión que está en \cite[Th.3.5.1]{DiSh} o en  \cite[\S2.6]{shimura}. Por cierto, este último libro es el gran clásico de las formas modulares con mucha información sobre esta parte de tu trabajo pero a mí me parece un poco difícil de seguir.
En el caso $k\ge 2$ par, puedes ver en estas referencias que para grupos generales la fórmula es 
\begin{equation}\label{dimg}
 \dim = 
 (k-1)(g-1)
 +
 \Big\lfloor
 \frac k4
 \Big\rfloor
 \epsilon_2
 +
 \Big\lfloor
 \frac k3
 \Big\rfloor
 \epsilon_3
 +\frac k2 \epsilon_\infty.
\end{equation}
La demostración utiliza el teorema de Riemann-Roch que supongo que no te sonará de nada y no hace falta que la mires porque es complicado. 
En esta fórmula,
$g$ es el \emph{genero},
$\epsilon_2$ es el número de \emph{puntos elípticos de orden 2},
$\epsilon_3$ es el número de \emph{puntos elípticos de orden 3}
y
$\epsilon_\infty$ es el número de \emph{cúspides}. 

\ejer
Usando la bibliografía o internet, busca qué significa cada uno de los términos en letra inclinada. Una vez hecho esto, halla $g$, $\epsilon_2$, $\epsilon_3$ y $\epsilon_\infty$ para $\Gamma_0(2)$ y consigue así traducir  \eqref{dimg} en una fórmula para $\dim V_k(2)$. 
Si quieres comprobar los resultados, con {\sf sagemath} estas cantidades corresponden a los comandos 
\url{Gamma0(2).genus()},
\url{Gamma0(2).nu2()},
\url{Gamma0(2).nu3()}
y
\url{Gamma0(2).ncusps()}. 
Por otro lado, para $k\ge 4$ par la dimensión se calcula indirectamente con  
\url{2+dimension_cusp_forms(Gamma0(2),k)}. No sé si hay un comando directo. 


\ejer
Comprueba que \eqref{dimf} para $k\ge 2$ par es un caso particular de \eqref{dimg}. Quizá este ejercicio te resulte más fácil que el anterior y prefieras reordenarlo en tu exposición. Requiere alguna consideración aritmética, por eso lo he puesto después. 

\

Solo por curiosidad, el primer $k$ para el que $V_k(2)$ contiene algo más que lo generado por las dos series de Eisenstein antes mencionadas es $k=8$. Concretamente, $V_8(2)$ contiene a la forma modular $\big(\Delta(z)\Delta(2z)\big)^{1/3}$. Esto está demostrado en \cite[Ex.2.28]{shimura}.

\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Redacta un documento que conecte lo que has escrito para los ejercicios de esta hoja.  No te pongo limitación de espacio pero intenta ser breve. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\begin{thebibliography}{Mas15}

\bibitem[DS05]{DiSh}
F.~Diamond and J.~Shurman.
\newblock {\em A first course in modular forms}, volume 228 of {\em Graduate
  Texts in Mathematics}.
\newblock Springer-Verlag, New York, 2005.

\bibitem[Mas15]{masdeu}
M.~Masdeu.
\newblock Modular forms ({MA4H9}).
\newblock
  {\small\url{http://homepages.warwick.ac.uk/~masmat/files/teaching/modforms.pdf}},
  2015.

\bibitem[Roy17]{roy}
R.~Roy.
\newblock {\em Elliptic and modular functions from {G}auss to {D}edekind to
  {H}ecke}.
\newblock Cambridge University Press, Cambridge, 2017.

\bibitem[Shi94]{shimura}
G.~Shimura.
\newblock {\em Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions},
  volume~11 of {\em Publications of the Mathematical Society of Japan}.
\newblock Princeton University Press, Princeton, NJ, 1994.
\newblock Reprint of the 1971 original, Kan\^{o} Memorial Lectures, 1.

\bibitem[Zag08]{zagier}
D.~Zagier.
\newblock Elliptic modular forms and their applications.
\newblock In {\em The 1-2-3 of modular forms}, Universitext, pages 1--103.
  Springer, Berlin, 2008.

\end{thebibliography}


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\end{document}

