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\newcommand{\ejer}{\ \par\vspace{-7pt}{\bf\number\value{ejeno})\ }\addtocounter{ejeno}{1}}



\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}

En esta última hoja vamos a abordar algunos aspectos del caso general de la representación de un número como suma de un número par de cuadrados. Como te dije, el caso impar es muy diferente y no lo trataremos en tu trabajo. Además probaremos un resultado de Ramanujan sobre el caso de~24 cuadrados. 
\medskip

La forma modular $\theta^{2k}$ tiene peso $k$, que podría ser impar, así que aunque solo vayamos a ocuparnos de  $r_{\ell}(n)$ con $\ell=2k$ par, estamos forzados a generalizar nuestra definición de series de Eisenstein admitiendo pesos impares. Para $k\in\Z_{\ge 2}$ definimos
\[
 G_{\theta,k}(z)
 =
 i^{-k}
 \sum_{2\nmid c}
 \sum_{2\mid d}
 \frac{(-1)^{\frac 12(c+1)k}}{(cz+d)^k}
 +
 \sum_{2\nmid d}
 \sum_{2\mid c}
 \frac{(-1)^{\frac 12(d-1)k}}{(cz+d)^k}
\]
donde $c$ y $d$ recorren los enteros. 

\ejer
Prueba que cambiando $k$ por $2k$ se obtiene la definición de la hoja 3. Es decir, realmente es una generalización. 
\medskip 

Por supuesto, un punto crucial es comprobar que esta extensión de la definición sigue siendo modular. 

\ejer
Demuestra que $G_{\theta,k}(T^2z)=G_{\theta,k}(z)$ y $G_{\theta,k}(Sz)=(z/i)^k G_{\theta,k}(z)$. Es decir, $G_{\theta,k}$ es una función modular con respecto a $\Gamma_\theta$ con el mismo sistema de multiplicadores que $\theta^{2k}$. 
\medskip


El desarrollo de Fourier de $G_{\theta,k}$ se calcula de la misma forma que hiciste en la hoja~3, solo que ahora los cálculos son más feos. Como no aporta nada nuevo y tampoco es fundamental para nuestros propósitos, te sugiero que simplemente reproduzcas en tu trabajo el siguiente desarrollo de Fourier señalando que se calcula de manera similar al obtenido para $k$ par en la hoja~3:
\[
 G_{\theta,k}(z)
 =
 a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\,e(nz/2)
 \qquad\text{donde}\quad
 a_0
 =
 2\sum_{r=0}^\infty
 \frac{(-1)^{rk}}{(2r+1)^k}
\]
y el resto de los coeficientes vienen dados por 
\[
 a_n
 =
 \frac{2\pi^kn^{k-1}}{(k-1)!}
 \bigg(
 \sum_{\substack{d\mid n\\  2\nmid d}}
 (-1)^{\frac 12 (d-1)k}d^{1-k}
 +
 \frac{(-1)^k}{2^{k-1}}
 \sum_{\substack{d\mid n\\ n/d +k\text{ par}}}
 (-1)^{\frac 12 (n/d+k)}d^{1-k}
 \bigg).
\]
No es del todo obvio (aunque tampoco tan difícil) ver que para $k$ par se recupere la fórmula para~$a_n$  vista en la hoja~3. Sin embargo, estamos seguros de que debe ser así por el primer ejercicio. También en el caso impar se demuestra de la misma manera que $e(-z/2)G_{\theta,k}(\gamma_1 z)/z^{k}$ tiene límite finito cuando $\Im z\to \infty$ y no lo haremos aquí.
\medskip 


Llamemos $\mathcal{M}_{\theta, k}$ al espacio vectorial formado por las formas modulares de peso $k$ con respecto a~$\Gamma_\theta$ con el mismo sistemas de multiplicadores que $\theta^{2k}$. 
Según lo que hemos visto~$\theta^{2k},G_{\theta,k}\in \mathcal{M}_{\theta, k}$.
Para $k=1$, la serie $G_{\theta,k}$ no converge pero el desarrollo de Fourier sigue teniendo perfecto sentido y coincide con el de $\pi G-\frac{\pi}2$  con $G$ como en la hoja anterior, por tanto, redefiniendo $a_0$ como $a_0+\frac{\pi}2$, este desarrollo de Fourier también pertenece a $\mathcal{M}_{\theta, k}$. 

\ejer
Sabiendo que $\dim\mathcal{M}_{\theta,k}=1$ para $1\le k\le 4$, demuestra 
$r_{2k}(n)=\frac{a_n}{a_0}$ para este rango de~$k$ (con la redefinición indicada para $k=1$). 
\medskip

El ejercicio anterior nos da todas las fórmulas de la hoja anterior y una más, la de $r_6(n)$. Por supuesto, no es una prueba independiente pues para mostrar $\dim\mathcal{M}_{\theta,k}=1$ tendríamos que repetir argumentos similares a los hechos allí. 
Veamos una consecuencia indirecta de la existencia de una fórmula para $r_6$. 

\ejer
Utilizando $a_0r_{2k}(1)=a_1$ para $k=3$, determina el valor de 
$1^{-3}-3^{-3}+5^{-3}-7^{-3}+9^{-3}-\dots$
\medskip 

Por las propiedades que ya conocíamos para $k$ par y las que hemos citado para $k>1$ general, sabemos que 
\[
 f(z)=\theta^{2k}(z)-\frac{1}{a_0}G_{\theta,k}(z)
\]
está en $\mathcal{M}_{\theta,k}$
y que
$e(-z/2)f(z)$ y $e(-z/2)f(\gamma_1 z)/z^{k}$ tienen límite finito cuando $\Im z\to \infty$. 
Sus coeficientes de Fourier miden el error al aproximar $r_{2k}(n)$ por $a_n/a_0$. Es decir, se tiene, obviamente, 
\[
 r_{2k}(n)=\frac{a_n}{a_0}+c_n
\qquad\text{donde}\quad f(z)=\sum_{n=1}^\infty c_n\, e(nz/2).
\]

Hay fórmulas \cite[\S7.1]{rankin} para $\dim\mathcal{M}_{\theta,k}$ que muestran que es mayor que~$1$ si~$k>4$, por tanto parece una casualidad muy grande que $f=0$ para algún $k$ en este rango. De hecho, se conoce que esta casualidad no ocurre nunca \cite{rankin_sq}, es decir, la igualdad $r_{2k}(n)=a_n/a_0$ solo se cumple para $1\le k\le 4$. Habida cuenta de que no hay bases de $\mathcal{M}_{\theta,k}$ con coeficientes de Fourier muy explícitos, parece que las fórmulas ``exactas'' se acaban en $r_8$. En realidad, como te explicaré en un breve epílogo, hay todavía algo de margen dependiendo de lo exigente que uno sea. 

Ahora vamos a renunciar a las fórmulas exactas en favor de otras aproximadas. Nota que para $k>2$ los sumatorios en la fórmula para $a_n$ están acotados. Con ello se puede deducir que $a_n/n^{k-1}$ está entre dos constantes positivas. Lo que vamos a probar es que $c_n$, con $n$ grande, tiene siempre un tamaño mucho menor. Es decir, en el rango $k>4$ en que $r_{2k}(n)\ne a_n/a_0$ todavía $a_n/a_0$ es una buena aproximación. Concretamente,
\[
 \lim_{n\to\infty}
 \frac{r_{2k}(n)}{a_n/a_0}=1
 \qquad\text{y, de hecho,}\qquad
 \limsup_{n\to\infty}
 \frac{\big|r_{2k}(n)-a_n/a_0\big|}{n^{k/2}}<\infty.
\]
Nuestro objetivo es demostrar $|c_n|\le Kn^{k/2}$ para cierta constante $K$, lo cual es consecuencia de los tres ejercicios siguientes y da inmediatamente los límites anteriores. 
La aproximación es numéricamente buena para $n$ grande y valores moderados de $k$. Para que te hagas una idea, 
\[
 r_{24}(101)=258\,331\,314\,292\,899\,028\,896
 \qquad\text{y}\qquad 
 \frac{a_{101}}{a_0}=2.58\,331\,310\ldots \cdot 10^{20}.
\]
Esto es, una aproximación de 8 cifras significativas. 



\ejer
Demuestra que $g:\uph\longrightarrow\R$ definida por 
$g(z)=|\Im(z)|^{k/2}|f(z)|$ satisface $g(z)=g(\gamma z)$ para todo $\gamma\in\Gamma_\theta$.

\ejer
Demuestra que $g$ está acotada en $\uph$. 
{\sf Indicación:} Piensa en lo que ocurre en el dominio fundamental recordando que 
$e(-z/2)f(z)$ y $e(-z/2)f(\gamma_1 z)/z^{k}$ están acotadas para $\Im (z)$ grande. 


\ejer
Sea $c$ el segmento en $\uph$ que va de $i/n$ a $2+i/n$. Justifica
\[
 |c_n|
 =
 \frac 12 
 \Big|
 \int_c f(z)\,e(-nz/2)\, dz
 \Big|
 \le
 e^{\pi}n^{k/2}\sup_{z\in\uph}\big|g(z)\big|
\]
obteniendo de esta forma el resultado esperado con $K= e^{+\pi}\sup |g|$. 

\

Pasamos ahora al tema final de la hoja que es una fórmula de Ramanujan para $r_{24}$. 
Recuerda la función discriminante $\Delta$ de la hoja~2. Sus coeficientes de Fourier que son lo que hoy se llama \emph{función $\tau$ de Ramanujan}. Es decir, $\tau$ es la función aritmética $\Z^+\longrightarrow\Z$ definida mediante 
\[
 \Delta(z)
 :=
 e(z)\prod_{n=1}^\infty \big(1-e(nz)\big)^{24}
 =
 \sum_{n=1}^\infty \tau(n)e(nz). 
\]
Con un poco de paciencia se tiene 
$\tau(1)=1$,
$\tau(2)=-24$
y
$\tau(3)=252$. 
Ya te dije que Ramanujan estudió esta función y enunció unas conjeturas que han tenido un gran impacto en la teoría de formas modulares y su aplicación en la teoría de números. 
Finalizó su famoso artículo\footnote{Si tienes curiosidad, hay una transcripción en \url{http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram18.html}.} \cite{ramanujan}
con una fórmula exacta para $r_{24}$ en términos de divisores y de $\tau$. Propongo acabar también tu trabajo dando una prueba de ella. 

La fórmula en cuestión es:
\[
 r_{24}(n)=
 \frac{16}{691}
 \Big(
 \sum_{d\mid n}d^{11}
 -
 2
 \sum_{2d\mid n}d^{11}
 +
 2^{12}
 \sum_{4d\mid n}d^{11}
 \Big)
 -
 \frac{2^7}{691}
 \big(
 2^9\tau(n/2)
 +
 (-1)^{n}259\tau(n)
 \big)
\]
donde se entiende que el término $\tau(n/2)$ no aparece si $n$ es impar. 
Con la notación anterior, la fórmula equivale a
$c_n=-
 \frac{2^7}{691}
 \big(
 2^9\tau(n/2)
 +
 (-1)^{n}259\tau(n)
\big)$, como quedará claro tras el siguiente ejercicio. 
\medskip 

Para peso 12 se tiene (recuerda la hoja~3) 
$a_0=2\zeta(12)\big(1-2^{-12}\big)$ que se puede evaluar con métodos de variable compleja como $a_0=\frac{691\pi^{12}}{8\cdot 11!}$. Este valor lo puedes dar por supuesto citando una referencia (por ejemplo \cite{wiki_zetav}). 
El siguiente ejercicio es muy similar a los de la hoja anterior en que había que hacer simplificaciones elementales, aunque no obvias.  

\ejer 
Demuestra que la fórmula de Ramanujan para $r_{24}$ se deduce de la identidad:
\[
 \theta^{24}(z)
 -
 \frac{1}{a_0}
 G_{\theta,12}(z)
 +
 \frac{2^7}{691}
 \Big(
 2^9\Delta(z)+259\Delta\big(\frac{z+1}{2}\big)
 \Big)
 =
 0.
\]
\medskip

Llamemos $F$ a la función del primer miembro. 

\ejer
Demuestra que $F$ es una forma modular de peso $12$ con respecto al grupo $\Gamma_\theta$. 
{\sf Indicación:} Lo único que no es inmediato con lo que ya sabes es que $\Delta\big(\frac{z+1}{2}\big)$ es modular. Para ello intenta relacionar $\frac{S(z)+1}{2}$
con $\gamma\big(\frac{z+1}{2}\big)$ para algún $\gamma\in\slz$. 

\ejer
Con la notación de la fórmula de valencia de la hoja anterior, prueba $n_\infty(F)\ge 3$ usando
$\tau(1)=1$ y
$\tau(2)=-24$.

\ejer
Explica por qué $n_1(F)\ge 1$ y concluye que $F$ es idénticamente nula, deduciéndose la fórmula de Ramanujan. 

\

A modo de epílogo, te cuento algo en relación con fórmulas más explícitas. Es posible expresar $\tau$ como una convolución de funciones divisor. De hecho te lo iba proponer en esta hoja, pero creo que ya tiene suficientes contenidos. Si quieres explorarlo, mira \cite[\S1.6]{iwaniec} y \cite[Ex.\, 3.20]{cohen_p}. Un avance medianamente reciente es que en~2002 se probó \cite{milne_sq}, \cite{ono} que también hay fórmulas (muy complicadas) que solo involucran divisores para~$r_{2k}(n)$ cuando~$k$ es de la forma~$2\ell^2$ o $2\ell (\ell+1)$. 
En \cite[\S9.6]{grosswald} hay fórmulas para $r_{10}(n)$ y $r_{12}(n)$ donde $c_n$ se escribe en términos de formas modulares relativamente conocidas. 



\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Escribir un documento que combine las soluciones de los ejercicios anteriores. 
Intenta no excederte de 6 páginas. 
El documento debe dar lugar a un quinto y último capítulo de tu TFG llamado {\sl Acerca del caso general} o la variante que se te ocurra. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{cohen_p}
H.~Cohen.
\newblock An introduction to modular forms.
\newblock arXiv:1809.10907 [math.NT], 2018.

\bibitem{grosswald}
E.~Grosswald.
\newblock {\em Representations of integers as sums of squares}.
\newblock Springer-Verlag, New York, 1985.

\bibitem{iwaniec}
H.~Iwaniec.
\newblock {\em Topics in classical automorphic forms}, volume~17 of {\em
  Graduate Studies in Mathematics}.
\newblock American Mathematical Society, Providence, RI, 1997.

\bibitem{milne_sq}
S.~C. Milne.
\newblock Infinite families of exact sums of squares formulas, {J}acobi
  elliptic functions, continued fractions, and {S}chur functions.
\newblock {\em Ramanujan J.}, 6(1):7--149, 2002.

\bibitem{ono}
K.~Ono.
\newblock Representations of integers as sums of squares.
\newblock {\em J. Number Theory}, 95(2):253--258, 2002.

\bibitem{ramanujan}
S.~Ramanujan.
\newblock On certain arithmetical functions [{T}rans. {C}ambridge {P}hilos.
  {S}oc. {\bf 22} (1916), no. 9, 159--184].
\newblock In {\em Collected papers of {S}rinivasa {R}amanujan}, pages 136--162.
  AMS Chelsea Publ., Providence, RI, 2000.

\bibitem{rankin_sq}
R.~A. Rankin.
\newblock Sums of squares and cusp forms.
\newblock {\em Amer. J. Math.}, 87:857--860, 1965.

\bibitem{rankin}
R.~A. Rankin.
\newblock {\em Modular forms and functions}.
\newblock Cambridge University Press, Cambridge-New York-Melbourne, 1977.

\bibitem{wiki_zetav}
{Wikipedia contributors}.
\newblock Particular values of the {R}iemann zeta function --- {Wikipedia}{,}
  the free encyclopedia.
\newblock
  \url{https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Particular_values_of_the_Riemann_zeta_function&oldid=1185241818},
  2023.
\newblock [Online; accessed 13-February-2024].

\end{thebibliography}


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\end{document}

