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\newcommand{\ejer}{\ \par\vspace{-7pt}{\bf\number\value{ejeno})\ }\addtocounter{ejeno}{1}}



\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}

Esta hoja está dedicada a obtener fórmulas exactas en términos de divisores para el número de representaciones como suma de $2$, $4$ y $8$ cuadrados. Utilizaremos la fórmula de valencia para~$\Gamma_\theta$, ligeramente más simple que la de $\slz$, que afirma que una forma modular $f$ no idénticamente nula de peso $k$ con respecto al grupo~$\Gamma_\theta$ sin sistema de multiplicadores ($w_\gamma=1$) satisface
\begin{equation}\label{valth}
 \frac 12 n_i(f)
 +
 n_{\infty}(f) 
 +
 n_{1}(f) 
 +
 \sideset{}{'}\sum_z n_z(f)
 =
 \frac{k}{4}.
\end{equation}
La prueba es casi idéntica a la relativa a $\slz$, pero las definiciones de $n_\infty(f)$ y de $n_1(f)$, el orden de anulación en las cúspides, es un poco extraña a primera vista. Concretamente, se definen como los enteros no negativos que cumplen que 
\[
 \lim_{\Im(z)\to+\infty}
 f(z)\,e\Big(-\frac{zn_\infty(f)}{2}\Big)
 \qquad\text{y}\qquad
 \lim_{\Im(z)\to+\infty}
 j_{\gamma_1}^{-k}(z)
 f(\gamma_1 z)\,e\big(-zn_1(f)\big)
 \quad\text{con }
 \gamma_1=
 \begin{pmatrix}
  1&-1\\ 1&0
 \end{pmatrix}
\]
existen y son no nulos. 
Te cuento un poco la motivación para que veas que estas definiciones generalizan la de $n_\infty(f)$  para $\slz$. Las formas modulares con respecto a $\Gamma_\theta$ son $2$-periódicas en vez de $1$-periódicas (porque $T^2\in\Gamma_\theta$ y $T\not\in\Gamma_\theta$), así que tendrán un desarrollo de Fourier del tipo $\sum_{n=0}^\infty a_n e(nz/2)$ y el menor $n$ con $a_n\ne 0$ es justamente lo que pide de una forma indirecta la definición anterior. En el caso de la cúspide~$1$, se utiliza  $\gamma_1\in\slz$ como en la hoja anterior para llevarla a~$\infty$ y resulta que $j_{\gamma_1}^{-k}(z)
f(\gamma_1 z)$ es una función $1$-periódica. Admitirá, por tanto, un desarrollo $\sum_{n=0}^\infty a_n e(nz)$ y, de nuevo, la definición anterior da el menor $n$ con $a_n\ne 0$.

Es importante notar que se pide que $f$ sea forma modular pues \eqref{valth} no se aplica a funciones débilmente modulares. Es decir, se debe satisfacer la condición de crecimiento que en el caso de~$\Gamma_\theta$ es $\big|f(z)|\Im(z)^{-\alpha}\to 0$ (cúspide $\infty$) y $\big|j_{\gamma_1}^{-k}(z)f(z)|\Im(z)^{-\alpha}\to 0$ (cúspide~$1$) para algún $\alpha>0$ cuando $\Im(z)\to +\infty$.
Sin estas condiciones, $n_\infty(f)$ y $n_1(f)$ no están bien definidos en general. 
La fórmula tampoco es válida si hay sistemas de multiplicadores no triviales. 

\ejer
Con lo que aprendiste en la hoja anterior, halla $n_\infty(f)$ y $n_1(f)$ para $f = G_{\theta,4}^2$. Deduce de la fórmula de valencia (¿ves claro que cumple las hipótesis?) que $G_{\theta,4}(z)\ne 0$ para $z\in\uph$.

\ejer
Demuestra que $\theta^8(z)/G_{\theta,4}(z)$ es forma modular de peso cero con respecto al grupo $\Gamma_\theta$ y deduce que es una constante. 
{\sf Indicación:} Si $f(z)$ es una forma modular de peso cero, $f(z)-f(i)$ también lo es y \eqref{valth} implica $f(z)=f(i)$. 


\ejer
Comparando los valores de $\theta^8(i\infty)$ y de $G_{\theta,4}(i\infty)$, deduce la sorprendente relación $\theta^8(z)=48\pi^{-4}G_{\theta,4}(z)$ y al igualar los coeficientes de Fourier, obtén la fórmula
\[
 r_8(n)=
 16n^3
 \sum_{d\mid n,\  2\nmid d}
 d^{-3}
 +
 16n^3
 \sum_{d\mid n,\  2\mid d}
 (-1)^{n/d}d^{-3}
 \qquad
 \text{para}\quad n\in\Z^+. 
\]
Aquí y en toda la hoja, como es habitual e hicimos en la hoja anterior, solo consideramos los divisores positivos.
\medskip

A pesar de que el siguiente ejercicio solo requiere argumentos elementales, te puede costar dependiendo de tus habilidades con la teoría de números. 

\ejer
Simplifica la fórmula anterior para obtener
\[
 r_8(n)
 =
 16\sum_{d\mid n} (-1)^{n+d}d^3.
\]
Si quieres, como ejemplo, halla $r_8(1111)$ que sería imposible de calcular a mano. 
\medskip

La relación $\theta^8(z)=48\pi^{-4}G_{\theta,4}(z)$ implica la no anulación de $\theta(z)$ en  $\mathbb{H}$ a partir de la de $G_{\theta,4}(z)$. Teniendo esto en cuenta, procedamos de una manera parecida para deducir una fórmula para el caso de cuatro cuadrados. 

\ejer
Explica siguiendo las mismas líneas que antes que $G_{\theta,2}(z)/\theta^4(z)$ es una forma modular de peso cero con respecto al grupo $\Gamma_\theta$ y acotada. Con el auxilio de los valores en el infinito, obtén la identidad 
$\theta^4(z)=4\pi^{-2}G_{\theta,2}(z)$.

\ejer
Comparando los coeficientes de Fourier, muestra como antes
\[
 r_4(n)
 =
 8n
 \sum_{d\mid n,\  2\nmid d}
 d^{-1}
 -
 8n
 \sum_{d\mid n,\  2\mid d}
 (-1)^{n/d}d^{-1}
 \qquad
 \text{para}\quad n>0. 
\]
\medskip

De nuevo, el siguiente ejercicio de naturaleza ``elemental'' te puede costar. Si la indicación te despista, olvídala. Un corolario es el famoso teorema de Lagrange que afirma que todo entero positivo es suma de cuatro cuadrados (hay pruebas \cite[\S7.3]{StTa} sin usar $r_4$). 

\ejer
Simplifica la fórmula a 
\[
 r_4(n)
 =
 8\sum_{d\mid n,\  4\nmid d} d.
\]
{\sf Indicación:}
En $\sum_{d\mid n,\, 4\mid d}d$ se puede sustituir $n$ por $2n$ añadiendo la condición $2\mid 2n/d$. Tras el cambio $d\mapsto 2d$ se obtiene $2\sum'_{2\mid d}d=\sum' \big(1+(-1)^d\big)d$
donde la prima indica que la suma está restringida a $d\mid n$ con $n/d$ par. 
\medskip

Si ahora queremos hacer un razonamiento similar para encontrar una fórmula para la suma de dos cuadrados, nos encontramos con un problema, $\theta^2$ es de peso~$1$ y no se ajusta al peso de ninguna $G_{\theta, 2k}$. Olvidándonos de que $k\in\Z^+$, correspondería a $k=1/2$ que produce una serie divergente. Siguiendo en parte \cite{StSh} vamos a construir un suplente de esta serie de  Eisenstein que nos falta. La idea subyacente es que, aunque no exista $G_{\theta, 1}$, al sustituir formalmente $k=1/2$ en el desarrollo de Fourier de $G_{\theta, 2k}$ hallado en la hoja anterior, se obtiene algo con sentido. 

La función suplente admite una expresión sorprendentemente sencilla:
\[
 G(z)= \sum_{n\in\Z}\sec(n\pi z).
\]

\ejer
Demuestra que 
\[
 G(z)
 =
 1
 +
 4
 \sum_{n=1}^\infty
 \frac{e(nz/2)}{1+e(nz)}
 =
 1
 +
 4
 \sum_{n=1}^\infty
 \sum_{2d+1\mid n} (-1)^d e(nz/2).
\]
En particular, $G(i\infty)=1$.
\medskip

La prueba de que $G(z)$ satisface una relación modular es similar a la empleada para $\theta$
en la hoja anterior (y se puede abreviar igualmente conociendo la fórmula de sumación de Poisson). Consideramos $z=it$ con $t>0$ y definimos 
$F(x)=\sum_{n\in\Z} {\rm sech}\big(\pi t(n+x)\big)$, donde $\mathrm{sech}=1/\cosh$, que es $1$-periódica. Sus coeficientes de Fourier son:
\[
 a_n
 =
 \int_{-1/2}^{1/2} F(x)e(-nx)\, dx
 =
 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(2\pi nx)}{\cosh(\pi tx)}\, dx
 =
 t^{-1}\mathrm{sech}(\pi n/t)
\]
donde la última igualdad viene de la integral
$\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{sech}(\pi x)\cos(2\pi \xi x)\, dx
=
\mathrm{sech}(\pi\xi)$
que es bastante conocida. Si quieres ver una prueba, está por ejemplo en 
\cite{garrett}.

\ejer
Repasando lo hecho en la hoja anterior, evalúa $F(0)$ de dos formas distintas para obtener $G(-1/z)= -iz G(z)$. 

\ejer 
Calculando $F(1/2)$, obtén de la misma forma 
$G(\gamma_1 z)=-iz
\sum_{n\in\Z} \sec\big(\pi (n+1/2)z\big)$
de donde $e(-z/4)G(\gamma_1 z)/z\to -4i$ para $\Im(z)\to +\infty$. 

\ejer
Siguiendo las líneas de lo hecho en ejercicios anteriores para $r_4$ y $r_8$,
demuestra la identidad $\theta^2(z)=G(z)$  y deduce la fórmula 
\[
 r_2(n)
 =
 4\sum_{2d+1\mid n} (-1)^d.
\]

\ejer
{\sf [Opcional]}
Escribe todas las representaciones de $90$ como suma de dos cuadrados, cuéntalas y comprueba que el resultado es coherente con la fórmula anterior. 
\medskip

El cabo suelto que nos queda es mostrar \eqref{valth}. 
Como te he dicho, la prueba es prácticamente igual que la del caso $\slz$. La novedad es que hay que evitar las cúspides equivalentes $1$ y $-1$, ``mordiendo'' un poco el dominio fundamental. A cambio no hay problemas en $(-1\pm i\sqrt{2})/2$. Esto es, se aplica el principio del argumento en
\[
 \mathcal{D}_{\theta,\epsilon}
 =
 \mathcal{D}_\theta
 \cap \big\{\Im(z)\le \epsilon^{-1}\big\}
 \cap \big\{|z+1-i\epsilon/2|\ge \epsilon/2\big\}
 \cap \big\{|z-1-i\epsilon/2|\ge \epsilon/2\big\}
\]
salvo evitar posibles ceros en la frontera. 
Nota que lo he escrito de forma que la imagen por $\gamma_1$ de $\Im(z)\ge \epsilon^{-1}$ dé el último término y el penúltimo sea la imagen por $T^{-1}\gamma_1$, ahora verás por qué. 

Para integrar en la frontera  recta superior se emplea el desarrollo en el infinito $f(z)=\sum_{n=n_\infty(f)}^\infty a_n e(nz/2)$ y en el arco de círculo cerca de~$1$ el argumento es similar tras un cambio  $z\mapsto\gamma_1^{-1}z$ que pasa la integral en el arco de círculo a una integral en un segmento de $\Im(z)= \epsilon^{-1}$.
Concretamente en el segmento une $\frac 12 +i\epsilon^{-1}$ con $i\epsilon^{-1}$ y al considerar también la cúspide $-1$ se completa con el que une este último punto con $-\frac 12 +i\epsilon^{-1}$. 
Recuerda que, como te he dicho al principio, $j_{\gamma_1}^{-k}(z)
f(\gamma_1 z)$ es $1$-periódica y entonces tiene un desarrollo $\sum_{n=n_1(f)}^\infty a_n e(nz)$, gracias a ello podemos hacer la integral como antes. 
El hecho de que sea  $1$-periódica viene de que, empleando $\gamma_1T\gamma_1^{-1}\in\Gamma_\theta$, se tiene la cadena de igualdades:
\[
 j_{\gamma_1}^{-k}(Tz)f(\gamma_1 Tz)
 =
 j_{\gamma_1}^{-k}(Tz)f(\gamma_1T\gamma_1^{-1} \gamma_1z)
 =
 j_{\gamma_1}^{-k}(Tz)j_{\gamma_1T\gamma_1^{-1}}^{k}(\gamma_1z)f( \gamma_1z)
 =
 j_{\gamma_1}^{-k}(z)f( \gamma_1z).
\]

\ejer
Escribe algo breve acerca de la prueba de \eqref{valth}, sin dar detalles, mencionando que es similar al caso de $\slz$. Solo explica con un poco más de cuidado lo que ocurre en las nuevas cúspides $-1$ y $1$. 




\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Escribir un documento que combine las soluciones de los ejercicios anteriores.   De nuevo, trata no superar las 7 páginas con el formato de esta hoja o de la plantilla. Intenta no repetir los mismos detalles una y otra vez. Piensa que la evaluación de $r_2$, $r_4$ y $r_8$ que hemos visto aquí se rige por un mismo esquema general y tu documento debería transmitir esa estructura unificada.  
No es conveniente que especifiques todos los cálculos, sobre todo si son rutinarios. 
El documento debe dar lugar a un cuarto capítulo de tu TFG llamado {\sl Representaciones como suma de 2, 4 y 8 cuadrados} o la variante que se te ocurra. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{garrett}
P.~Garrett.
\newblock Fourier transform of {\rm sech}.
\newblock
  {\small\url{https://www-users.cse.umn.edu/~garrett/m/real/notes_2019-20/08e_Fourier_transform_sech.pdf}},
  2022.

\bibitem{StSh}
E.~M. Stein and R.~Shakarchi.
\newblock {\em Complex analysis}, volume~2 of {\em Princeton Lectures in
  Analysis}.
\newblock Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003.

\bibitem{StTa}
I.~Stewart and D.~Tall.
\newblock {\em Algebraic number theory and {F}ermat's last theorem}.
\newblock CRC Press, Boca Raton, FL, fourth edition, 2016.

\end{thebibliography}


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\end{document}

