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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}


Esta hoja explorará la relación entre las funciones aritméticas (especialmente las multiplicativas) y las series de Dirichlet. Seguiremos el esquema de
\cite{ch_fa}, que recoge la sección 2.1 de unos apuntes que estoy escribiendo para la asignatura \textsl{Teoría combinatoria y analítica de números}. 
Te avanzo que mi propuesta es que adaptes unas páginas de esa sección cambiando los ejemplos por otros que te propongo como ejercicios. Aparte de que nunca te recomiende la copia literal, algunas cosas las tendrás que modificar necesariamente para que estén de acuerdo con lo visto en el capítulo 1 de tu trabajo. 




\


\ejer 
Da una lectura general a \cite{ch_fa} sin incluir el Lema~2.1.5 (el método de la hipérbola) y su ejemplo, que está al final y aparecerá en una forma más precisa más adelante en tu trabajo. En todo el documento, $p$ denota un número primo. 
No sé si conoces la función $\varphi$ de Euler  que menciono. Se define $\varphi(n)$ como los enteros positivos en $[1,n]$ que son coprimos con $n$ (que no tienen factores comunes con él). Se tiene la siguiente fórmula \cite{HaWr}:
\[
 \varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\big(1-p^{-1}\big).
\]
De todas formas, voy a evitar referencias a ella en lo sucesivo. 

\

Ahora te iré diciendo los detalles finos de la tarea de adaptación de \cite{ch_fa}. 
Como en tu capítulo~1 ya has visto series de Dirichlet y la función $\zeta$, hasta (2.1) te puedes restringir a introducir las funciones multiplicativas y decir que las tomamos como las que dan lugar a las sucesiones en la definición de las series de Dirichlet. La notación pasa a ser $D_f$. Menciona que si $\mathbf{1}$ es la función constante $1$, entonces $\zeta(s)=D_{\mathbf{1}}(s)$.  

\ejer
Intercambia el ejemplo de $\varphi$ como función multiplicativa por $\tau(n)$ definida como el número de divisores (positivos) de $n$. Por ejemplo, $\tau(10)=4$. Explica por qué es multiplicativa y la fórmula en términos de la factorización $\tau(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k})=(\alpha_1+1)\cdots (\alpha_k+1)$. 

\ejer
Introduce también las funciones $\mu$ (función de M\"obius) y $\lambda$ (función de Liouville) como las funciones multiplicativas  que cumplen $\mu(p)=\lambda(p)=-1$ con la única diferencia de que la segunda es completamente multiplicativa y la primera no lo es porque se completa la definición con $\mu(p^k)=0$ si $k=2$. Para ver que lo entiendes, pon como ejemplo los valores de $\mu(n)$ y $\lambda(n)$ para $n\in\{2022,2023\}$. 
\medskip

Lo que sigue es la parte de productos de Euler. En estos apuntes, me salto la prueba del Lema~2.1.1, pero ello no tendría sentido en tu trabajo. 


\ejer
Lee la demostración escaneada que te doy del Lema~2.1.1 que proviene de \cite{MoVa} y redáctala sin hacer una copia totalmente literal, justificando lo que te parezca que necesita más explicaciones.  
\medskip

Ahora vienen un par de ejemplos de dos ``identidades espectaculares''. Busca una referencia al menos para el valor de $\zeta(2)$. No hace falta que reproduzcas la prueba, solo que menciones un sitio donde esté. 
Tras ello, pon las soluciones de los tres ejercicios siguientes como ejemplos:

\ejer
Explica por qué se tiene $D_\mu(s)=\prod_{p} (1-p^{-s})$ en $\Re(s)>1$. 


\ejer
Prueba $\sum_{n=1}^\infty |\mu(n)|/n^s=\zeta(s)/\zeta(2s)$ para $\Re(s)>1$.


\ejer
Expresa $D_\lambda(s)$ en términos de la función $\zeta$.
\medskip

A continuación viene la relación entre las series de Dirichlet y las convoluciones. En la prueba, cuando se dice que ``es lícita la reordenación'', busca el \emph{teorema de Fubini para sucesiones} (por ejemplo en \cite{wiki_fubini}) y apela a él. Explica también al final un poco más por qué $h_p=f_p*g_p$. 
Los ejemplos tras la prueba con $\tau$ y $\mu$, reemplázalos por las soluciones de los tres  ejercicios siguientes.

\ejer
Explica por qué $\sigma=\mathbf{1}*\text{id}$, con $\text{id}(n)=n$ es la función que da la suma de los divisores y úsalo para 
escribir $\sum_{n=1}^\infty \sigma(n)/n^s$ en términos de la función $\zeta$.


\ejer
Calcula la suma de $\tau(d)/d$ sobre los divisores de un mil.

\ejer
Halla una fórmula explícita para $\sum_{d|n}d|\mu(d)|$ en términos de la factorización de $n$.
\medskip

Después de la fórmula de inversión de Möbius hay un ejemplo que involucra la función $\varphi$. Sustitúyelo por la solución de:

\ejer
Sea $f$ la función característica de los cuadrados. Esto es, $f(n)=1$ si $n$ es un cuadrado perfecto y $f(n)=0$ en el resto. Muestra que $\lambda=\mu* f$ usando la fórmula de inversión de Möbius.
\medskip

Llegamos por fin al  Lema~2.1.4. Como ves, es totalmente elemental. Acompáñalo con el ejemplo indicado a continuación:

\ejer
Usando que $\sigma=\mathbf{1}*\text{id}$ prueba
$\sum_{n=1}^N=\frac{\pi}{12}N^2+O(N\log N)$. 
\textsf{Indicación}:
En caso de duda, mira el ejemplo con $\varphi$ que es parecido. Aquí hay que usar $\sum_{m\le x} m=\frac{1}{2}x^2+O(x)$. 
\medskip


Con esto hemos cubierto todo lo que puedes aprovechar de \cite{ch_fa}. Ahora debes hacer un añadido relacionada con una función aritmética no multiplicativa 
llamada \emph{funci\'{o}n de von Mangoldt} definida como
\[
 \Lambda(n)=
 \begin{cases}
 \log p&\text{si }n=p^k,\ k\in\Z^+,
 \\
 0&\text{en otro caso}.
 \end{cases}
\]

\ejer
Explica por qué está claro que $D_\Lambda(s)$ es absolutamente convergente en $\Re(s)>1$.

\ejer
Demuestra la relación $\log n=\sum_{d\mid n}\Lambda(n)$.

\ejer
A partir del ejercicio anterior y de lo que sabes de la expresión de series de Dirichlet como integrales, demuestra que para $\Re(s)>1$ se cumple
 \[
  -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}
  =
  \sum_{n=1}^\infty
  \frac{\Lambda(n)}{n^s}
  \qquad\text{y}\qquad 
  -\frac{\zeta'(s)}{s\zeta(s)}
  =
  \int_1^\infty
  \psi(x) x^{-s-1}\, dx
 \]
donde $\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n)$. 
\textsf{Indicación}:
Nota que $\zeta'(s)=-D_{\log}(s)$.
Para la segunda fórmula, no puedes aplicar directamente el enunciado de la proposición que tenías porque requiere $\sigma_c<0$. Sin embargo, en la prueba solo se necesita $A(\infty)g(\infty)=0$. 



\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Debes escribir un documento que adapte y complete \cite{ch_fa} en la línea de lo sugerido en los ejercicios. Si en algún momento ves más conveniente una ordenación alternativa a la indicada, no lo dudes.   La extensión es libre dentro de límites razonables. Mi sugerencia es que no superes las 7 páginas. Esta hoja debe dar lugar a un segundo capítulo de tu TFG llamado {\sl Funciones aritméticas}. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{ch_fa}
F.~Chamizo.
\newblock Funciones aritm\'eticas y series de {D}irichlet.
\newblock
  {\small\url{http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/2223tenum/notes/sec2.1.pdf}},
  2022.

\bibitem{HaWr}
G.~H. Hardy and E.~M. Wright.
\newblock {\em An introduction to the theory of numbers}.
\newblock Oxford University Press, Oxford, sixth edition, 2008.
\newblock Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, With a foreword by
  A. Wiles.

\bibitem{MoVa}
H.~L. Montgomery and R.~C. Vaughan.
\newblock {\em Multiplicative number theory. {I}. {C}lassical theory},
  volume~97 of {\em Cambridge Studies in Advanced Mathematics}.
\newblock Cambridge University Press, Cambridge, 2007.

\bibitem{wiki_fubini}
{Wikipedia contributors}.
\newblock Fubini's theorem --- {Wikipedia}{,} the free encyclopedia.
\newblock
  {\small\url{https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fubini%27s_theorem&oldid=1119521622}},
  2022.
\newblock [Online; accessed 3-November-2022].

\end{thebibliography}


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\end{document}

