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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}

En lugar de los puntos 4 y 5 de la propuesta inicial me ha parecido más atractivo poner algunas aplicaciones variadas. Sugiero que titules  esta sección ``Tres aplicaciones breves'' o ``Miscelánea de aplicaciones'' o cualquier otra cosa que se te ocurra. 
Estas aplicaciones son tres teoremas debidos a Gauss, Minkowski y Shannon. Sobre todo en los dos últimos las pruebas habituales no emplean Poisson. El primero es el más complicado pero creo que todo te será bastante asequible. 
La idea es practicar con las diferentes formas de la fórmula que has estudiado. En el primer teorema se usa un caso de la versión del libro de Zygmund \cite{zygmund}, en el segundo la versión para retículos y en el tercero la usual.  

Vamos a seguir una estrategia diferente a la de otras hojas que te será más cómoda porque la mayor parte de las fórmulas las podrás copiar del fichero que te envío. Yo te doy los teoremas enunciados y demostrados, tal como podrían aparecer en un libro para investigadores y tú tienes que añadir a las demostraciones todas las explicaciones que sean necesarias para que las pueda seguir cualquier estudiante. 

\begin{theorem}[Gauss]\label{tgauss}
 Dado $N\in\Z^+$ se tiene
 \begin{equation}\label{gsum}
  \sum_{n=0}^{N-1}
  e^{2\pi i n^2/N}
  =
  \frac{1+i^{-N}}{1-i}\sqrt{N}.
 \end{equation}
\end{theorem}


\begin{theorem}[Minkowski]\label{tminkowski}
 Sea $A$ una matriz real $n\times n$ con $\det(A)\le 1$, entonces existe $\vec{m}\in\Z^n$
 tal que $0\ne \|A\vec{m}\|_\infty\le 1$.
\end{theorem}


\begin{theorem}[Shannon]\label{tshannon}
 Sea $f$ una función tal que $\widehat{f}\in C^2$ se anula fuera de $[-B,B]$, entonces para cualquier $\nu\ge 2B$ se cumple
 \[
  f(t)
  =
  \sum_{n=-\infty}^{\infty}
  f(n/\nu)
  \,\text{\rm sinc}(\nu t-n)
  \qquad\text{donde}\quad
  \text{\rm sinc}\; x := \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}
 \]
 y por continuidad se define $\text{\rm sinc}\; 0=1$.
\end{theorem}

En la pruebas utilizo la notación $\chi_{[a,b]}$ para indicar la función característica de $[a,b]$ (uno dentro, cero fuera) y $\chi^*_{[a,b]}$ para lo mismo con el valor $1/2$ en los extremos. La primera prueba sigue muy de cerca \cite{davenport},
en la otras dos he improvisado.

\begin{proof}[Demostración del Teorema~\ref{tgauss}]
 La función $f(x)=e^{2\pi i x^2/N}\chi^*_{[0,N]}(x)$ 
 está bajo las hipótesis de \cite[p.68]{zygmund} para aplicar la
 fórmula de sumación de Poisson, la cual prueba
 \[
  G_N
  =
  \sum_{n\in\Z}
  \int_0^N
  e^{2\pi i(x^2/N+nx)}\; dx
 \]
 donde $G_N$ es la suma en~\eqref{gsum}.
 Con el cambio $x\mapsto x\sqrt{N}-nN/2$ se tiene
 \begin{eqnarray*}
  \frac{G_N}{\sqrt{N}}
  &=&
  \sum_{n\in\Z}
  e^{-\pi i Nn^2/2}
  \int_{n\sqrt{N}/2}^{(n+2)\sqrt{N}/2}
  e^{2\pi i x^2}\; dx
  =
  \sum_{2\mid n}
  +\sum_{2\nmid n}
  \\
  &=&
  \sum_{k\in\Z}
  \int_{k\sqrt{N}}^{(k+1)\sqrt{N}}
  e^{2\pi i x^2}\; dx
  +
  i^{-N}
  \sum_{k\in\Z}
  \int_{(k-1/2)\sqrt{N}}^{(k+1/2)\sqrt{N}}
  e^{2\pi i x^2}\; dx.
 \end{eqnarray*}
 Esto es $1+i^{-N}$ multiplicado por una constante $C$ dada por una integral. Sabemos que $G_1=1$, por tanto dividiendo 
 $G_N/\sqrt{N}= (1+i^{-N})C$
 entre
 $G_1/\sqrt{1}= (1+i^{-1})C$,
 se obtiene el resultado.
\end{proof}

\begin{proof}[Demostración del Teorema~\ref{tminkowski}]
 La función ``tienda'' $f(x)=\max(1-|x|,0)$ cumple 
 $\widehat{f}(0)=1$
 y
 $\widehat{f}(\xi)\ge 0$, 
 por tanto la función de $n$ variables
 $F(\vec{x})
 =
 f(x_1)
 f(x_2)
 \cdots 
 f(x_n)$
 hereda esta propiedad. Por la
 fórmula de sumación de Poisson 
 para retículos se tiene
 \[
  \det{A}\sum_{\vec{m}\in\Z^n}
  F(A\vec{m})
  \ge 
  1.
 \]
 Si $\det{A}<1$, esto da el resultado porque $F(\vec{0})=1$. 
 Si $\det{A}=1$, cambiando $A$ por $A/(1+\epsilon)$ con $\epsilon>0$, se deduce que existe $\vec{m}\in\Z^n$ con $0\ne \|A\vec{m}\|_\infty\le 1+\epsilon$ y permitiendo $\epsilon\to 0$ se obtiene el resultado por la compacidad de $\big\{\vec{x}\,:\,\|A\vec{x}\|_\infty\le \delta\big\}$.
\end{proof}

\begin{proof}[Demostración del Teorema~\ref{tshannon}]
 Dado $u\in I=[-\nu/2,\nu/2]$, por la 
 fórmula de sumación de Poisson 
 aplicada a $g(x)=\nu^{-1}f(x/\nu) e^{-2\pi i ux/\nu}$
 \[
  \widehat{f}(u)
  =
  \sum_{n\in\Z}
  \widehat{f}(\nu n+u)
  =
  \nu^{-1}\sum_{n\in\Z}
  f(n/\nu) e^{-2\pi i nu/\nu}.
 \]
 Multiplicando por $\chi_I(u)=\chi_{[-1/2,1/2]}(u/\nu)$ y calculando la transformada de Fourier inversas de ambos miembros se sigue el resultado ya que $\widehat{\chi}_{[-1/2,1/2]}=\text{\rm sinc}$.
\end{proof}

\ejer
Lee las pruebas anteriores y escríbelas con todas las explicaciones que creas que falten para que tú o cualquiera de tus compañeros pueda seguirlas.  No temas alargarlas mucho introduciendo pasos intermedios, lo importante es que esté todo claro para cualquiera que esté al final del grado de matemáticas

\

Por si tienes curiosidad o te sirve para el siguiente ejercicio, 
la prueba original de Gauss  del Teorema~\ref{tgauss} utilizaba argumentos algebraicos y combinatorios \cite{BeEv}, 
la habitual del Teorema~\ref{tminkowski} mezcla cuestiones geométricas y aritméticas \cite{HaWr} y la del Teorema~\ref{tshannon} se suele hacer con desarrollos de Fourier \cite[\S2.9]{DyMc}.


\

Ahora viene la  parte que quizá te cueste más. En cada teorema indico en cursiva frases clave que puedes buscar y unas palabras sobre su utilidad.

Teorema~\ref{tgauss}: \emph{evaluación de las sumas de Gauss}, \emph{quadratic Gauss sums}. Está relacionado con la ley de reciprocidad cuadrática. 

Teorema~\ref{tminkowski}: \emph{Minkowski's (first) theorem} (el teorema~\ref{tminkowski} es un caso particular), \emph{geometry of numbers}. Se usa en un resultado básico de teoría algebraica de números sobre ideales.

Teorema~\ref{tshannon}: \emph{Shannon sampling theorem}. Permite recuperar una señal a partir de una muestra discreta. 


\ejer
Con la ayuda anterior, busca en la red información sobre estos resultados y escribe unas pocas líneas (menos de diez en cada uno) para motivar cada uno de ellos o explicar su relevancia. 

\

En cuanto a la extensión total del documento que me tienes que entregar, no te pongo ningún límite. 


\begin{thebibliography}{Dav00}

\bibitem[BE81]{BeEv}
B.~C. Berndt and R.~J. Evans.
\newblock The determination of {G}auss sums.
\newblock {\em Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)}, 5(2):107--129, 1981.

\bibitem[Dav00]{davenport}
H.~Davenport.
\newblock {\em Multiplicative number theory}, volume~74 of {\em Graduate Texts
  in Mathematics}.
\newblock Springer-Verlag, New York, third edition, 2000.
\newblock Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery.

\bibitem[DM72]{DyMc}
H.~Dym and H.~P. McKean.
\newblock {\em Fourier series and integrals}.
\newblock Academic Press, New York-London, 1972.
\newblock Probability and Mathematical Statistics, No. 14.

\bibitem[HW08]{HaWr}
G.~H. Hardy and E.~M. Wright.
\newblock {\em An introduction to the theory of numbers}.
\newblock Oxford University Press, Oxford, sixth edition, 2008.
\newblock Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, With a foreword by
  Andrew Wiles.

\bibitem[Zyg88]{zygmund}
A.~Zygmund.
\newblock {\em Trigonometric series. {V}ol. {I}, {II}}.
\newblock Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press,
  Cambridge, 1988.
\newblock Reprint of the 1979 edition.

\end{thebibliography}


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%\bibliographystyle{alpha}

\end{document}

