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%%%%% 	COUNTERS
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%%%%% 	MACROS
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\newcommand{\N}{{\mathbb N}} 
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\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} 

\newcommand{\pvec}[1]{\vec{#1}\mkern2mu\vphantom{#1}'}

\newcommand{\ejer}{\ \par\vspace{-7pt}{\bf\number\value{ejeno})\ }\addtocounter{ejeno}{1}}



\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}


Esta hoja y las sucesivas las iré poniendo en 
\url{http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/supervision/TFG/tfg.html} donde también hay una lista de la propuesta inicial de los contenidos.
La fuente {\LaTeX}, en los ficheros \url{DS21hoja*.tex}, te será muy útil como plantilla y para poder copiar fórmulas y referencias, sobre todo si al principio tienes menos soltura con {\LaTeX}. 
Más o menos imita el formato del trabajo que se indica en la guía docente en cuanto a márgenes y tamaño de letra.
Es totalmente necesario que tengas acceso cuanto antes a {\LaTeX}, o bien porque lo instales en tu ordenador o bien porque te registres en Overleaf sin instalar nada (\url{https://www.overleaf.com/}). 

Por si te sirve de algo, en
{\small\url{http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/computer/latex/latex.html}}
hay una guía de {\LaTeX} desde cero que escribí para un curso y una colección de algunos trucos más avanzados. Para que nos podamos comunicar, es fundamental que tengas conocimientos básicos de \LaTeX{}.



\bigskip

Siguiendo tus preferencias, de vez en cuando en el trabajo habrá aplicaciones al estudio de series infinitas, y un capítulo por entero estará dedicado a ello. Esto no forma parte del material usual que aparece en los textos y dará un toque de originalidad a tu trabajo, que espero que aprecie el tribunal. 

\

Comenzamos estudiando en esta hoja las propiedades básicas de las fracciones continuas. De un modo u otro todo está en las referencias \cite{rose}, \cite{CiCo}, \cite{MiTa}, \cite{khinchin}, que puedes consultar y utilizar a costa de adaptar la notación. 
\medskip

Una \emph{fracción continua} es una expresión de la forma
\[
 a_0+
 \frac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+\dots}}
 \qquad
 \text{con $a_0\in\Z$ y $a_j\in\Z^+$ para $j>0$}.
\]
Esta fracción podría acabar en cierto $a_n$ o continuar indefinidamente. Se habla, respectivamente de fracciones continuas \emph{finitas} o \emph{infinitas}. Por razones tipográficas, prácticamente nunca se escriben expresiones como la anterior. Hay notaciones especiales más convenientes. La clásica  y la moderna son, respectivamente,
\[
 a_0+\frac{1}{a_1+}\frac{1}{a_2+}\dots
 \qquad\text{y}\qquad
 [a_0, a_1, a_2,\dots].
\]
Usaremos esta última en tu trabajo, 
solo he mencionado la clásica para que no te sorprenda si la ves en algún libro.
Aunque los $a_j$ sean enteros, es interesante a veces considerar el corchete de la notación moderna como una función real de su último argumento (en el caso finito). El siguiente ejercicio es trivial, solo para que te familiarices con la notación. 

\ejer
Sea $f(x)=[a_0,a_1,a_2,\dots, a_n,x]$.
Explica por qué 
$\lim_{x\to\infty} f(x)=[a_0,a_1,a_2,\dots, a_n]$.
¿Cuánto vale $\lim_{x\to0} f(x)$?
\medskip

El numerador y el denominador de $[a_0,\dots, a_n]$, como fracción irreducible (con denominador positivo), se suelen denotar con $p_n$ y $q_n$. Esto es,
\[
 \frac{p_0}{q_0}
 =[a_0],
 \qquad
 \frac{p_1}{q_1}
 =[a_0,a_1],
 \qquad
 \frac{p_2}{q_2}
 =[a_0,a_1,a_2],
 \qquad
 \frac{p_3}{q_3}
 =[a_0,a_1,a_2,a_3],
 \qquad
 \dots
\]
Los elementos de la sucesión, o de la lista finita,  $\{p_n/q_n\}$ se dice que son las \emph{convergentes} de la fracción continua. 
De aquí, 
$p_0=a_0$,
$q_0=1$,
$p_1=a_0a_1+1$,
$q_1=a_1$.
\medskip

En algún momento a mediados del siglo XX, se introdujo (parece que no está muy claro quién lo hizo primero \cite{poorten}) una relación de las fracciones continuas con las matrices enteras $2\times 2$ de determinante $\pm 1$ (las únicas que tienen inversa entera), la cual simplifica algunas pruebas. 
La mayoría de los autores no usan esta relación pero a mí se parece adecuada para esta parte de tu trabajo porque la hará más legible y elegante. 

Si $x\in\R$ definimos
\[
 \gamma(x)=
 \frac{ax+b}{cx+d}
 \qquad\text{para }
 \gamma =
 \begin{pmatrix}
  a&b\\ c& d
 \end{pmatrix}
 \quad\text{con}\quad
 \det(\gamma)=\pm 1.
\]
Lo mismo esta acción te suena de algún curso de variable compleja. Lo que debes saber es que es compatible con la multiplicación de matrices, esto es, 
$(\gamma_1\gamma_2)(x)=\gamma_1\big(\gamma_2(x)\big)$. Si quieres dalo por hecho o hazlo como ejercicio.
La relación con las fracciones continuas viene de que 
\[
 \begin{pmatrix}
  a&1\\ 1& 0
 \end{pmatrix}
 (x)
 =a+\frac{1}{x}
 \qquad\text{implica}\qquad
 [a_0,a_1,\dots, a_n,x]
 =
 \begin{pmatrix}
  a_0&1\\ 1& 0
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
  a_1&1\\ 1& 0
 \end{pmatrix}
 \cdots
 \begin{pmatrix}
  a_n&1\\ 1& 0
 \end{pmatrix}
 (x).
\]

\ejer
Usando lo anterior y considerando los límites $x\to \infty$ y $x\to 0$, deduce 
\[
 \begin{pmatrix}
  a_0&1\\ 1& 0
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
  a_1&1\\ 1& 0
 \end{pmatrix}
 \cdots
 \begin{pmatrix}
  a_n&1\\ 1& 0
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
  p_n& p_{n-1}\\ q_n& q_{n-1}
 \end{pmatrix}.
\]
Hay una pequeña sutileza en esta prueba que es fácil pasar por alto, a ver si te das cuenta. 
\medskip

La identidad del ejercicio anterior nos permite dar pruebas rápidas de algunas de las propiedades básicas de las fracciones continuas. 

\ejer
Demuestra:
\[
 \begin{cases}
  \textbf{1.}&
  p_n= a_np_{n-1}+p_{n-2}\quad\text{para }n\ge 2,
  \\
  \textbf{2.}&
  q_n= a_nq_{n-1}+q_{n-2}\quad\text{para }n\ge 2,
  \\
  \textbf{3.}&
  q_n p_{n-1}-p_n q_{n-1}=(-1)^n\quad\text{para }n\ge 1.
 \end{cases}
\]
Para la última, considera el determinante. 
\smallskip

A veces se define artificialmente
$p_{-1}=1$, $q_{-1}=0$ y así las dos primeras propiedades son válidas para $n\ge 1$. Con ello la convergente $-1$ es formalmente $\infty$. Quizá usemos este convenio en algún momento. 

\ejer
Prueba que toda fracción continua infinita converge. Para ello,  deduce de las propiedades anteriores 	que $[p_{2n}/q_{2n},p_{2n+1}/q_{2n+1}]$ es una sucesión de intervalos encajados de longitud $(q_{2n}q_{2n+1})^{-1}\to 0$. 
\medskip

Dado $\alpha\in\R$, partiendo de $\alpha_0=\alpha$ y 
$a_0=\lfloor \alpha_0\rfloor$,
con $\lfloor x\rfloor$ la parte entera de $x$ (el entero más cercano por debajo de $x$), si consideramos la recurrencia
\[
 \alpha_{n+1}
 =
 \frac{1}{\alpha_n-a_n},
 \qquad
 a_{n+1} = \lfloor \alpha_{n+1}\rfloor,
\]
está claro que tenemos
\[
 \alpha=
 [a_0,\dots, a_{n-1},\alpha_n].
\]
Si $\alpha\in\Q$, en algún momento $\alpha_n=a_n$, esto es, $\alpha_n\in\Z$, porque su denominador va decreciendo, y obtenemos una fracción continua finita. 
Si $\alpha\not\in\Q$,
claramente $\alpha_n\not\in\Q$
y el proceso continúa indefinidamente. La conclusión es que, con este algoritmo,  todo $\alpha\in\R$ admite un desarrollo en fracción continua y esta es finita si y solo si $\alpha\in\Q$.

\ejer
Lee con cuidado todo el párrafo anterior y escribe los detalles que consideres necesarios para que te resulte convincente. Si quieres céntrate en el caso $\alpha>0$ para no entrar en discusiones de signos, aunque solo afectan a $a_0$.
\medskip

Dicho sea de paso, el interés de las fracciones continuas en tiempos clásicos radicaba en gran medida en que las convergentes de un número irracional dan aproximaciones racionales muy buenas, en cierto sentido óptimas, facilitando los cálculos numéricos. Por ejemplo, para $\sqrt{2}$ la convergente $p_3/q_3=17/12$ ya da un error relativo menor que un $0.2\%$. 

\ejer
Halla los desarrollos en fracción continua finita de $7/10$ y $-2/5$. Calcula también todas sus convergentes. 

\ejer
Halla $p_n/q_n$ con $n=0,1,2$ para $\pi$ y para $e$.
\medskip

En consonancia con tus gustos, terminaremos aplicando todo lo que has aprendido para evaluar una serie. 

\ejer
Deduce de las propiedades que siempre se cumple
\[
 \frac{p_n}{q_n}
 =
 a_0
 +
 \sum_{k=1}^n
 \frac{(-1)^{k-1}}{q_{k-1}q_k}.
\]
Como pista, piensa en la relación entre los sumandos y $p_k/q_k-p_{k-1}/q_{k-1}$. 

\ejer
Sea $r=\frac{1}{2}\big(1+\sqrt{5}\big)$
la razón áurea. Comprueba que $r=1+r^{-1}$ y utiliza esta relación para obtener  el desarrollo en fracción continua $r=[1,1,1,\dots]$.

\ejer
Demuestra que la convergente $p_n/q_n$ de $r$ es $F_{n+1}/F_n$ con $F_n$ los \emph{números de Fibonacci}, definidos por $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ con $F_0=F_1=1$. Seguro que han aparecido en alguna asignatura del grado. 

\ejer
Concluye de los ejercicios anteriores la fórmula
\[
 \frac{1-\sqrt{5}}{2}
 =
 \sum_{k=1}^\infty
 \frac{(-1)^{k}}{F_{k-1}F_k}.
\]
Si te apetece, suma con un ordenador 15 términos de la serie y comprueba la precisión de la aproximación. 



\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Debes escribir un documento que combine lo que has aprendido con los ejercicios anteriores. 
Los que son más de  cálculos pueden abreviarse como ejemplos, sin dar muchos detalles. Por otro lado, debes destacar las propiedades teóricas. Si quieres, utiliza los entornos Teorema, Proposición o Corolario  para enunciarlos.  En la guía de \LaTeX{} que menciono al principio se explica cómo hacerlo al inicio del apartado ``Enunciados y programación''.
\smallskip

La extensión es libre con la recomendación de que intentes no alcanzar las 7 páginas con el formato de esta hoja. Si todavía no dominas el {\LaTeX} quizá tardes bastante. No te preocupes pero no lo pospongas demasiado. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}



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