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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}


En esta hoja estudiaremos una sorprendente simetría de la función $\zeta$ que en particular implica la extensión de $\zeta(s)-\frac{1}{s-1}$ a una función entera. La 
probó Riemann en su famosa memoria sobre los números primos \cite{edwards}, aunque hay algún antecedente en el trabajo de Euler. Para enunciar y demostrarla, es necesario conocer antes una función clásica de variable compleja. Quizá te la hayan mencionado brevemente en algún curso y algunos de los ejercicios no sean nuevos para ti. 
\bigskip



Definimos la \emph{función $\Gamma$} en $\Re(s)>0$ mediante la integral
\[
 \Gamma(s)= 
 \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x}\, dx.
\]
Si no ves claro que converge, piénsalo un poco.
 

\ejer
Integrando por partes, deduce que se cumple $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ y explica por qué esto permite deducir que $\Gamma$ tiene una extensión meromorfa a $\{\Re(s)>-1\}$ con un único polo en $s=0$ con residuo igual a~$1$.

\ejer
Repitiendo la idea del ejercicio anterior, prueba que $\Gamma$ admite una extensión meromorfa a $\C$ tal que los polos están en $\Z_{\le 0}$ y todos ellos son simples. 


\ejer
Comprueba que la función $\Gamma$ generaliza el factorial en el sentido de que $\Gamma(n)=(n-1)!$ para $n\in\Z^+$. De hecho, históricamente, $\Gamma$ surgió interpolando factoriales \cite{dutka}.  
\medskip

A continuación vamos a probar la fórmula 
\begin{equation}\label{Gbase}
  \Gamma(s)
  \int_0^\infty
  x^{w-1}(1+x)^{-s}\; dx
  =
  \Gamma(s-w)\Gamma(w)
\end{equation}
que nos servirá para probar dos simetrías inesperadas de la función $\Gamma$. Aquí se entiende que $\Re(w)>0$ y $\Re(w-s)<0$ para asegurar la convergencia de la integral, pero, por extensión meromorfa, las simetrías que obtendremos serán generales.   

\ejer
Escribe el primer miembro de \eqref{Gbase} como 
$\int_0^\infty\int_0^\infty
x^{w-1}(1+x)^{-s}y^{s-1}e^{-y}\; dxdy$ y
efectuando un cambio de variable $x=u/v$, $y=u+v$, muestra cómo obtener el segundo término, completando así la prueba de \eqref{Gbase}.
\medskip

Hay una consecuencia que es digna de mención: 

\ejer
Si $\Gamma(s)=0$ con $\Re(s)>0$. Explica por qué \eqref{Gbase} con $w=1/n$ y $n$ arbitrariamente grande, lleva a una contradicción.  Concluye que $1/\Gamma$ define una función entera en $\C$ cuyos ceros están en $\Z_{\le 0}$. 
\medskip

La primera simetría de $\Gamma$, la más famosa, se obtiene con el teorema de los residuos. 

\ejer
Tomando $s=1$ en \eqref{Gbase} y aplicando el teorema de los residuos para evaluar integrales, deduce la \emph{fórmula de reflexión}
\[
 \Gamma(1-w)\Gamma(w)
 =
 \frac{\pi}{\sen(\pi w)}
 \qquad\text{para}\quad w\in\C-\Z,
\]
lo que implica $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$, porque claramente $\Gamma(1/2)\in\R^+$.
{\sf Indicación}:
Considera un dominio de tipo ``cerradura'' donde el ojo de la cerradura rodea al origen y de él parten dos ramas que pasan ligeramente por encima y por debajo del eje real positivo. La determinación natural del ángulo es de $0$ a $2\pi$.  
Si no tienes mucha práctica con el cálculo de estas integrales mediante el teorema de los residuos, mira por ejemplo \cite{ChBr}. 
\medskip 


La segunda simetría requiere cierta manipulación previa de la integral. 

\ejer
Con el cambio de variable $x = \frac{(y-1)^2}{4y}$, comprueba
\[
  \int_0^\infty
  x^{-1/2}(1+x)^{-s}\; dx
  =
  2^{2s-1}\int_0^1
  y^{s-3/2}(1+y)^{1-2s}\, dy
  =
  2^{2s-1}\int_1^\infty
  y^{s-3/2}(1+y)^{1-2s}\, dy
\]
y concluye que estas tres integrales coinciden con $2^{2s-2}\int_0^\infty
y^{s-3/2}(1+y)^{1-2s}\, dy$. 

\ejer
De la conclusión del ejercicio anterior y de \eqref{Gbase} deduce la \emph{fórmula de duplicación} 
\[
 \Gamma(z)\Gamma\big(z+\frac 12\big)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z),
\]
que para $z=1/2$ da una prueba más de $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$.
{\sf Indicación}: Toma $s=z+\frac 12$ y $w=\frac12$ en~\eqref{Gbase}, utiliza la identidad integral del ejercicio anterior y compara el resultado con lo obtenido al sustituir $s=2z$ y $w=z$.
\bigskip

Después de este análisis detallado de la función $\Gamma$, nos dirigimos hacia nuestro objetivo en esta hoja que es encontrar una simetría de la función $\zeta$. Para ello, un resultado auxiliar será la igualdad:
\begin{equation}\label{threl0}
 \sum_{n\in\Z} e^{-\pi n^2 t}
 =
 \frac{1}{\sqrt{t}}
 \sum_{n\in\Z} e^{-\pi n^2 /t}
 \qquad\text{para}\quad t\in\R^+.
\end{equation}
Es muy posible que la hayas visto en algún curso de ecuaciones o análisis. Sea o no el caso, te propongo que escribas una prueba siguiendo las líneas esbozadas en el próximo ejercicio.

\ejer 
Sea $F(x)=\sum_{m\in\Z}e^{-\pi (m+x)^2t}$. Como es $1$-periódica y regular, coincide con su desarrollo de Fourier:
$
 F(x)
 =
 \sum_{n\in\Z} a_n e^{2\pi inx}$
con 
$ a_n=\int_{-1/2}^{1/2} F(x) e^{-2\pi inx}\, dx$.
Demuestra que se tiene $a_n=\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t x^2-2\pi inx} \, dx$ y deduce \eqref{threl0} calculando $F(0)$.
{\sf Indicación}: Para completar este esquema, necesitarás saber
$\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2-2\pi ixy}\, dx= e^{-\pi y^2}$. Si esta integral no te suena, mira o cita \cite[Ex.\,10.9]{montgomery_e} o \cite{pwiki_gaussian}.
\medskip


Ahora estamos preparados para probar la simetría de $\zeta$ siguiendo la idea original de Riemann en su famosa memoria \cite[\S8]{davenport}, \cite{edwards}. 

\ejer 
Considera la 
función $\omega:\R^+\longrightarrow\R$ 
\emph{de decaimiento rápido}\footnote{Se dice que una función es de decaimiento rápido si es $C^\infty$ y ella y sus derivadas de cualquier orden tienden a cero cuando $x\to \infty$ al multiplicar por $x^N$, sea cual sea $N$.}
$
 \omega(x)=\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2x}
$. Muestra que satisface
\[
 \omega(x^{-1})=\frac{\sqrt{x}-1}{2} +\sqrt{x}\, \omega(x)
 \qquad\text{para cualquier }x>0. 
\]

\ejer
Sea 
$\xi(s)
 =
 s(1-s)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$.
Utilizando las definiciones originales de $\zeta$ y de~$\Gamma$, como serie  e integral,  demuestra para $\Re(s)>1$
\[
 \xi(s)=
 s(1-s)
 \int_0^\infty 
 x^{s/2-1}\omega(x)\, dx.
\]
Efectuando el cambio $x\mapsto 1/x$ en el intervalo $(0,1]$ del rango de integración, deduce también
\[
 \xi(s)=
 -1
 +
 s(1-s)
 \int_1^\infty 
 \big( x^{s/2-1}+x^{(1-s)/2-1} \big)\omega(x)\, dx.
\]

\ejer
A partir de la expresión anterior, demuestra los siguientes puntos:
\vspace{-8pt}

\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{-2pt}
 \item 
 $\xi(s)$ se extiende a una función entera. 
 \item
 $\zeta(s)-1/(s-1)$ se extiende a una función entera.
 \item
 Se cumple $\xi(s)=\xi(1-s)$ para todo $s\in\C$.
\end{enumerate}
\medskip

El último punto es la simetría que buscábamos, lo que se llama \emph{la ecuación funcional} por antonomasia que permite relacionar $\zeta(s)$ y $\zeta(1-s)$. El factor $s(1-s)$ es irrelevante porque es invariante bajo $s\mapsto 1-s$, solo se introduce para tener una función entera. Por ello, la ecuación funcional se suele presentar en la forma:
\[
 \pi^{-s/2}\Gamma\Big(\frac{s}{2}\Big)\zeta(s)
 =
 \pi^{-(1-s)/2}\Gamma\Big(\frac{1-s}{2}\Big)\zeta(1-s).
\]
Por cierto, mira  \cite[Ch.\, II]{titchmarsh} si quieres ver otras pruebas de esta identidad. 
También hay una forma ``no simétrica'', algo menos habitual:
\[
 \zeta(s)=
 2(2\pi)^{s-1}
 \sen\Big(\frac{\pi s}{2}\Big)
 \Gamma(1-s)\zeta(1-s).
\]

\ejer
Con lo que sabes de la función $\Gamma$, prueba que la forma simétrica de la ecuación funcional y la no simétrica son equivalentes. 

\ejer
Calcula $\zeta(0)$, $\zeta(-1)$, $\zeta(-2)$, $\zeta(-3)$ y $\zeta(-4)$ empleando la ecuación funcional.

\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Debes escribir un documento que combine las soluciones de los ejercicios anteriores.   La extensión es libre con una fuerte recomendación de que no llegues a las 7 páginas, sin contar la bibliografía, con el formato de esta hoja o de la plantilla. Si te ves muy apurado, suprime lo relativo a la fórmula de duplicación y la forma no simétrica de la ecuación funcional. Es importante que trates de combinar las soluciones  de los ejercicios en vez de pegarlas por separado.  El resultado debe dar lugar a un primer capítulo de tu TFG  llamado {\sl La ecuación funcional} o la variante que prefieras. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{ChBr}
R.~V. Churchill and J.~Ward Brown.
\newblock {\em Complex variables and applications}.
\newblock McGraw-Hill Book Co., New York, fourth edition, 1984.

\bibitem{davenport}
H.~Davenport.
\newblock {\em Multiplicative number theory}, volume~74 of {\em Graduate Texts
  in Mathematics}.
\newblock Springer-Verlag, New York, third edition, 2000.
\newblock Revised and with a preface by H. L. Montgomery.

\bibitem{dutka}
J.~Dutka.
\newblock The early history of the factorial function.
\newblock {\em Arch. Hist. Exact Sci.}, 43(3):225--249, 1991.

\bibitem{edwards}
H.~M. Edwards.
\newblock {\em Riemann's zeta function}.
\newblock Academic Press, New York-London, 1974.
\newblock Pure and Applied Mathematics, Vol. 58.

\bibitem{montgomery_e}
H.~L. Montgomery.
\newblock {\em Early {F}ourier analysis}, volume~22 of {\em Pure and Applied
  Undergraduate Texts}.
\newblock American Mathematical Society, Providence, RI, 2014.

\bibitem{pwiki_gaussian}
{Pr$\infty$fWiki contributors}.
\newblock Fourier {T}ransform of {G}aussian {F}unction --- {Pr$\infty$fWiki}.
\newblock
  {\footnotesize\url{https://proofwiki.org/w/index.php?title=Fourier_Transform_of_Gaussian_Function&oldid=668452}},
  2023.
\newblock [Online; accessed 26-December-2023].

\bibitem{titchmarsh}
E.~C. Titchmarsh.
\newblock {\em The theory of the {R}iemann zeta-function}.
\newblock The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, second
  edition, 1986.
\newblock Edited and with a preface by D. R. Heath-Brown.

\end{thebibliography}


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%\bibliographystyle{plain}

\end{document}

