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\newcommand{\ejer}{\ \par\vspace{-7pt}{\bf\number\value{ejeno})\ }\addtocounter{ejeno}{1}}



\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}


Esta hoja y las sucesivas, la previsión es que haya cinco en total, las iré poniendo en 
\url{http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/supervision/TFG/tfg.html} donde se encuentra la propuesta inicial de los contenidos.
La fuente {\LaTeX}, en los ficheros \verb!CC24hoja*.tex!, te será muy útil como plantilla y para poder copiar fórmulas y referencias.
Más o menos imita el formato indicado en la guía docente. De todas formas, seguramente es más adecuado, para ahorrar tiempo, que las entregas de cada hoja las incluyas en la plantilla oficial del TFG que puedes descargar en Moodle.  



\bigskip

La función protagonista de tu trabajo, es la \emph{función $\zeta$ de Riemann}\footnote{Lo habitual en el ámbito científico es leer $\zeta$ como \emph{zeta}, pero según la RAE el nombre oficial es \emph{dseta}. A pesar de la autoridad de la RAE, también indica \emph{my} y \emph{ny} como nombres de $\mu$ y $\nu$ cuando prácticamente todos los científicos usan \emph{mu} y \emph{nu}.} que se define a través de una serie como la función compleja
\[
 \zeta(s)
 =
 \sum_{n=1}^\infty 
 \frac{1}{n^s}
 \qquad\text{para}\quad 
 \Re(s)>1.
\]
Su interés proviene de que está íntimamente ligada a la distribución de los números primos aunque hasta la próxima hoja no empezaremos a entrar en ello. 
Curiosamente, en esta relación con los primos es fundamental considerar $s$ complejo (por tradición se usa este nombre de la variable en vez de la $z$ típica de variable compleja).

El propósito la presente hoja es tratar algunas de sus propiedades desde el punto de vista del análisis.   
Comenzamos estudiando cuándo tiene sentido la definición anterior de $\zeta$.

\ejer
Muestra que la serie que define $\zeta$ converge para todo número complejo $s$ con $\Re(s)>1$ y diverge si $s$ es real menor que~1. Apelando al teorema de Morera (o como prefieras) explica por qué la serie define una función holomorfa en $\Re(s)>1$. 
{\sf Indicación}: Si la última parte excede tus conocimientos de variable compleja, da un vistazo al teorema de Weierstrass en
\cite{ch_cnv}
o a \S5.2 en el capítulo 2 de 
\cite{StSh}.
\medskip

Un teorema general para cierto tipo de series complejas \cite[Cor.\, 1.2]{MoVa} implica que la serie que define $\zeta(s)$ diverge para todos los números complejos $\Re(s)<1$, no solo los reales. Esto sugiere que la serie solo nos permite definir $\zeta$ como ``infinito'' más allá de $\Re(s)>1$. Sin embargo, resulta que hay una definición alternativa que permite ampliar su dominio y es en esa parte que ``no vemos'' con la serie donde radica la información sobre la distribución de los primos. 



\ejer
Demuestra para $\Re(s)>1$ las igualdades
\[
 \zeta(s)
 =
 s
 \int_1^\infty
 \frac{\lfloor x \rfloor}{x^{s+1}}\, dx
 =
 \frac{s}{s-1}
 -\frac 12
 -s\int_1^\infty
 \frac{x-\lfloor x \rfloor-1/2}{x^{s+1}}\, dx
\]
donde $\lfloor x \rfloor$ significa la parte entera. La segunda debería resultarte fácil y la primera lo es menos. 
\medskip


\ejer
Explica por qué la última integral converge para $\Re(s)>0$. Deduce que $\zeta$ se puede extender a una función meromorfa definida al menos en $\Re(s)>0$ donde tiene un único polo en $s=1$ que es simple y con residuo igual a~$1$.
\medskip

Recuerda que por el llamado ``principio de unicidad'' \cite[Ch.\, 2, \S4]{StSh}, a lo más hay una posible extensión meromorfa a una región dada. Nadie puede venir con otra fórmula ingeniosa y obtener una extensión a $\Re(s)>0$ que difiera de la obtenida. 
Con un poco más de esfuerzo, se puede llevar a cabo la extensión también a $\Re(s)>-1$ y repitiendo la idea incluso a $\C$. Como esto último lo haremos de otra forma en la siguiente hoja, nos contentaremos con el primer paso. 

\ejer
Explica por qué la función $g(x)=\int_1^x\big(t-\lfloor t\rfloor-\frac 12\big)\, dt$ está acotada en $\R$ y muestra que 
\[
 \zeta(s)
 =
 \frac{1}{s-1}
 +
 \frac 12
 -
 s(s+1)\int_1^\infty g(x) x^{-s-2}\, dx. 
\]
Concluye que $\zeta$ se también se puede extender a $\Re(s)>-1$ como una función meromorfa con un único polo en $s=1$, que es simple. 
\medskip



A continuación vamos a ver algo bien curioso: a pesar de que $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ no converge en la franja $0<\Re(s)<1$, sus sumas parciales con un término adicional sirven para aproximar $\zeta(s)$. El siguiente ejercicio es un primer paso con este fin. 

\ejer
Con una variante de los razonamientos anteriores, muestra que  para $N\in\Z^+$ y $\Re(s)>1$
\[
 \zeta(s)
 =
 \sum_{n=1}^N
 \frac{1}{n^s}
 +
 \frac{N^{1-s}}{s-1}
 -
 \frac{N^{-s}}{2}
 -
 s(s+1)\int_N^\infty g(x) x^{-s-2}\, dx. 
\]
Lo cual se extiende como función meromorfa a $\Re(s)>-1$. 
\medskip




Antes de seguir, vamos a estudiar con un poco más de detalle la función $g$. 

\ejer
Prueba que $g$ es $1$-periódica (si no lo has hecho ya), continua y que $g(x)=\frac 12 x(x-1)$ para $0<x<1$; de donde se sigue que es $C^1$ a trozos en cada intervalo finito. Estas condiciones aseguran que $g$ tiene una serie de Fourier\footnote{Recuerda que la  \emph{serie de Fourier} de una función $1$-periódica $f$ es  
$
 \sum_{n\in\Z} f_n\, e^{2\pi inx}
$ con 
$ f_n 
 =
 \int_0^1 
 f(t)\, e^{-2\pi int}\, dt
$
y coincide con $f$ si es suficientemente regular. 
Dos buenas referencias si quieres repasar el análisis de Fourier son \cite{DyMc} y \cite{korner}.} que converge absolutamente a ella. Muestra que es 
\begin{equation}\label{fourierg}
 g(x)
 =
 -\frac{1}{12}
 +
 \frac{1}{4\pi^2}
 \sum_{n\in\Z-\{0\}} 
 \frac{1}{n^2}e^{2\pi i n x}
 =
 -\frac{1}{12}
 +
 \frac{1}{2\pi^2}
 \sum_{n=1}^\infty 
 \frac{\cos(2\pi n x)}{n^2}.
\end{equation}

\ejer
Para $n\in\Z-\{0\}$ sean $f_n(x)=2\pi i nx -\Im(x)\log x$ y $h_n(x)=\big(f_n'(x)x^{\Re(s)+2}\big)^{-1}$.
Partiendo de la identidad trivial 
$e^{2\pi i n x}x^{-s-2} = f_n'(x)\, e^{if_n(x)}h_n(x)$, comprueba las desigualdades siguientes para $\Re(s)>-1$ y $1+\big|\Im(s)\big|\le N\in \Z^+$:
\[
 \Big|
 \int_N^\infty 
 e^{2\pi i n x}x^{-s-2}\, dx
 \Big|
 \le 
 \big|h_n(N)\big|
 +
 \int_N^\infty 
 \big|h'_n(N)\big|\, dx
 =
 2\big|h_n(N)\big|.
\]
{\sf Indicación}:
Integra por partes y controla el signo de la derivada. 






\ejer
Usando los tres ejercicios anteriores, deduce
que existe una constante $C$, que no hace falta que halles, tal que 
\[
 \bigg| 
 \zeta(s)
 -
 \sum_{n=1}^N
 \frac{1}{n^s}
 -
 \frac{N^{1-s}}{s-1}
 \bigg| 
 \le C N^{-\Re(s)}
\]
para cualquier $0<\Re(s)<1$ y $N\ge 1+|\Im(s)|$. 
En particular, las sumas parciales $S_N$ de $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ convergen a $\zeta(s)$ en $0<\Re(s)<1$ cuando $N\to +\infty$ si las corregimos añadiendo $N^{1-s}/(s-1)$.
\medskip

Terminamos esta hoja con el cálculo de algunos valores especiales relacionados con la función $\zeta$. 
Antes de nada, vamos a introducir una constante que es posible que conozcas de algún curso del grado. Lo mismo ya has hecho el siguiente ejercicio en alguna asignatura. 

\ejer
Prueba que la serie $\sum_{n=1}^\infty \big( \frac 1n -\log\frac{n+1}{n}\big)$ converge. 
Deduce que el límite
\[
 \lim_{N\to\infty}
 \Big(
 1+\frac 12+\frac 13 +\dots+\frac 1N
 -\log(N+1)\Big)
\]
existe y es finito. Su valor se llama \emph{constante de Euler-Mascheroni} y se suele denotar con~$\gamma$. Numé\-ricamente es $\gamma= 0.57721\dots$ y no se sabe si admite una expresión sencilla.
{\sf Indicación}: 
Una posible manera de abordar la convergencia es utilizar el criterio de comparación escribiendo el paréntesis como $\int_0^1\big(\frac 1n -\frac{1}{x+n}\big)\, dx$ y acotando la integral. 
\medskip

Primero hagamos dos evaluaciones que son consecuencia inmediata de lo anterior. 

\ejer
Calcula $\zeta(0)$ y $F(1)$ con $F(s)=(s-1)\zeta(s)$. Si uno se pone muy riguroso, debe entender esta $F$ como la extensión holomorfa de $(s-1)\zeta(s)$.
\medskip

Nota que al tener $\zeta$ un polo simple en~$1$, se cumple que $\zeta(s)-1/(s-1)$ permanece acotado cuando $s\to 1$. El siguiente ejercicio apura un poco más.


\ejer
Demuestra que
\[
 F'(1)
 =
 \lim_{s\to 1}\Big( \zeta(s)- \frac{1}{s-1}\Big)=\gamma
\]
justificando que el límite anterior es:
\[
 \frac 12
 -
 \lim_{N\to\infty}
 \int_1^N
 \frac{x-\lfloor x \rfloor-1/2}{x^{2}}\, dx
 =
 \frac 12
 -
 \lim_{N\to\infty}
 \Big(
 \log N-\sum_{n=1}^N\frac 1n
 +\frac{1}{2}+\frac{1}{2N}
 \Big)
 =\gamma.
\]


\medskip

Por último, veamos el valor especial de $\zeta$ que resuelve el problema de Basilea \cite{wiki_basel}. 

\ejer
Utiliza \eqref{fourierg} para obtener $\zeta(2)=\pi^2/6$. Recuerda o repasa la \emph{identidad de Parseval} y aplícala para obtener $\zeta(4)=\pi^4/90$. 
\medskip

{\footnotesize 
Para terminar, te cuento en esta letra pequeña algo más sobre valores especiales de $\zeta$. Tómalo como algo opcional y menciona algo de ello en tu trabajo solo si llama tu atención y tienes espacio. 

Las expresiones exactas para $\zeta(2)$ y $\zeta(4)$ no son una casualidad. Hay expresiones del mismo tipo para $\zeta(2k)$ con $k\in\Z^+$. Por otro lado, se desconocen para $\zeta(2k+1)$. Por ejemplo, no se sabe ``evaluar'' $\zeta(3)$. Una forma general de tratar el caso par es utilizar la identidad famosa de variable compleja (mira \cite[(10)]{hofbauer} para una prueba elemental):
\[
 \frac{\pi^2}{\sen^2(\pi z)}
 -\frac{1}{z^2}
 =
 \sum_{n\in\Z-\{0\}}\frac{1}{(z-n)^2}.
\]
El lado derecho tiene una extensión holormorfa a $z=0$, porque existe el límite, y entonces admite un desarrollo de Taylor de la forma $\sum_{k=0}^\infty a_k z^{2k}$ que al ser comparado con el del segundo miembro permite evaluar $\zeta(2k)$.  

\ejer {\sf [Opcional]}
Evalúa $\zeta(6)$ sabiendo que 
el desarrollo de Taylor del primer término es
$
 \frac{\pi^2}{3}
 +
 \frac{\pi^4}{15}z^2
 +
 \frac{2\pi^6}{189}z^4
 +\dots
$
\smallskip

Los $a_k$ están relacionados con los \emph{números de Bernoulli} $B_k$, que quizá te suenen. Concretamente, 
\[
 a_k
 =
 \frac{(2\pi)^{2k+2}|B_{2k+2}|}{(2k+2)(2k)!}
 \quad\text{para $k\in\Z_{\ge 0}$ y de ahí,}\quad
 \zeta(2k)
 =
 \frac{(2\pi)^{2k}|B_{2k}|}{2(2k)!}
 \quad\text{para $k\in\Z^+$.}
\]



}







\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Debes escribir un documento que combine las soluciones de los ejercicios anteriores.   La extensión es libre con una fuerte recomendación de que no superes las 7 páginas, sin contar la bibliografía, con el formato de esta hoja o de la plantilla para que no tengamos que hacer muchos recortes al final. Es mucho más importante poner buenas explicaciones que detalles en los cálculos. El resultado debe dar lugar a un primer capítulo de tu TFG  llamado {\sl Propiedades analíticas básicas} o algo parecido. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{ch_cnv}
F.~Chamizo.
\newblock Convergencia de funciones holomorfas.
\newblock Variable Compleja {II}.
  {\small\url{https://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/1819vcII/resumenes/cnv.pdf}},
  Curso 2018/2019.

\bibitem{DyMc}
H.~Dym and H.~P. McKean.
\newblock {\em Fourier series and integrals}.
\newblock Probability and Mathematical Statistics, No. 14. Academic Press, New
  York-London, 1972.

\bibitem{hofbauer}
J.~Hofbauer.
\newblock A simple proof of
  {$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=\frac{\pi^2}{6}$} and related
  identities.
\newblock {\em Amer. Math. Monthly}, 109(2):196--200, 2002.

\bibitem{korner}
T.~W. K\"{o}rner.
\newblock {\em Fourier analysis}.
\newblock Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press,
  Cambridge, 2022.
\newblock Reprint of [ 0924154], With a foreword by Terence Tao.

\bibitem{MoVa}
H.~L. Montgomery and R.~C. Vaughan.
\newblock {\em Multiplicative number theory. {I}. {C}lassical theory},
  volume~97 of {\em Cambridge Studies in Advanced Mathematics}.
\newblock Cambridge University Press, Cambridge, 2007.

\bibitem{StSh}
E.~M. Stein and R.~Shakarchi.
\newblock {\em Complex analysis}, volume~2 of {\em Princeton Lectures in
  Analysis}.
\newblock Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003.

\bibitem{wiki_basel}
{Wikipedia contributors}.
\newblock Basel problem --- {Wikipedia}{,} the free encyclopedia.
\newblock
  {\small\url{https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Basel_problem&oldid=1229249253}},
  2024.
\newblock [Online; accessed 7-August-2024].

\end{thebibliography}


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\end{document}

