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\newtheorem{theorem}{Teorema}


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\newcommand{\ejer}{\ \par\vspace{-7pt}{\bf\number\value{ejeno})\ }\addtocounter{ejeno}{1}}



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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}

En esta hoja vamos a estudiar dos aplicaciones de las sumas oscilatorias que tienen interés en teoría de números. En la primera no veremos el sentido completo de la conexión con la aritmética porque te tienes que creer que la suma que estudiaremos tiene que ver con la distribución de los primos. Esta relación con los primos excede con mucho el ámbito de tu trabajo. La segunda es mucho más tangible, pues tiene una interpretación geométrica. Aun así hay dos desigualdades de análisis que vamos a dar por supuestas porque no he sabido cómo obtenerlas brevemente. 
En ambos casos te doy referencias que puedes mencionar en tu trabajo o consultar si quieres poner algo más al respecto. 


\paragraph{Aplicación 1. La hipótesis de Lindelöf.}
Consideramos acotaciones del tipo
\[
 S(t)=O\big(t^\delta\big)
 \qquad\text{para}\quad
 S(t)
 =
 \sum_{1\le n<t}
 \frac{1}{n^{1/2+it}}
 \quad\text{con}\quad t\in\R_{\ge 2}.
\]
Recuerda que algo parecido, pero con $t$ pequeño, apareció en la hoja anterior. La llamada \emph{hipótesis de Lindelöf} afirma que esta acotación se cumple para cualquier $\delta>0$. Lo mejor que se conoce a día de hoy \cite{bourgain} es que es válida para $\delta>13/84$  y nosotros vamos a probar aquí que lo es para $\delta>1/6$. A pesar de que $13/84$ reduce en poco más de una centésima el $1/6$ que obtenemos, requiere muchísimo esfuerzo y técnicas que están en la vanguardia del análisis. Entender \cite{bourgain} está al alcance solo de una minoría de expertos. 

Te explico qué tiene que ver con teoría de números. Refleja en tu trabajo, con tus palabras, lo que quieras de lo que escribo. 
Seguramente hayas oído hablar de la función $\zeta$ de Riemann, una función de variable compleja que sirve para estudiar la distribución de los primos, y de la \emph{hipótesis de Riemann}, para algunos el problema sin resolver más importante de las matemáticas, que equivale al menor error posible en la aproximación de los primos. 
Pues bien, se puede probar que $\zeta(1/2+it)$ se aproxima bien por $S(t)$. De hecho la prueba tiene que ver con tu trabajo \cite[Th.\,1.8]{ivic}. He decidido no incluirla por cuestiones de espacio. Utilizando esto y técnicas avanzadas de variable compleja, se sigue que si la hipótesis de Lindelöf fuera falsa, la de Riemann también lo sería \cite[\S14.2]{titchmarsh} y, entonces, los primos tendrían un comportamiento más caótico del esperado. Por otro lado, si la hipótesis de Lindelöf es cierta, los primos consecutivos no podrían estar muy espaciados, concretamente $p_{n+1}-p_n=O(p_n^\sigma)$ para cualquier $\sigma>1/2$, donde $p_n$ indica el primo $n$-ésimo. 
\medskip

Para obtener el $1/6$, el esquema consiste en preparar $S(t)$ hasta que podamos aplicar los teoremas de la hoja 3 de forma adecuada. El primer paso es una ``descomposición en intervalos diádicos''. Quizá te haya aparecido esta técnica elemental en algún curso de análisis.
En nuestro caso la motivación es obtener sumas oscilatorias sobre intervalos con extremos comparables para que las derivadas en los resultados de la hoja~3 no presenten muchas variaciones. 

\ejer
Explica la igualdad $[1,t)\cap \Z=\bigcup_{0\le j\le \log_2 t}[2^{-j-1}t, 2^{-j}t)\cap\Z$, con $\log_2$ el logaritmo en base~$2$, y por qué se deduce de ello que 
$\sum_{n=N}^M n^{-1/2-it}=O(t^{1/6})$ para $M<\min(2N,t)$ implica $S(t)=O(t^{\delta})$ para todo $\delta>1/6$. 

\ejer
Sea $\{a_n\}_{n=N}^M$ una lista de números complejos y  $S_n=\sum_{k=N}^n a_k$. Demuestra que 
\[
 \Big|
 \sum_{n=N}^M
 \frac{a_n}{\sqrt{n}}
 \Big|
 =
 \Big|
 \sum_{n=N}^{M-1}
 \Big(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\Big) S_n
 +\frac{1}{\sqrt{M}}S_M
 \Big|
 \le \frac{1}{\sqrt{N}}\max_{N\le n\le M}|S_n|. 
\]


\ejer
De lo anterior concluye que  $S(t)=O(t^\delta)$ para $\delta>1/6$ se deduce si demostramos
\[
 N^{-1/2}\sum_{n=N}^M e\Big(\frac{t\log n}{2\pi}\Big)
 =O\big(t^{1/6}\big)
 \qquad\text{para}\quad N,M\in\Z^+,\ M<\min(2N,t).
\]

\ejer
Aplica el Teorema 2 de la hoja 3 si $N\ge t^{2/3}$ y el Teorema 3  si $N\le t^{2/3}$ para deducir la acotación del ejercicio anterior. 





\paragraph{Aplicación 2. El problema del círculo.}
Este es un problema clásico cuyas raíces se remontan a Gauss. El número de representaciones como suma de dos enteros al cuadrado es una función muy caótica. Por ejemplo,~$32044$ no tiene representaciones mientras que~$32045$ tiene~$64$ (como $2^2+179^2$ o $(-178)^2+19^2$). Estudiar el promedio de esta función lleva  a aproximar el número de puntos de coordenadas enteras en el círculo centrado de radio $R$
porque cada representación de $N\le R^2$ es una solución entera de $x^2+y^2=N$, un punto en una circunferencia de radio a lo más $R$. Claramente, este número $C(R)$ debe ser parecido al área del círculo para~$R$ grande. Lo que vamos a probar es 
\begin{equation}\label{tthird}
 C(R)=\pi R^2+O\big(R^{2/3}\big)
 \qquad\text{donde}\quad 
 C(R)=
 \big\{ 
 (m,n)\in\Z^2\,:\, m^2+n^2\le R^2
 \big\}.
\end{equation}
El llamado \emph{problema del círculo} pregunta hasta dónde se puede reducir el término de error. Concretamente, la conjetura es que $O\big(R^{2/3}\big)$ debiera poder sustituirse por $O\big(R^{\delta}\big)$ para cualquier $\delta>1/2$. 
El mejor resultado conocido es $O(R^{131/208})$ multiplicado por una potencia de logaritmo~\cite{huxley}.  De nuevo, aunque numéricamente $131/208$ y $2/3$ 
se diferencien en menos de~$4$ centésimas, hay un abismo entre las técnicas que usaremos nosotros y las que se necesitan para obtener la mejora. 

En nuestra prueba de \eqref{tthird} nos limitaremos a radios de la forma
\[
 R=N\sqrt{2}\qquad\text{con}\quad N\in\Z^+.
\]
Es solo para simplificar la exposición. En realidad el resto de los $R$ se tratan casi igual cambiando las $N$ en las fórmulas posteriores por ciertas partes enteras que afean y alargan los argumentos. 
Si tienes interés y tiempo, te puedo contar los cambios necesarios para cubrir todos los $R$ para que los cites en un apéndice, aunque no me parece tan recomendable, porque es lo mismo salvo que algo más feo. 
\medskip

Ya he anunciado al principio que hay unas desigualdades de análisis que no veremos en tu trabajo. Te las explico antes de comenzar.  
Dado $M\in\Z_{>1}$ se definen los \emph{polinomios trigonométricos de Beurling}
$B_M^+$ y $B_M^-$
como 
\[
 B_M^\pm (x)=
 \pm\frac{1}{2}
 \pm 
 \sum_{k=1}^{M-1}
 f_1(k/M)\cos(2\pi k x)
 +
 \sum_{k=1}^{M-1}
 f_2(k/M)\sen(2\pi k x)
\]
con $f_1(x)= 1-x$ y $f_2(x)= (x-1)\cot(\pi x)-\pi^{-1}$. 
La propiedad que emplearemos sin prueba es 
\[
  B_M^-(x)\le Mx -\frac{M}{2}\le  B_M^+(x)
 \qquad \text{para } x\in [0,1).
\]
La demostración está en \cite{montgomery} (aparece en una forma más completa como \emph{Lema de Vaaler}, por si lo quieres citar así). No utiliza técnicas complicadas, pero ocupa demasiado. Es posible obtener el resultado sin esta desigualdad, pero lo que he pensado al respecto también alargaba la hoja. 


En realidad, la forma específica de $B_M^{\pm}$ es poco importante, aparte de la desigualdad anterior, todo lo que necesitamos de ellos está en el siguiente ejercicio:


\ejer
Las fórmulas de Euler $\cos t =\frac 12 (e^{it}+ e^{-it})/2$ y $\sen t =\frac{1}{2i}(e^{it}- e^{-it})$, permiten escribir
\[
 B_M^\pm (x)=
 \sum_{k=-(M-1)}^{M-1}
 a_k^\pm e(kx)
 \qquad\text{con}\quad a_0^{\pm}=\pm\frac 12. 
\]
Prueba que existe una constante $C$  (que no hace falta que halles) tal que $|k\,a_k^\pm|\le CM$.
{\sf Indicación:}
Basta ver que $x_k f_1(x_k)$ y $x_k f_2(x_k)$ están uniformemente acotadas para $x_k=k/M$ con $0\ne |k|<M$. 
\medskip

Comencemos con la prueba de \eqref{tthird}.



\ejer
Fijándote en la figura, 
y empleando la notación 
$\psi(x)=x-\lfloor x\rfloor-\frac 12$ con $\lfloor x\rfloor$ la parte entera, que es común en teoría de números,
obtén las siguientes fórmulas para $C(R)$.  Debieran resultarte muy sencillas,
de hecho  la primera es trivial notando que en cada lado del cuadrado hay $2N+1$ puntos y que el sumatorio da el número de puntos en la parte sombreada (sin incluir la base). 
\[
 \begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,baseline={-0.2cm}, scale=0.65]
 \draw circle (2.5cm);
 \filldraw[fill=blue!20!white] 
     (135:2.5cm) 
  -- (45:2.5cm)
  arc[start angle=45, end angle=135, radius=2.5cm] 
  -- cycle;
 \draw [line width=1pt] (-1.768,1.768)-- (1.768,1.768)-- (1.768,-1.768)-- (-1.768,-1.768)-- (-1.768,1.768);
 \draw[<->, line width=1.3pt] (0.1,0) -- (1.768,0);
 \draw[<->, line width=1.3pt] (0,0.1) -- (0,1.768);
 \draw[<->, line width=1.3pt] (0.1,0.1) -- (1.768,1.768);
 \node at (0.8,-0.4)  {$N$};
 \node at (-0.4, 0.8)  {$N$};
 \node at (0.8, 1.25)  {$R$};
 \end{tikzpicture}
 \quad
 \begin{array}{l}
  C(R)
  =
  4
  \sum_{n=-N}^N
  \big(
  \big\lfloor
  \sqrt{R^2-n^2}
  \big\rfloor
  -
  N
  \big)
  +
  (2N+1)^2
  \\[13pt]
  C(R)
  =
  4S_1-4S_2+4N^2-1
  \\[5pt]
  \text{donde}\quad
  S_1=
  \sum_{n=-N}^N
  \big(
  \sqrt{R^2-n^2}
  -
  N
  \big)
  \\[10pt]
  \phantom{\text{donde}\quad}
  S_2=
  \sum_{n=-N}^N
  \psi\big(
  \sqrt{R^2-n^2}
  \big).
 \end{array}
\]
\medskip

Por cierto, si quieres reproducir la figura anterior copiando lo que aparece en la fuente \LaTeX{} de este documento, seguramente tengas que incluir las líneas \verb!\usepackage{tikz}! y \verb!\usetikzlibrary{babel,angles,quotes}! que aparecen en la cabecera.
\medskip

Sin restringir los radios a $R=N\sqrt{2}$ las fórmulas anteriores quedarían más feas. Las sumas serían sobre los enteros en $[-R/\sqrt{2}, R/\sqrt{2}]$ y al contar los puntos  en el cuadrado  aparecerían partes enteras. 
\medskip


Para obtener \eqref{tthird} demostraremos 
$ S_1=\frac{\pi R^2}{4}-N^2+O(1)$ y 
$ S_2=O\big(R^{2/3}\big)$. 

\ejer
Aplicando el primer ejercicio de la hoja~3 con $g(x)=\sqrt{R^2-x^2}-N$ y el \emph{segundo teorema del valor medio para integrales}\footnote{Por si no lo conoces, afirma que si $f\ge 0$ es decreciente en $[a,b]$ entonces existe $c\in [a,b]$ tal que 
$\int_a^b f(t)h(t)\, dt=f(a)\int_a^c h(t)\, dt$. Aquí $h$ es cualquier función integrable \cite{wiki_2mvt}.}, justifica
\begin{eqnarray*}
 S_1 &=& 
 \int_{-N}^N\big( g(x)+\psi(x) g'(x)\big)\, dx
 =
 2
 \int_{-N}^0\big( g(x)+g'(x)\psi(x) \big)\, dx
 \\
 &=&
 2
 \int_{-N}^0g(x)\, dx+O(1)
 =\frac{\pi R^2}{4}-N^2+O(1).
\end{eqnarray*}
{\sf Indicación:} 
La última igualdad se sigue de $\int_{-N}^0\sqrt{R^2-x^2}\, dx=\frac{\pi R^2}{8}+\frac{R^2}{4}$.
Aunque esta integral sale fácil con $x=R\sen t$, no la detalles en tu trabajo. Basta con que digas que da eso. 
\medskip

Ahora vamos con $S_2$. Aquí emplearemos la desigualdad de los $B_M^\pm$. La manera larga de proceder sin apelar a ella es utilizar el desarrollo de Fourier de $\psi$ para obtener directamente sumas oscilatorias. Lo malo es que conduce a resolver ciertos problemas de convergencia de la serie infinita que complicarían la hoja, por ello me he decidido a que emplees los $B_M^\pm$ que son sumas finitas. 



\ejer
Explica por qué $B_M^-(x)\le M\psi(x)\le  B_M^+(x)$ para todo $x\in\R$ (esto debiera resultarte obvio a partir de la desigualdad sin prueba) y deduce  de ello y de la acotación para 
$|k\,a_k^\pm|$ que
\[
 |S_2|
 \le
 \frac{2N+1}{2M}
 +
 2C
 \sum_{k=1}^{M-1}
 \frac 1k
 \Big|
 \sum_{n=-N}^N
 e\big(k\sqrt{R^2-n^2}\big)
 \Big|.
\]
\medskip

Recuerda que $M\in\Z_{>1}$ es arbitrario. Elijámoslo comparable a $R^{1/3}$, por ejemplo, $M=\lfloor R^{1/3}\rfloor$. 
Entonces $(2N+1)/(2M)= O(R^{2/3})$ y todo lo que hay que comprobar para obtener \eqref{tthird} es que la doble suma está dentro de ese orden de magnitud (¿lo ves claro?).


\ejer
Usando el Teorema~2 de la hoja 3, demuestra que 
\[
 \sum_{n=-N}^N
 e\big(k\sqrt{R^2-n^2}\big)
 =O\big(R^{1/2}k^{1/2}\big).
\]


\ejer
Concluye \eqref{tthird} de los ejercicios anteriores. 



\


\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Combina las soluciones de los ejercicios anteriores en un documento que dé lugar al quinto y último capítulo de tu TFG  bajo el título {\sl Dos aplicaciones relacionadas con la aritmética} o la variante que prefieras.
Mi recomendación es que no lo ajustes a~6 páginas. Sugiero que no detalles mucho los cálculos porque si no el resultado podría invitar poco a su lectura. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{bourgain}
J.~Bourgain.
\newblock Decoupling, exponential sums and the {R}iemann zeta function.
\newblock {\em J. Amer. Math. Soc.}, 30(1):205--224, 2017.

\bibitem{huxley}
M.~N. Huxley.
\newblock Exponential sums and lattice points. {III}.
\newblock {\em Proc. London Math. Soc. (3)}, 87(3):591--609, 2003.

\bibitem{ivic}
A.~Ivi{\'c}.
\newblock {\em The {R}iemann zeta-function}.
\newblock Dover Publications Inc., Mineola, NY, 2003.
\newblock Theory and applications, Reprint of the 1985 original [Wiley, New
  York].

\bibitem{montgomery}
H.~L. Montgomery.
\newblock {\em Ten lectures on the interface between analytic number theory and
  harmonic analysis}, volume~84 of {\em CBMS Regional Conference Series in
  Mathematics}.
\newblock Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences,
  Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI, 1994.

\bibitem{titchmarsh}
E.~C. Titchmarsh.
\newblock {\em The theory of the {R}iemann zeta-function}.
\newblock The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, second
  edition, 1986.
\newblock Edited and with a preface by D. R. Heath-Brown.

\bibitem{wiki_2mvt}
{Wikipedia contributors}.
\newblock Mean value theorem --- {Wikipedia}{,} the free encyclopedia.
\newblock
  {\small\url{https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mean_value_theorem&oldid=1280219541}},
  2025.
\newblock [Online; accessed 17-March-2025].

\end{thebibliography}

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%\bibliographystyle{plain}

\end{document}
