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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}


En esta hoja vamos a introducir los potenciales escalar y vectorial y a deducir algunas  soluciones particulares de interés dentro del  electromagnetismo.

Antes de comenzar, me he dado cuenta de que en el capítulo 1 no pones todas juntas las ecuaciones de Maxwell con fuentes (aparecen por separado). Menciónalas en algún momento y numera el resultado para poder hacer referencia a ellas. Es decir, escribe
\begin{equation}\label{em2}
 \nabla \cdot \vec{E}=4\pi\rho,
 \quad
 \nabla \cdot \vec{B}=0,
 \quad
 \nabla \times \vec{E}=-\frac 1c\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},
 \quad
 \nabla \times \vec{B}=\frac{4\pi}{c}\vec{\jmath}+\frac 1c\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.
\end{equation}



\bigskip

A la hora de trabajar con las las ecuaciones de Maxwell es natural introducir ciertas funciones llamadas genéricamente \emph{potenciales} que simplifican los cálculos. En principio son artificios matemáticos, las cantidades físicas siguen siendo $\vec{E}$ y $\vec{B}$. Curiosamente, con la llegada de la revolución cuántica, la situación cambió y estos potenciales adquirieron relevancia física que podía manifestarse en los experimentos \cite[15-5]{FeLeSa}. Si completamos todo el plan, al final del trabajo veremos algo al respecto.
\medskip

La existencia de los potenciales proviene de dos resultados de cálculo vectorial. El primero seguramente lo conoces. Ambos se refieren a campos vectoriales $\vec{F}:\mathcal{U}\subset\R^3\longrightarrow\R^3$ que suponemos en $C^2(\mathcal{U})$, con $\mathcal{U}$ abierto. No haremos hincapié en la regularidad y siempre daremos por supuesta la existencia de las derivadas que necesitemos.

\begin{enumerate}\setlength{\itemsep=-1pt}
 \item 
 Si $\nabla\times\vec{F}=\vec{0}$ entonces localmente existe una función $\phi$ tal que $\vec{F}=-\nabla\phi$. 
 \item
 Si $\nabla\cdot\vec{F}=0$ entonces localmente existe un campo $\vec{A}$ tal que $\vec{F}=\nabla\times\vec{A}$. 
\end{enumerate}

Aquí ``localmente'' significa que dado $p\in\mathcal{U}$ existe en un entorno de $p$ que quizá no es todo~$\mathcal{U}$. Las limitaciones para la extensión del entorno son topológicas.

\ejer
Busca en la fuente que prefieras demostraciones de las dos afirmaciones anteriores y redáctalas para tu trabajo citando el original e intentando usar tus propias palabras (una posible referencia es \cite{garrity}).
\medskip

Las demostraciones que hayas encontrado te darán un método para calcular $\phi$ y $\vec{A}$. Veamos ahora un ejemplo típico de una obstrucción topológica que no permite la extensión de $\phi$ a todo el abierto.

\ejer
Considera el campo $\vec{F}=\big(-y/(x^2+y^2), x/(x^2+y^2),0\big)$ definido en el abierto $\mathcal{U}$ dado por todo $\R^3$ menos el eje $Z$. Demuestra que, a pesar de que $\nabla\times\vec{F}=\vec{0}$, no es posible encontrar $\phi:\mathcal{U}\longrightarrow\R^3$ con $\vec{F}=-\nabla\phi$ en $\mathcal{U}$ y explica qué es lo que colapsa en la construcción de la demostración.
\textsf{Indicación:} Para lo primero, integra $\vec{F}$ a lo largo de un camino que rodee al eje~$Z$.
\medskip

En lo sucesivo no nos preocuparemos de la extensión porque en nuestros ejemplos trabajaremos principalmente en $\mathcal{U}=\R^3$ donde la extensión es siempre posible. 

\ejer
Como aplicación de lo anterior, muestra que existen $\phi$ y $\vec{A}$ tales que
\[
 \vec{E}=-\nabla\phi-\frac1c \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}
 \qquad\text{y}\qquad
 \vec{B}=\nabla\times\vec{A}.
\]
Estos $\phi$ y $\vec{A}$ asociados al electromagnetismo se dice que son el \emph{potencial escalar} y el \emph{potencial vector}.
\medskip

Una primera ventaja de estos potenciales es que reducen las ecuaciones de Maxwell de cuatro a dos. Hay otras ventajas que veremos más adelante al tratar la relatividad. En realidad no habría que hablar del potencial escalar y del potencial vector sino de un potencial escalar y de un potencial vector porque no están unívocamente determinados. Esto que parece una tontería matemática, es el punto de partida de las \emph{teorías gauge} que tanto impacto han tenido en la física actual.

\ejer
Comprueba que si $\phi$ y $\vec{A}$ son un potencial escalar y un potencial vector para ciertos $\vec{E}$ y $\vec{B}$, entonces $\phi- c^{-1}\partial_t f$ y $\vec{A}+\nabla f$ también lo son para cualquier $f$.
\medskip

La $f$ se dice que da el \emph{gauge} (calibre, no se suele traducir) y hay algunos convenios, adecuados en diferentes contextos, para limitar la elección de $f$ y que los potenciales sean únicos.
\smallskip

En parte de lo que viene a continuación, seguiré \cite{galtsov} ajustando las unidades. Si diera la casualidad de que lo consultas, nota que en las fórmulas anteriores hay una errata.
\smallskip




Estudiemos primero el caso estático. Es decir, con $\vec{E}$ y $\vec{B}$ independientes del tiempo.

\ejer
Explica por qué siempre se puede ajustar el \textsl{gauge} para tener $\nabla\cdot\vec{A}=0$ (a esto se le llama \emph{gauge de Coulomb}) y deduce que las ecuaciones de Maxwell en el caso estático se reducen a las ecuaciones para $\phi$ y $\vec{A}$ dadas por
\begin{equation}\label{poi2}
 \Delta \phi = -4\pi\rho
 \qquad\text{y}\qquad
 \Delta \vec{A} = -\frac{4\pi}c \vec{\jmath}
\end{equation}
con $\Delta$ el operador de Laplace. \textsf{Indicación:} Seguramente debas recordar de los cursos de ecuaciones que la ecuación de Poisson tiene solución. Si no sabes de qué te hablo, mira cualquier libro de EPDs (por ejemplo \cite{evans}) o al menos la Wikipedia \cite{wiki_poisson_eq}.
\medskip

Lo bueno de \eqref{poi2} es que las ecuaciones están desacopladas y dados $\rho$ y $\vec{\jmath}$ las podemos resolver por separado. Físicamente, nos podemos ocupar primero del  caso $\vec{B}=\vec{0}$ (no hay campo magnético) después del caso $\vec{E}=\vec{0}$ (no hay campo eléctrico) y sumar los resultados.

\ejer
Lee en
\cite[\S4]{ch_max} la deducción de la ley de Coulomb y escríbela con tus palabras explicando por qué corresponde a la solución de la primera ecuación de \eqref{poi2} cuando $\rho$ es proporcional a una \emph{delta de Dirac} que representa que la carga es puntual.
\medskip


Para mayor simplicidad, supondremos que $\vec{E}$ y $\vec{B}$ están definidas en todo $\R^3$ y eso elimina los problemas de extensibilidad de
$\phi$ y $\vec{A}$, que también pasan a estar definidos en $\R^3$.

\ejer
Redacta lo que has aprendido de la ecuación de Poisson para escribir las soluciones como
\[
 \phi=
 \int \frac{\rho(\vec{s})}{|\vec{r}-\vec{s}|}\, d^3\vec{s}
 \qquad\text{y}\qquad
 \vec{A}=
 \frac{1}{c}
 \int \frac{\vec{\jmath}(\vec{s})}{|\vec{r}-\vec{s}|}\, d^3\vec{s}
\]
donde $\vec{r}=(x,y,z)$. 
\medskip

Espero no despistarte con mi notación un poco particular, medio matemática, medio física. Las integrales son triples, sobre $\R^3$, y $d^3\vec{s}$ significa $ds_1\,ds_2\,ds_3$. Utiliza en tu trabajo la notación que te resulte más familiar.
\medskip

Veamos ahora una aproximación cuando la distribución de carga y magnética está concentrada cerca del origen o estamos lejos de su soporte. En ese caso, $|\vec{r}-\vec{s}|^{-1}$ se sustituye por un polinomio de Taylor en $\vec{s}$ alrededor del origen. El desarrollo comienza con
\[
 \frac{1}{|\vec{r}-\vec{s}|}
 =
 \frac{1}{r}
 +
 \frac{\vec{r}\cdot \vec{s}}{r^3}+\dots
 \qquad\text{donde}\quad r=|\vec{r}|.
\]
No es un hecho tan conocido entre los matemáticos que los puntos suspensivos, los términos de mayor orden, se escriben en función de los polinomios de Legendre
\cite[VII.5.5]{CoHi1}
y que originalmente Legendre los introdujo de esa forma. 

\ejer
Comprueba la aproximación de orden $1$ anterior y obtén la aproximación
\[
 \phi\approx 
 \frac{Q}{r}
 +
 \frac{\vec{d}\cdot \vec{r}}{r^3}
\]
donde 
\[
 Q=\int \rho(\vec{s})\, d^3\vec{s}
 \qquad\text{y}\qquad
 \vec{d}=\int \vec{s}\rho(\vec{s})\, d^3\vec{s}.
\]
\medskip

A $Q$ y $\vec{d}$ se les llama, respectivamente, \emph{carga total} y \emph{momento dipolar} (eléctrico). La interpretación física es que cuando estamos lejos de la distribución de cargas, nos parecerá que la carga es puntual en primera aproximación mientras que en segunda aproximación podemos considerar que hay un dipolo \cite[\S5]{ch_max} que representa la principal asimetría en la distribución. 
\medskip

Si repetimos el mismo argumento con $\vec{A}$, los análogos de $Q$ y de $\vec{d}\cdot \vec{r}$ son las cantidades vectoriales
\[
 \int \vec{\jmath}(\vec{s})\, d^3\vec{s}
 \qquad\text{y}\qquad
 \int (\vec{r}\cdot\vec{s})\vec{\jmath}(\vec{s})\, d^3\vec{s}.
\]
Sin embargo, no se consideran en esta forma. La primera integral, de hecho, es nula. 

\ejer
Usando que los campos son estáticos, muestra que 
$\vec{\jmath}=
\big(\nabla\cdot(x\vec{\jmath}),\nabla\cdot(y\vec{\jmath}),\nabla\cdot(z\vec{\jmath})\big)$ y, suponiendo que el soporte de $\vec{\jmath}$ es compacto, deduce $\int \vec{\jmath}(\vec{s})\, d^3\vec{s}=\vec{0}$. 


Manipular la segunda integral es un pequeño reto. A ver si lo consigues solo con las indicaciones que te doy o, todavía mejor, encuentras un atajo sin seguirlas.

\ejer
Prueba que la segunda integral es $\vec{\mu}\times\vec{r}$ donde 
$\vec{\mu}=\frac 12 \int \big(\vec{s}\times\vec{\jmath}(\vec{s})\big)\, d^3\vec{s}$. A esta cantidad se le llama \emph{momento dipolar magnético}. 
\textsf{Indicación:} 
Quizá te interese buscar información sobre el \emph{triple producto vectorial} \cite{wiki_triple_pr}. También te puede resultar útil probar y usar $j_ns_m+j_ms_n=\nabla\cdot (s_ns_m\vec{j})$ para $n,m\in\{1,2,3\}$.
\medskip

En definitiva, se obtiene la aproximación
\[
 \vec{A}(\vec{r})\approx
 \frac{\vec{\mu}\times\vec{r}}{r^3}.
\]
Físicamente esto es como representar la distribución magnética dada por $\vec{\jmath}$ por un solo imán elemental, cuya ``fuerza'' y dirección están representadas por $\vec{\mu}$. 


\bigskip

Sin duda, la solución de las ecuaciones de Maxwell con mayor impacto en el mundo moderno son las ondas electromagnéticas en el caso del vacío: $\rho=0$ y $\vec{\jmath}=\vec{0}$. Vamos a estudiar cómo se escriben en términos de los potenciales, restringiéndonos al caso de ondas planas. 

\ejer
De nuevo apelando a hechos conocidos de ecuaciones en derivadas parciales\footnote{Específicamente, puedes dar por supuesto que fijada $g$ la ecuación de ondas inhomogénea $c^{-2}\partial_t^2 f-\Delta f=g$ tiene una solución $f$.}, explica por qué siempre se puede ajustar el \textsl{gauge} para tener $\nabla\cdot\vec{A}+c^{-1}\partial_t\phi=0$ (a esto se llama \emph{gauge de Lorenz}\footnote{Algunos autores, por ejemplo \cite{galtsov}, lo llaman \textsl{gauge} de Lorentz, pero esto no es muy correcto históricamente, a pesar de que Lorentz también se ocupó de las ondas electromagnéticas.}) y deduce que las ecuaciones de Maxwell en el vacío se escriben como:
\begin{equation}\label{dalamb}
 \square \phi = 0
 \qquad\text{y}\qquad
 \square \vec{A} = \vec{0}
\end{equation}
donde $\square$ es el \emph{operador  de d'Alambert}, el que aparece en la ecuación de ondas con velocidad $c$. Esto es,  $\square f=c^{-2}\partial_t^2 f-\Delta f$.
\medskip

Las soluciones más representativas de la ecuación de ondas son las oscilaciones armónicas dadas por senos y cosenos.

\ejer
Sea $u = \sen(\vec{k}\cdot \vec{r} - c|\vec{k}|t)$ donde 
$\vec{k}\in\R^3-\{\vec{0}\}$ es un vector dado, llamado \emph{vector de ondas}. Comprueba que $\square u=0$. Esta $u$ representa una \emph{onda plana} que viaja en la dirección $\vec{k}$ con velocidad $c$. Es plana porque para cada tiempo fijado es constante en cada plano con vector normal~$\vec{k}$. Tiene velocidad $c$ porque también es constante cuando la proyección de $\vec{r}$ sobre $\vec{k}$ es $c$ veces el tiempo. Si no ves estas cosas claras, explícalas.
\medskip

Motivados por esta solución tomamos $\vec{A}=\vec{A}_0 u$ con $\vec{A}_0$ un vector constante no nulo. El \textsl{gauge} de Lorenz permite elegir $\phi=Ku$ con $K$ una constante relacionada con $\vec{A}_0$ y $\vec{k}$.

\ejer
Demuestra 
\[
 \vec{E}=
 \frac{(\vec{k}\times\vec{A}_0)\times \vec{k}}{|\vec{k}|}
 u_c
 \qquad\text{y}\qquad
 \vec{B}=
 (\vec{k}\times\vec{A}_0)u_c
\]
donde $u_c$ es como $u$ cambiando el seno por un coseno (de nuevo te puede ser útil pensar en el triple producto vectorial \cite{wiki_triple_pr}).  Concluye que $\vec{E}$ y $\vec{B}$ son campos ortogonales entre sí y también a ~$\vec{k}$. Esto justifica la representación de las ondas electromagnéticas que aparece en muchos textos (por ejemplo \cite{AlFi}) como dos gráficas sinusoidales perpendiculares a lo largo de un eje. 


\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Combina los ejercicios anteriores para obtener el capítulo 2 de tu trabajo bajo el título ``Los potenciales escalar y vectorial'' o cualquier otro que consideres adecuado.
La extensión recomendada son unas 6 páginas. Si ves que no es muy realista utiliza lo que necesites. Ten siempre en mente que la extensión final recomendada, con el formato de la plantilla, son 30 páginas. Si llegamos a completar los 5 temas del plan inicial, salen a una media de 6 páginas. Si hay material de sobra, siempre se puede mandar a un apéndice. Por otro lado, si al final estás apurado, podemos recortar el último capítulo.

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{AlFi}
M.~Alonso and E.~J. Finn.
\newblock {\em Fundamental {U}niversity {P}hysics: {F}ields and waves}.
\newblock Addison-Wesley series in physics. Addison-Wesley, 1967.

\bibitem{ch_max}
F.~Chamizo.
\newblock Las ecuaciones de {M}axwell en plan fácil.
\newblock {\small\url{http://www.uam.es/fernando.chamizo/physics/physics.html}}, 2016.

\bibitem{CoHi1}
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\newblock {\em Methods of mathematical physics. {V}ol. {I}}.
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\bibitem{FeLeSa}
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\bibitem{garrity}
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\newblock
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\end{thebibliography}


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\end{document}

