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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}

La serie que define la función $\zeta$ no converge para $\Re(s)<1$. Si pensamos en los reales en dicha región, esto es,  $s\in(-\infty,1)$, parece que no hay otra posibilidad que asignarles el valor infinito. Sin embargo, hay una manera de extender $\zeta$ a todo el plano complejo con un único polo en $s=1$ y esa manera es única si queremos preservar buenas propiedades de variable compleja (la holomorfía fuera de $s=1$). Por poner una analogía, si definimos $f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^n$ parece que deberíamos asignar $f(2)=\infty$, pero utilizando series geométricas sabemos que $f(z)=1/(1-z)$ en el círculo de convergencia $|z|<1$ y el segundo miembro tiene perfecto sentido fuera de él. La extensión $1/(1-z)$ es la única meromorfa (por el principio de unicidad en variable compleja) y nos dice que debiéramos definir $f(2)=-1$. 

Curiosamente, la información sobre las propiedades finas de la distribución de los primos radica en la región $\Re(s)\le 1$, especialmente en $\frac 12 \le \Re(s)\le 1$, es decir, en la parte que no vemos con la serie de la definición original de la función~$\zeta$. Toda esta hoja estará dedicada a obtener la extensión anunciada. En relación con esto, probaremos una sorprendente simetría que tiene interés independiente. 


\bigskip




\ejer
Demuestra para $\Re(s)>1$ las igualdades
\[
 \zeta(s)
 =
 s
 \int_1^\infty
 \frac{\lfloor x \rfloor}{x^{s+1}}\, dx
 =
 \frac{s}{s-1}
 -\frac 12
 -s\int_1^\infty
 \frac{x-\lfloor x \rfloor-1/2}{x^{s+1}}\, dx
\]
donde $\lfloor x \rfloor$ significa la parte entera. La segunda debería resultarte fácil, la primera no tanto. 
\medskip


\ejer
Explica por qué la última integral converge para $\Re(s)>0$. Deduce que $\zeta$ se puede extender a una función meromorfa en esa región con un único polo en $s=1$ que es simple y con residuo igual a~$1$.
\medskip

Recuerda que por el llamado ``principio de unicidad'' \cite[Ch.\, 2, \S4]{StSh}, a lo más hay una posible extensión meromorfa a una región dada. Nadie puede venir con otra fórmula ingeniosa y obtener una extensión a $\Re(s)>0$ que difiera de la obtenida. 

En cierto modo, integrando por partes en la fórmula anterior se obtienen extensiones sucesivas a $\Re(s)>-1$, $\Re(s)>-2$, etc. y en el límite se sigue la extensión meromorfa a todo $\C$.
Esta manera de proceder, no será tan relevante para nosotros porque obtendremos la extensión de otra forma. De todos modos, si quieres leer sobre ello, mira cómo se utiliza la fórmula de sumación de Euler-Mclaurin con este propósito en \cite[Th.\,1.2]{ivic}.
\medskip


Casi todo el resto de la hoja está dedicada a una fórmula que relaciona $\zeta(s)$ y $\zeta(1-s)$, lo cual en particular, permitirá la extensión meromorfa a $\C$, porque podremos pasar la región $\Re(s)>0$, en la que ya sabemos que $\zeta$ es meromorfa a la región $\Re(s)<1$.
Esta relación la obtuvo Riemann en su famosa memoria sobre los números primos \cite{edwards}, aunque hay algún antecedente en el trabajo de Euler. Para enunciar y demostrarla, es necesario conocer antes una función clásica de variable compleja. Aunque la hayas visto, refleja el contenido de los ejercicios en tu trabajo. 
\medskip




Definimos la \emph{función $\Gamma$} en $\Re(s)>0$ mediante la integral
\[
 \Gamma(s)= 
 \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x}\, dx.
\]
Debería estar claro que la integral converge en la región indicada.
 

\ejer
Integrando por partes, deduce que se cumple $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ y explica por qué esto permite deducir que $\Gamma$ tiene una extensión meromorfa a $\{\Re(s)>-1\}$ con un único polo en $s=0$ con residuo igual a~$1$.
Repitiendo esta idea, prueba que $\Gamma$ admite una extensión meromorfa a $\C$ tal que los polos están en $\Z_{\le 0}$ y todos ellos son simples. 


\ejer
Comprueba que la función $\Gamma$ generaliza el factorial en el sentido de que $\Gamma(n)=(n-1)!$ para $n\in\Z^+$. De hecho, históricamente, $\Gamma$ surgió interpolando factoriales \cite{dutka}.  
Justifica la igualdad $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$.
\medskip


Una propiedad digna de mención es que $\Gamma$ no se anula y, por tanto, $1/\Gamma$ es entera\footnote{Al hilo de esto, hay resultados que permiten ``factorizar'' las funciones enteras que no crecen demasiado \cite[Ch.\,15]{rudin} y concluir una fórmula para $\Gamma$ como un producto infinito.}. Demostraremos la no anulación por medio de la fórmula
\begin{equation}\label{Gbase}
  \Gamma(s)
  \int_0^\infty
  x^{w-1}(1+x)^{-s}\; dx
  =
  \Gamma(s-w)\Gamma(w)
\end{equation}
Aquí se entiende que $\Re(w)>0$ y $\Re(w-s)<0$ para asegurar la convergencia de la integral.

\ejer
Escribe el primer miembro como 
$\int_0^\infty\int_0^\infty
x^{w-1}(1+x)^{-s}y^{s-1}e^{-y}\; dxdy$ y
efectuando un cambio de variable $x=u/v$, $y=u+v$, muestra cómo obtener el segundo término, completando así la prueba de \eqref{Gbase}.

\ejer
Si $\Gamma(s)=0$ con $\Re(s)>0$. Explica por qué \eqref{Gbase} con $w=1/n$ y $n$ arbitrariamente grande, lleva a una contradicción.  Concluye que $1/\Gamma$ define una función entera en $\C$ cuyos ceros están en $\Z_{\le 0}$. 
\medskip



Esta introducción a la función $\Gamma$ son los prolegómenos de la prueba que la simetría de la función $\zeta$ que comenzamos ahora. Dicha simetría provendrá de la igualdad:
\begin{equation}\label{threl0}
 \sum_{n\in\Z} e^{-\pi n^2 t}
 =
 \frac{1}{\sqrt{t}}
 \sum_{n\in\Z} e^{-\pi n^2 /t}
 \qquad\text{para}\quad t\in\R^+.
\end{equation}
Es muy posible que hayas visto esta identidad en algún curso de ecuaciones o análisis, por ejemplo, en relación con la ecuación del calor. Sea o no el caso, te propongo que escribas una prueba siguiendo las líneas esbozadas en el próximo ejercicio.

\ejer 
Sea $F(x)=\sum_{m\in\Z}e^{-\pi (m+x)^2t}$. Como es $1$-periódica y regular, coincide con su desarrollo de Fourier:
\[
 F(x)
 =
 \sum_{n\in\Z} a_n e^{2\pi inx}
\qquad\text{con}\quad 
a_n=\int_{-1/2}^{1/2} F(x) e^{-2\pi inx}\, dx.
\]
Demuestra que se tiene $a_n=\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t x^2-2\pi inx} \, dx$ y deduce \eqref{threl0} calculando $F(0)$.
{\sf Indicación}: Para completar este esquema, necesitarás saber
$\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2-2\pi ixy}\, dx= e^{-\pi y^2}$. Si esta integral no te suena, mira o cita \cite[Ex.\,10.9]{montgomery_e} o \cite{pwiki_gaussian}.
\medskip


Ahora estamos preparados para probar la simetría de $\zeta$ siguiendo el esquema original de Riemann en su famosa memoria \cite[\S8]{davenport}, \cite{edwards}. 

\ejer 
Considera la 
función $\omega:\R^+\longrightarrow\R$ 
\emph{de decaimiento rápido}\footnote{Se dice que una función es de decaimiento rápido si es $C^\infty$ y ella y sus derivadas de cualquier orden tienden a cero cuando $x\to \infty$ al multiplicar por $x^N$, sea cual sea $N$.}
$
 \omega(x)=\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2x}
$. Muestra que satisface
\[
 \omega(x^{-1})=\frac{\sqrt{x}-1}{2} +\sqrt{x}\, \omega(x)
 \qquad\text{para cualquier }x>0. 
\]

\ejer
Sea 
$\xi(s)
 =
 s(1-s)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$.
Utilizando las definiciones originales de $\zeta$ y de~$\Gamma$, como serie  e integral,  demuestra para $\Re(s)>1$
\[
 \xi(s)=
 s(1-s)
 \int_0^\infty 
 x^{s/2-1}\omega(x)\, dx.
\]
Efectuando el cambio $x\mapsto 1/x$ en el intervalo $(0,1]$ del rango de integración, deduce también
\[
 \xi(s)=
 -1
 +
 s(1-s)
 \int_1^\infty 
 \big( x^{s/2-1}+x^{(1-s)/2-1} \big)\omega(x)\, dx.
\]

\ejer
A partir de la expresión anterior, demuestra los siguientes puntos:
\vspace{-8pt}

\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{-2pt}
 \item 
 $\xi(s)$ se extiende a una función entera. 
 \item
 $\zeta(s)-1/(s-1)$ se extiende a una función entera.
 \item
 Se cumple $\xi(s)=\xi(1-s)$ para todo $s\in\C$.
\end{enumerate}
\medskip

El último punto es la simetría que buscábamos, lo que se llama \emph{la ecuación funcional} por antonomasia que permite relacionar $\zeta(s)$ y $\zeta(1-s)$. El factor $s(1-s)$ es irrelevante porque es invariante bajo $s\mapsto 1-s$, solo se introduce para tener una función entera. Por ello, la ecuación funcional se suele presentar en la forma:
\[
 \pi^{-s/2}\Gamma\Big(\frac{s}{2}\Big)\zeta(s)
 =
 \pi^{-(1-s)/2}\Gamma\Big(\frac{1-s}{2}\Big)\zeta(1-s).
\]
Por cierto, mira  \cite[Ch.\, II]{titchmarsh} si quieres ver otras pruebas de esta identidad. 

\ejer
Calcula $\zeta(0)$, $\zeta(-1)$, $\zeta(-2)$ y $\zeta(-4)$ empleando la ecuación funcional.
{\sf Indicación}:
Para uno de los cálculos debes recordar la solución del problema de Basilea \cite{hofbauer}. 
\medskip

En realidad, para el estudio de la distribución de los primos, la función $-\zeta'/\zeta$ que, hasta donde yo sé, no recibe ningún nombre especial es más relevante que la propia función $\zeta$. Dedicaremos los últimos ejercicios a algunas de sus propiedades básicas. 

\ejer
Sea $\mathcal{Z}=\big\{\rho\in\C\,:\, \zeta(\rho)=0\big\}$. Demuestra que 
$-\zeta'(s)/\zeta(s)-(s-1)^{-1}$ es meromorfa, más concretamente, es holomorfa en el abierto $\mathcal{U}=\C-\mathcal{Z}$ y tiene polos simples en los elementos de $\mathcal{Z}$. Por cierto, ¿ves claro que $\mathcal{U}$ es un abierto?
\medskip 

La función $-\zeta'/\zeta$ está definida por una serie en $\Re(s)>1$, pero es más fea que la de $\zeta$.

\ejer
Prueba 
\[
 -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}
 =
 \sum_{n=1}^\infty
 \frac{\Lambda(n)}{n^s}
 \qquad\text{para}\quad\Re(s)>1
 \qquad\text{donde}\quad 
 \Lambda(n)=
 \begin{cases}
  \log p &\text{si }n=p^k\text{ con }k\in\Z^+,
  \\
  0 &\text{en otro caso}.
 \end{cases}
\]
Aquí $p$ representa un primo genérico. Por ejemplo, $\Lambda(3)=\Lambda(3^{20})=\log 3$ y $\Lambda(2024)=0$.
A la función aritmética $\Lambda$ se le llama \emph{función de von Mangoldt}.
{\sf Indicación}: 
Usa la fórmula producto de Euler.
¿Qué operación analítica transforma $f$ en $f'/f$?
\medskip


La función de von Mangoldt es un poco rara y en la demostración simplificada del teorema de los números primos de la próxima hoja la evitaremos pasando de $-\zeta'/\zeta$ a la función 
\[
 F(s)=\sum 
 \frac{\log p}{p^s}
 \qquad\text{donde $p$ recorre los primos}.
\]
Esta función está bien definida como función holomorfa en $\Re(s)>1$ (¿lo ves?). Lo importante es que imita a $-\zeta'/\zeta$ en una región más amplia en el sentido de que no introduce nuevas singularidades. 

\ejer
Demuestra que $\zeta'(s)/\zeta(s)+F(s)$
admite una extensión holomorfa a $\Re(s)>\frac 12$.



\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Debes escribir un documento que combine las soluciones de los ejercicios anteriores.   La extensión es libre con una fuerte recomendación de que no llegues a las 7 páginas, sin contar la bibliografía, con el formato de esta hoja. Si te ves muy apurado, escribe muy escueto lo relativo a la función $\Gamma$. Es importante que trates de combinar las soluciones  de los ejercicios en vez de pegarlas por separado.  El resultado debe dar lugar a un segundo capítulo de tu TFG  llamado {\sl La extensión meromorfa} o la variante que prefieras. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}

\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{davenport}
H.~Davenport.
\newblock {\em Multiplicative number theory}, volume~74 of {\em Graduate Texts
  in Mathematics}.
\newblock Springer-Verlag, New York, third edition, 2000.
\newblock Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery.

\bibitem{dutka}
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\newblock The early history of the factorial function.
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\bibitem{edwards}
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\bibitem{hofbauer}
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\newblock A simple proof of
  {$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=\frac{\pi^2}{6}$} and related
  identities.
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\bibitem{pwiki_gaussian}
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\newblock Fourier {T}ransform of {G}aussian {F}unction --- {Pr$\infty$fWiki}.
\newblock
  {\footnotesize\url{https://proofwiki.org/w/index.php?title=Fourier_Transform_of_Gaussian_Function&oldid=668452}},
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\newblock Edited and with a preface by D. R. Heath-Brown.

\end{thebibliography}


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\end{document}

