\documentclass[12pt, leqno]{book}
\usepackage{amssymb, amsmath} 
\usepackage{latexsym} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     FORMAT
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setlength{\textheight}{21.0cm}
\setlength{\textwidth}{15.75cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.5cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     SPANISH
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




%%%%%%%hhhh%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     COUNTERS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{ejeno}
\setcounter{ejeno}{1}

 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     MACROS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mbox{${\mathbb R}$}} 
\newcommand{\C}{\mbox{${\mathbb C}$}} 
\newcommand{\N}{\mbox{${\mathbb N}$}} 
\newcommand{\Z}{\mbox{${\mathbb Z}$}} 
\newcommand{\Q}{\mbox{${\mathbb Q}$}} 
\def\fracpar#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\ejer{\ \par\vskip-7pt{\bf\number\value{ejeno})\ }\addtocounter{ejeno}{1}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\pagestyle{myheadings} %% running title
\markboth{}{{\sc Hoja 9}}


\begin{center}
\bf\Large Geometría IV
\end{center}
\begin{center}
Departamento de Matemáticas. Curso 2006/07
\end{center}

\begin{small}


\ejer
Responder brevemente a las siguientes preguntas:

\quad i)
Si los coeficientes del tensor m\'{e}trico son constantes, ?\lq a qu\'{e} es
igual la derivada covariante?

\quad ii)
Si  multiplicamos la m\'{e}trica por una constante no nula, ¿qu\'{e} ocurre con la derivada covariante?


\quad iii) Si $V$ es un campo de vectores y $f$ una funci\'{o}n escalar, ?\lq cu\'{a}l
es la derivada
covariante de $fV$?


\quad iv) Si $\nabla V=\nabla W=0$, ?`es $G(V,W)$ constante?


\ejer
Si $C$ es la matriz $(V_{;j}^i)$ con $V$ un campo en $\R^2$ (con
la m\'{e}trica usual) cuando se usan coordenadas cartesianas y $P$ es
la matriz correspondiente cuando se emplean coordenadas polares,
demostrar la relaci\'{o}n:
\[
J^{-1}CJ=P\qquad\text{con }\quad
J=\begin{pmatrix}
\cos\theta &-r\sen\theta
\\
\sen\theta & r\cos\theta
\end{pmatrix}.
\]

\ejer
Sea el campo en $\R^2$ que en coordenadas polares viene dado por
$V=\partial/\partial{\theta}$. Calcular su derivada covariante y
comprobar la relaci\'{o}n del problema anterior.

\ejer
Supongamos que se tiene una m\'{e}trica en $\R$ (con la carta trivial)
tal que $\nabla_1V=2007$ para $V=\partial_1$. 

a) Demostrar
que el transporte paralelo de $V_0=\partial_1$ desde $x=0$ a $x=t$  a lo largo de
la recta que une estos puntos es $e^{-2007t}\partial_1$. En particular, la derivada covariante de $V=e^{-2007x}\partial_1$ es nula.

b) Hallar todas las posibles m\'{e}tricas en $\R$ para las que la derivada covariante responde a esta f\'{o}rmula. 


\ejer
Sea $M=\R\times\R^+$ con la m\'{e}trica $G=y^{-2}(dx\otimes dx+dy\otimes dy)$. Calcular la derivada covariante de $V=f(y)\partial/\partial x$. Hallar $f$ para que la derivada covariante a lo largo de la semirrecta $x=0$, $y=t>1$ sea nula.

\ejer
Comprobar la relaci\'{o}n
$\nabla(S\otimes T)=(\nabla S)\otimes T+S\otimes
\nabla T$ cuando $S$ y $T$
son campos vectoriales o de uno formas.


\ejer
Probar la f\'{o}rmula $\dfrac{d}{dt}\langle V,W\rangle
=
\langle \dfrac{DV}{dt},W\rangle
+
\langle V, \dfrac{DW}{dt}\rangle$.

\ejer
Consideremos una subvariedad de $\R^n$ (con la m\'{e}trica inducida).
Probar que si ${V}(p)$ se transporta paralelamente en ${V}(q)$ y ${W}(p)$ se transporta paralelamente
en ${W}(q)$ a lo largo de cierta curva conectando $p$ y $q$, entonces intepretando $V$ y $W$ como vectores en
$\R^n$ se cumple
$\|{V}(p)\|=\|{V}(q)\|$, $\|{W}(p)\|=\|{W}(q)\|$
y $\angle({V}(p),{W}(p))=\angle({V}(q),{W}(q))$ donde $\angle$
indica el \'{a}ngulo.



\ejer
Sean dos superficies $S_1,S_2\subset\R^3$ con la m\'{e}trica inducida
que son tangentes a lo largo de una curva. Probar que el
transporte paralelo por ella es igual tanto si se lleva a cabo por
$S_1$ como si se lleva a cabo por $S_2$.

\end{small}
\end{document}

