\documentclass[12pt, leqno]{book}
\usepackage{amssymb, amsmath} 
\usepackage{latexsym} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     FORMAT
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setlength{\textheight}{21.0cm}
\setlength{\textwidth}{15.75cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.5cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     SPANISH
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




%%%%%%%hhhh%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     COUNTERS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{ejeno}
\setcounter{ejeno}{1}

 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     MACROS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mbox{${\mathbb R}$}} 
\newcommand{\C}{\mbox{${\mathbb C}$}} 
\newcommand{\N}{\mbox{${\mathbb N}$}} 
\newcommand{\Z}{\mbox{${\mathbb Z}$}} 
\newcommand{\Q}{\mbox{${\mathbb Q}$}} 
\def\fracpar#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\ejer{\ \par\vskip-7pt{\bf\number\value{ejeno})\ }\addtocounter{ejeno}{1}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\pagestyle{myheadings} %% running title
\markboth{}{{\sc Hoja 8}}


\begin{center}
\bf\Large Geometría IV
\end{center}
\begin{center}
Departamento de Matemáticas. Curso 2006/07
\end{center}

\begin{small}



\ejer
Responder brevemente a las siguientes preguntas:

\quad i) 
Si una m\'{e}trica es definida positiva, ¿lo es la m\'{e}trica inducida en cualquier subvariedad?

\quad ii) 
¿C\'{o}mo se podr\'{\i}a deducir de un ejemplo de esta secci\'{o}n que los s\'{\i}mbolos de Christoffel no son tensores?

\label{2.2.1.ii}\quad iii) ?\lq Por qu\'{e} en dimensi\'{o}n 4 hay como mucho 40 s\'{\i}mbolos de
Christoffel distintos? ?\lq Cu\'{a}ntos hay en dimensi\'{o}n 5?

\quad iv)
¿Por qu\'{e} $r=t$, $\theta=t$ no es una geod\'{e}sica en $\R^2$ usando coordenadas polares?


\label{2.1.17}\ejer
Hallar la m\'{e}trica inducida en el hiperboloide
$H=\{(x,y,z)\in\R^3 \;:\; x^2+y^2-z^2=1\}$ usando la carta (definida
en cierto abierto) $(x,y,z)\mapsto (x,y)$.
\par


\ejer
Probar que la m\'{e}trica usual en esf\'{e}ricas es 
$
G=d\theta\otimes d\theta+\sen^2\theta d\varphi\otimes d\varphi
$.


\label{2.1.19}\ejer
Sea $G$ la m\'{e}trica inducida en $S^2\subset\R^3$ usando la carta
proyecci\'{o}n $(x,y,z)\mapsto (x,y)$. Demostrar que la base natural del
espacio tangente $\{\partial_1,\partial_2\}$ no es en general ortogonal,
esto es, $G(\partial_1,\partial_2)\not=0$. Repetir el problema para la
carta dada por los \'{a}ngulos en esf\'{e}ricas.
(\underline{Nota}: De resultados posteriores se podr\'{a} deducir
que es imposible hallar una
carta en la que
$\{\partial_1,\partial_2\}$ sea ortonormal en un
abierto).
\par

\label{2.1.20}\ejer
Hallar alguna carta del cilindro de radio $3$ de manera que
$\{\partial_1,\partial_2\}$ sea ortonormal con la m\'{e}trica inducida.
\par


\ejer
Sea $M$ una subvariedad de $\R^{n+1}$ de dimensi\'{o}n $n$ y sea $X$ un campo normal unitario, esto es, un campo de vectores en $\R^{n+1}$ que en cada punto $p\in M$ es ortogonal a los vectores de $T_p(M)$ (interpretados como vectores de $R^{n+1}$ como en cursos anteriores). 

a) Probar que $\omega(\cdot,\dots,\cdot)=\det(X,\cdot,\dots,\cdot)$ es un elemento de volumen.

b) Deducir  que 
\[
\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}x^idx^1\wedge dx^2\wedge\dots\wedge\widehat{dx^i}\wedge\dots\wedge dx^{n+1}
\]
es un elemento de volumen en $S^n$.


\ejer
Dar una f\'{o}rmula general para el elemento de volumen de una superficie de revoluci\'{o}n en $\R^3$ (con la m\'{e}trica usual). Demostrar con ello la bien conocida f\'{o}rmula $2\pi\int f\sqrt{1+(f')^2}$. 


\label{2.2.12}\ejer
Demostrar que 
\[
r=(\cos\theta+\sen\theta)^{-1}\qquad\text{con}\quad
\theta=\arctan \frac{t}{\sqrt{2}-t}
\]
define una geod\'{e}sica en
$\R^2$ con la m\'{e}trica en polares $dr^2+r^2d\theta^2$.
\textit{Indicaci\'{o}n}: No es necesario siquiera escribir la ecuaci\'{o}n de las
geod\'{e}sicas.

\label{2.2.13}\ejer
Calcular las geod\'{e}sicas con $\theta$ constante usando la m\'{e}trica 
$dr^2-r^2d\theta^2$.

\label{2.2.14}\ejer
Comprobar que
$$
x(t)=\frac{t^2-1}{t^2+1},\qquad
y(t)=\frac{2t}{t^2+1},\qquad
z(t)=0\qquad t\in\R
$$
define el ecuador de $S^2$ (salvo un punto). 
Comprobar que sin embargo  no satisface la ecuaci\'{o}n 
de las geod\'{e}sicas 
y explicar la aparente contradicci\'{o}n.


\label{2.2.16}\ejer
Calcular los s\'{\i}mbolos de Christoffel
para la m\'{e}trica $dr^2+4\senh^2r\; d\theta^2
$ y hallar alguna de 
las geod\'{e}sicas.

\label{2.2.18}\ejer
Calcular los s\'{\i}mbolos de Christoffel  para $\R^3$ usando coordenadas
esf\'{e}ricas $(r,\theta,\varphi)$.
\textit{Indicaci\'{o}n}: Como $\partial_1,\partial_2,\partial_3$
son ortogonales, de antemano sabemos que en la m\'{e}trica 
no aparecer\'{a}n los t\'{e}rminos cruzados $dr d\theta$, 
$d r d\varphi$, $d\theta d\varphi$, lo cual simplifica los c\'{a}lculos iniciales.


\label{2.2.19}\ejer
Calcular los s\'{\i}mbolos de Christoffel y las geod\'{e}sicas de $\R^2$ con la
m\'{e}trica
$
du^2+4vdudv+8v^2dv^2.
$

\label{2.2.20}\ejer
Calcular los s\'{\i}mbolos de Christoffel y alguna geod\'{e}sica del semiplano
$\R\times\R^+$ con la m\'{e}trica de Poincar\'{e} $y^{-2}dx^2+y^{-2}dy^2$.


\label{2.2.22}\ejer
Consid\'{e}rese la banda $M=\{(x,y)\in\R^2\; :\; |x|<1\}$ con la m\'{e}trica
definida por 
\[
ds^2=\frac 4{(1-x^2)^2}dx^2+xydxdy+(1+x^2+y^2)dy^2.
\]
Utilizar que la energ\'{\i}a es constante  para calcular las geod\'{e}sicas horizontales
de $M$ sin necesidad de
hallar los s\'{\i}mbolos de Christoffel. 



\end{small}
\end{document}

