\documentclass[12pt, leqno]{book}
\usepackage{amssymb, amsmath} 
\usepackage{latexsym} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     FORMAT
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setlength{\textheight}{21.0cm}
\setlength{\textwidth}{15.75cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.5cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     SPANISH
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




%%%%%%%hhhh%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     COUNTERS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{ejeno}
\setcounter{ejeno}{1}

 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     MACROS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mbox{${\mathbb R}$}} 
\newcommand{\C}{\mbox{${\mathbb C}$}} 
\newcommand{\N}{\mbox{${\mathbb N}$}} 
\newcommand{\Z}{\mbox{${\mathbb Z}$}} 
\newcommand{\Q}{\mbox{${\mathbb Q}$}} 
\def\fracpar#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\ejer{\ \par\vskip-7pt{\bf\number\value{ejeno})\ }\addtocounter{ejeno}{1}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\pagestyle{myheadings} %% running title
\markboth{}{{\sc Hoja 7}}


\begin{center}
\bf\Large Geometría IV
\end{center}
\begin{center}
Departamento de Matemáticas. Curso 2006/07
\end{center}

\begin{small}


\ejer
Responder brevemente a las siguientes preguntas:
\par
\quad i)
¿Es cierto que el {\it pullback} envía formas cerradas en formas cerradas y formas exactas en formas exactas?

\quad ii)
Si $M$ es una variedad $n$-dimensional compacta orientable con dos componentes conexas, ¿Es $[\omega]\in H^n(M)\mapsto \int_M\omega\in\R$ un isomorfismo?


\quad iii)
¿Y si $M$ es variedad con borde, ¿está $[\omega]\in H^n(M)\mapsto \int_M\omega\in\R$ bien definido en general?

\quad iv)
Si $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow 0$ es una sucesión exacta, ¿qué se puede decir de $A$ y $B$?

\quad v)
¿Por qué  en una sucesión exacta corta $f_1$ debe ser inyectiva y $f_2$ sobreyectiva?

\quad vi)
¿Es posible aplicar la sucesión de Mayer-Vietoris cuando  $\mathcal{U}$ y $\mathcal{V}$ no son abiertos?


\ejer
Demostrar que la aplicación $H^k(M)\times H^l(M)\longrightarrow H^{k+l}(M)$ dada por $([\omega],[\eta])\mapsto [\omega\wedge\eta ]$ está bien definida; es decir, que si $[\omega']=[\omega]$ y  $[\eta']=[\eta]$ entonces  $[\omega'\wedge\eta' ]=[\omega\wedge\eta ]$. \underline{Nota}: Esto permite definir un anillo a partir de los grupos de cohomología. 


\ejer 
Demostrar que $M$ y $M\times \R$ son variedades homótopas.

\ejer
Sea $M$ una subvariedad de $N$ (es decir, $i:M\longrightarrow N$ es una función $C^\infty$). Se dice que $M$ es un \emph{retracto por deformación fuerte} de $N$ si existe una homotopía $F:N\times [0,1]\longrightarrow N$ tal que para todo $x\in N$ y $a\in M$  se cumple $F(x,0)=x$, $F(x,1)\in M$ y $F(a,t)=a$. Demostrar que $M$ y $N$ son homótopas y por tanto tienen los mismos grupos de cohomología.


\ejer
Calcular  los grupos de cohomología de $\R^3$ menos el eje $Z$. 

\ejer
Calcular los grupos de cohomología del toro $\mathbb{T}\subset\R^3$ expresándolo como una unión de dos cilindros curvados.

\ejer
Sea $f:\mathbb{T}\longrightarrow S^n$. Demostrar que no existe $g:S^n\longrightarrow\mathbb{T}$ tal que $g\circ f$ sea la identidad. \textit{Indicación}: Considerar la acción de $f^*$ y $g^*$ en $H^1$.


\ejer
Calcular los grupos de cohomología de un toro doble, (es decir, una variedad difeomorfa a una esfera con dos asas). {\it Indicación}: Un toro menos un punto es difeomorfo a un toro menos un disco. 

\ejer
Calcular los grupos de cohomología de un toro menos dos puntos. {\it Indicación}: Esto es la intersección de dos toros menos un punto.

\ejer
Demostrar que si $0\longrightarrow V_1\longrightarrow  \dots \longrightarrow V_n\longrightarrow 0$ es una sucesión exacta de espacios vectoriales  entonces
$
0{\longrightarrow}
V_1{\longrightarrow}
V_2{\longrightarrow}
\text{Im}\;f_2{\longrightarrow}0$ y 
$
0{\longrightarrow}
\text{Im}\;f_2\stackrel{i}{\longrightarrow}
V_3{\longrightarrow}\dots{\longrightarrow}
V_n{\longrightarrow}0
$,
con $i$ la inclusión, también son sucesiones exactas.

\ejer
Probar que el teorema del punto fijo de Brouwer no es cierto si se reemplaza la bola cerrada por una bola abierta.


\ejer
Para cada $n$ impar, encontrar una $f:S^{n}\longrightarrow S^n$ tal que $f(x)\ne\pm x$ para todo $x$.


\end{small}
\end{document}

