\documentclass[12pt, leqno]{book}
\usepackage{amssymb, amsmath} 
\usepackage{latexsym} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     FORMAT
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setlength{\textheight}{21.0cm}
\setlength{\textwidth}{15.75cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.5cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     SPANISH
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




%%%%%%%hhhh%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     COUNTERS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcounter{ejeno}
\setcounter{ejeno}{1}

 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%     MACROS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mbox{${\mathbb R}$}} 
\newcommand{\C}{\mbox{${\mathbb C}$}} 
\newcommand{\N}{\mbox{${\mathbb N}$}} 
\newcommand{\Z}{\mbox{${\mathbb Z}$}} 
\newcommand{\Q}{\mbox{${\mathbb Q}$}} 
\def\fracpar#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\ejer{\ \par\vskip-7pt{\bf\number\value{ejeno})\ }\addtocounter{ejeno}{1}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\pagestyle{myheadings} %% running title
\markboth{}{{\sc Hoja 6}}


\begin{center}
\bf\Large Geometría IV
\end{center}
\begin{center}
Departamento de Matemáticas. Curso 2006/07
\end{center}

\begin{small}


\ejer
Responder brevemente a las siguientes preguntas:

\quad i) 
¿Por qu\'{e} una variedad es una variedad con borde?


\quad ii) 
¿Por qu\'{e} $\partial (\partial M)=\emptyset$?

\quad iii) 
?`Era cierto en la topolog\'{\i}a de segundo que $\text{Fr}(\text{Fr} A)=\emptyset$?


\quad iv) 
Si $\partial M$ es orientable, ¿debe serlo $M$?

\ejer
Demostrar que
si $M$ es una variedad con borde, usando restricciones de las cartas, $M-\partial M$ y $\partial M$ tienen estructura de variedad  de dimensiones $n$ y $n-1$, respectivamente.


\ejer
\label{calc3p157}
Comprobar el teorema de Stokes cuando $\omega=j^*(z\; dx+x\; dy+y\;dz)$ y  $M=\{(x,y,z)\in\R^3\,:\; x^2+y^2+z=1\,\;z\ge 0\}$, donde $j:M\longrightarrow \R^3$ es la inclusi\'{o}n.


\ejer 
Hallar el \'{a}rea limitada por la elipse $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ usando el teorema de Green. Dar tambi\'{e}n un argumento geom\'{e}trico sencillo para deducirla a partir del área del c\'{\i}rculo.


\ejer
Se dice que $\vec{F}:\mathcal{U}\subset\R^3\longrightarrow\R^3$
es \emph{conservativo} si existe $f:\mathcal{U}\longrightarrow\R$
tal que $\nabla f=\vec{F}$.

a) Demostrar que si $\mathcal{U}$ es contractible entonces
$\vec{F}$ es conservativo si y s\'{o}lo si
$\text{rot}\;\vec{F}=\vec{0}$.


b) Sea $\vec{F}(x,y,z)=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2),z^2)$ definido en
$\mathcal{U}=\{1/2<x^2+y^2<2\}$. Comprobar que $\int_C\vec{F}\ne
0$ si $C=S^{1}\times \{0\}$ y sin embargo
$\text{rot}\;\vec{F}=\vec{0}$. Concluir que $\mathcal{U}$ no es
contractible.


\ejer
Sea $\mathcal{U}\subset\R^3$ un abierto contractible a un punto, probar los siguientes teoremas del c\'{a}lculo vectorial:

a)  Si $\vec{F}:\mathcal{U}\longrightarrow\R^3$ es un campo vectorial con $\text{rot}\;\vec{F}=\vec{0}$ entonces existe  una funci\'{o}n  $f:\mathcal{U}\longrightarrow\R$ tal que $\nabla f=\vec{F}$.

b)  Si $\vec{F}:\mathcal{U}\longrightarrow\R^3$ es un campo vectorial con $\text{div}\;\vec{F}=\vec{0}$ entonces existe  otro campo  $\vec{G}:\mathcal{U}\longrightarrow\R^3$ tal que $\text{rot}\;\vec{G}=\vec{F}$.

c)  Para cada funci\'{o}n $f:\mathcal{U}\longrightarrow\R$ existe un campo vectorial   $\vec{F}:\mathcal{U}\longrightarrow\R^3$ tal que $\text{div}\;\vec{F}=f$.



\ejer
Sea $\vec{F}(\vec{x})=\vec{x}/\|\vec{x}\|^3$ para  $\vec{x}\in\R^3-\{\vec{0}\}$.

a) Calcular $\int_{S^2}\vec{F}$ donde en $S^2$, la esfera unidad,  se supone la orientaci\'{o}n correspondiente a la normal exterior. ¿Por qu\'{e} la integral no se anula si $\text{div}\; \vec{F}=0$?

b) Sea $M=\{a\le \|\vec{x}\|\le b\}$, $0<a<b$. Calcular $\int_{\partial M}\vec{F}$.

c) Calcular  $\int_{S}\vec{F}$ para cualquier superficie esf\'{e}rica en $\R^3$ con $\{\vec{0}\}\not\in S$.


\ejer
\label{calc3p113}
Sea $\omega=
2xyze^{x^2}\;dx+(ze^{x^2}+2ye^{y^2})\;dy+ye^{x^2}\;dz\in\Omega^1(\R^3)$. Comprobar que es cerrada. Hallar $\eta\in\Omega^0(\R^3)$ (esto es, una funci\'{o}n) tal que $d\eta=\omega$.


\ejer
Sea $\omega=
(y\;dx-x\;dy)/(ax^2+by^2)\in\Omega^1(\R^2-\{(0,0)\})$, $a,b>0$. 

a) Comprobar que es cerrada. 

b) Integrándola a lo largo de una elipse adecuada, probar que no es exacta.

c) Deducir que $\R^2$ y $\R^2-\{(0,0)\}$ no son difeomorfos.


\ejer
Si una pelota de radio $R$ semisumergida deja fuera del agua  un \'{a}ngulo $\alpha$, ¿Cu\'{a}nto pesa? \underline{Nota}: la densidad del agua es $\rho=1\;\text{gr}/\text{cm}^3$.


\end{small}
\end{document}

